2023-2024学年北京市门头沟区大峪中学高二（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年北京市门头沟区大峪中学高二（上）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）已知直线，则直线l的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）已知空间向量，，则＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
3．（4分）圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0与圆（x﹣4）2+（y﹣2）2＝16的位置关系为（ ）
A．相离B．外切C．相交D．内切
4．（4分）若x2+y2﹣4x﹣2y+m＝0表示圆的方程，则m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，5）B．（﹣∞，5]C．（5，+∞）D．[5，+∞）
5．（4分）已知直线x+ay﹣1＝0和直线ax+4y+2＝0互相平行，则a的值是（ ）
A．0B．2C．﹣2D．±2
6．（4分）如图，空间四边形OABC中，＝，＝，＝，点M是OA的中点，点N在BC上，且＝2，设＝x+y+z，则x，y，z的值为（ ）
A．，，B．，，C．﹣，，D．﹣，，
7．（4分）点（﹣1，2）关于直线x+y+4＝0的对称点的坐标为（ ）
A．（﹣6，﹣3）B．（﹣3，﹣6）C．（﹣7，﹣2）D．（﹣2，﹣7）
8．（4分）若P，Q分别为3x+4y﹣6＝0与6x+8y+3＝0上任一点，则|PQ|的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．（4分）直线与曲线有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，﹣1]C．（1，2）D．[1，2）
10．（4分）设P为函数图像上的动点，Q是圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1（其中ab＝0）上的动点，若|PQ|最小值为1，则以所有满足条件的点C为顶点的多边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分）
11．（5分）已知＝（2，﹣1，3），＝（﹣3，y，4），若⊥，则y＝ ．
12．（5分）已知圆x2+y2＝4与圆（x+4）2+（y﹣3）2＝r2外切，则r＝ ．
13．（5分）无论a取何值，直线ax+y﹣a﹣2＝0恒经过一个定点P，P的坐标为 ，经过点P且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 ．
14．（5分）如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M，N分别为BC、AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为 ．
15．（5分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，△SCD是等边三角形，平面SCD⊥平面ABCD，M，N，P分别为棱BC，CD，DA的中点，Q为△SCD及其内部的动点，满足PQ∥平面AMS，给出下列四个结论：
①直线SA与平面ABCD所成角为45°；
②二面角S﹣AB﹣N的余弦值为；
③点Q到平面AMS的距离为定值；
④线段NQ长度的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（14分）在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（2，1），C（4，﹣3）．
（1）设AC的中点为D，求AC边上的中线BD所在的直线方程；
（2）求BC边上的高所在的直线方程；
（3）求△ABC的面积．
17．（14分）已知圆C过点（1，1），圆心为（2，0）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）判断直线y＝x﹣4与圆C的位置关系；
（Ⅲ）已知过点P（1，3）的直线l交圆C于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．
18．（13分）在三棱锥P﹣ABC中，△PAC和△PBC是边长为的等边三角形，AB＝2，O，D分别是AB，PB的中点．
（1）求证：OD∥平面PAC；
（2）求证：平面PAB⊥平面ABC；
（3）求三棱锥P﹣ABC的体积．
19．（14分）已知圆E经过点A（0，0），B（1，1），从下列3个条件选取一个：
①过点C（2，0）；
②圆E恒被直线mx﹣y﹣m＝0（m∈R）平分；
③与y轴相切．
（1）求圆E的方程；
（2）过点P（2，3）的直线l与圆E相切，求直线l方程．
20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD⊥BA，AD＝3，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝3，点M在棱PD上，点N为BC中点．
（1）证明：若DM＝2MP，直线MN∥平面PAB；
（2）求二面角C﹣PD﹣N的正弦值；
（3）是否存在点M，使NM与平面PCD所成角的正弦值为？若存在求出值；若不存在，说明理由．
21．（15分）对于平面直角坐标系中的两点A（x1，y1），B（x2，y2），现定义由点A到点B的“折线距离”ρ（A，B）为ρ（A，B）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．
（1）已知A（1，0），B（2，3），求ρ（A，B）；
（2）已知点A（1，0），点B是直线上的一个动点，求ρ（A，B）的最小值；
（3）对平面上给定的两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），是否存在点C（x，y），同时满足
①ρ（A，C）+ρ（C，B）＝ρ（A，B）；②ρ（A，C）＝ρ（C，B）．
若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明．
2023-2024学年北京市门头沟区大峪中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）
1．（4分）已知直线，则直线l的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，结合斜率与倾斜角的关系，即可求解．
【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，
∵直线，
∴，
∵θ∈[0，π），∴．
故选：B．
【点评】本题主要考查斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
2．（4分）已知空间向量，，则＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】根据空间向量的坐标运算求解．
【解答】解：∵，，
则，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算，是基础题．
3．（4分）圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0与圆（x﹣4）2+（y﹣2）2＝16的位置关系为（ ）
A．相离B．外切C．相交D．内切
【分析】将圆化为标准方程，找到圆心之间的距离和半径之间的关系即可判断圆与圆的位置关系．
【解答】解：由题知x2+y2﹣2x+4y+1＝0可化为，（x﹣1）2+（y+2）2＝4，
所以圆心为（1，﹣2），半径为2，（x﹣4）2+（y﹣2）2＝16，圆心为（4，2），半径为4，
所以圆心之间的距离为，
因为圆心距大于半径差的绝对值，小于半径和，
所以两圆相交．
故选：C．
【点评】本题主要考查两圆之间的位置关系，属于基础他．
4．（4分）若x2+y2﹣4x﹣2y+m＝0表示圆的方程，则m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，5）B．（﹣∞，5]C．（5，+∞）D．[5，+∞）
【分析】把给定方程配方化成圆的标准方程形式即可计算作答．
【解答】解：方程x2+y2﹣4x﹣2y+m＝0化为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5﹣m，
因为方程x2+y2﹣4x﹣2y+m＝0表示圆，则5﹣m＞0，解得m＜5，
所以m的取值范围是：（﹣∞，5）．
故选：A．
【点评】本题主要考查圆的一般方程，考查运算求解能力，属于基础题．
5．（4分）已知直线x+ay﹣1＝0和直线ax+4y+2＝0互相平行，则a的值是（ ）
A．0B．2C．﹣2D．±2
【分析】利用直线一般式方程平行条件即可直接求解．
【解答】解：因为直线x+ay﹣1＝0与直线ax+4y+2＝0平行，
所以4﹣a2＝0，
所以a＝±2，
当a＝﹣2时，两直线方程分别为x﹣2y﹣1＝0，﹣2x+4y+2＝0，此时两直线重合，不符合题意，
所以a＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了直线平行条件的应用，属于基础题．
6．（4分）如图，空间四边形OABC中，＝，＝，＝，点M是OA的中点，点N在BC上，且＝2，设＝x+y+z，则x，y，z的值为（ ）
A．，，B．，，C．﹣，，D．﹣，，
【分析】利用向量的加法，，利用中点公式代入．
【解答】解：，
，，
所以＝，
故选：C．
【点评】考查向量的加法原理，向量共线等，基础题．
7．（4分）点（﹣1，2）关于直线x+y+4＝0的对称点的坐标为（ ）
A．（﹣6，﹣3）B．（﹣3，﹣6）C．（﹣7，﹣2）D．（﹣2，﹣7）
【分析】设点（﹣1，2）关于直线x+y+4＝0对称的点为（x0，y0），由对称关系可知，两点连线与直线x+y+4＝0垂直，所以，又由两点连线段的中点在直线x+y+4＝0上，得，解出点坐标．
【解答】解：设点（﹣1，2）关于直线x+y+4＝0对称的点为（x0，y0），直线x+y+4＝0的斜率为﹣1，
由对称关系，两点连线与直线x+y+4＝0垂直，
所以，又因为两点连线段的中点在直线x+y+4＝0上，代入得，
解得x0＝﹣6，y0＝﹣3，所以对称点为（﹣6，﹣3）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了点关于直线的对称性的应用，属于基础题．
8．（4分）若P，Q分别为3x+4y﹣6＝0与6x+8y+3＝0上任一点，则|PQ|的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，结合两条平行直线间的距离公式，即可求解．
【解答】解：3x+4y﹣6＝0，即6x+8y﹣12＝0，
故3x+4y﹣6＝0与6x+8y+3＝0平行，
则|PQ|的最小值为两条平行线间的距离公式，即．
故选：C．
【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题．
9．（4分）直线与曲线有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，﹣1]C．（1，2）D．[1，2）
【分析】表示的曲线为圆心在原点，半径是1的圆在x轴以及x轴上方的部分，求得直线与曲线相切时的m，与直线过曲线与x轴正半轴的交点时的m，结合图象即可求得结论．
【解答】解：表示的曲线为圆心在原点，半径是1的圆在x轴以及x轴上方的部分．
作出曲线的图象，在同一坐标系中，再作出斜率是﹣的直线，由右向左移动，
可发现，直线先与圆相切，再与圆有两个交点，
直线与圆相切时，可得＝1，解得m＝±2，
所以直线与曲线相切时的m值为2，
直线过点A（1，0）时，m＝1，
结合图象可得m的取值范围是[1，2）．
故选：D．
【点评】本题考查直线与曲线的交点问题，考查数形结合思想，考查点到线的距离，属于中档题．
10．（4分）设P为函数图像上的动点，Q是圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1（其中ab＝0）上的动点，若|PQ|最小值为1，则以所有满足条件的点C为顶点的多边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据ab＝0分三种情况讨论，数形结合即可求得所有满足条件的圆心C的坐标．
【解答】解：因为ab＝0，所以分3种情况：
①a＝0，b＝0，此时圆C为 x2+y2＝1，
圆C与函数的图像相交，|PQ|最小值为0，不合题意．
②a＝0，b≠0，
则圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1的圆心C（0，b），半径r＝1，
当b＞0时，圆心C（0，b）在原点上方，
因为函数图像关于y轴对称，不妨设x≥0，则，
则圆心C（0，b）到直线的距离，
若|PQ|最小值为1，则有d﹣r＝1，即，所以b＝4．（图中圆1），
当b＜0时，圆心C（0，b）在原点下方，
则动点Q到原点最近，此时有0﹣b＝r+1，得b＝﹣2．（图中圆2），
③a≠0，b＝0，
则圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1的圆心C（a，0），半径r＝1，
因为函数图像关于y轴对称，不妨设x≥0，则，
则圆心C（a，0）到直线的距离，
若|PQ|最小值为1，则有d﹣r＝1，即，
所以或．（图中圆3和圆4），
综上：圆心C有四种可能，（0，4），（0，﹣2），，．
如下图所示：
则多边形的面积．
故选：D．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查多边形的面积的计算，考查分类讨论思想，属中档题．
二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分）
11．（5分）已知＝（2，﹣1，3），＝（﹣3，y，4），若⊥，则y＝ 6 ．
【分析】利用向量垂直的性质直接求解．
【解答】解：∵＝（2，﹣1，3），＝（﹣3，y，4），⊥，
∴＝﹣6﹣y+12＝6﹣y＝0，
解得y＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12．（5分）已知圆x2+y2＝4与圆（x+4）2+（y﹣3）2＝r2外切，则r＝ ±3 ．
【分析】根据题意，分析两个圆的圆心和半径，由圆与圆的位置关系可得关于r的方程，解可得答案．
【解答】解：根据题意，圆x2+y2＝4，圆心为（0，0），半径为2，
圆（x+4）2+（y﹣3）2＝r2，圆心为（﹣4，3），半径为|r|，
两圆圆心距d＝＝5，
若两个圆外切，则有5＝2+|r|，解可得r＝±3．
故答案为：±3．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的标准方程，属于基础题．
13．（5分）无论a取何值，直线ax+y﹣a﹣2＝0恒经过一个定点P，P的坐标为 （1，2） ，经过点P且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 y＝2x或x+y﹣3＝0 ．
【分析】直线方程整理可得恒过的定点的坐标，分截距为0和不为0两种情况讨论，设直线方程，将P点的坐标代入，可得直线的方程．
【解答】解：将直线方程ax+y﹣a﹣2＝0整理可得：a（x﹣1）+y﹣2＝0，
可得直线恒过定点P（1，2），
当直线过原点时，则直线的方程为y＝2x；
当直线不过原点时，由截距相等，设直线的方程为x+y＝a，将P（1，2）代入可得a＝3，
即直线的方程为x+y﹣3＝0；
故答案分别为：（1，2）；y＝2x或x+y﹣3＝0．
【点评】本题考查直线恒过的定点的坐标及截距相等的方程的求法，属于基础题．
14．（5分）如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M，N分别为BC、AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为 ．
【分析】连接DM，取DM的中点E，连接NE，CE，推导出NE∥AM，从而∠CNE是直线AM和CN的夹角，由余弦定理能求出直线AM和CN夹角的余弦值．
【解答】解：连接DM，取DM的中点E，连接NE，CE，
正四面体ABCD中棱长为1，
因为M，N分别是BC，AD的中点，
所以NE∥AM，则∠CNE是直线AM和CN的夹角．
NE＝AM＝＝，CN＝，
CE＝＝＝，
所以直线AM和CN夹角的余弦值为：
cs∠CNE＝＝＝，
即直线AM和CN夹角的余弦值为．
故答案为：．
【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
15．（5分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，△SCD是等边三角形，平面SCD⊥平面ABCD，M，N，P分别为棱BC，CD，DA的中点，Q为△SCD及其内部的动点，满足PQ∥平面AMS，给出下列四个结论：
①直线SA与平面ABCD所成角为45°；
②二面角S﹣AB﹣N的余弦值为；
③点Q到平面AMS的距离为定值；
④线段NQ长度的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ②③ ．
【分析】对于①，直线找出直线SA与平面ABCD所成角求解；对于②，直接找出二面角S﹣AB﹣N的平面角求解；对于③，利用PQ∥平面AMS，P，Q两点到面AMS的距离相等；对于④，找出Q点轨迹，再求线段NQ长度的取值范围．
【解答】解：对于①，连接SN，NA，
∵△SCD是等边三角形，∴SN⊥CD，
∵平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD＝CD，SN⊂平面SCD，
∴SN⊥平面ABCD，∴直线SA与平面ABCD所成角为∠SAN，
在直角△ANS中，SN＝，AN＝，
∴tan，
∴直线SA与平面ABCD所成角不为45°，故①错误；
对于②，取AB的中点F，连接NF，SF，
∵底面边长为2的正方形，△SCD是等边三角形，∴SA＝SB，AB⊥SF，
又AB⊥NF，∴二面角S﹣AB﹣N的平面角为∠SFN，
∵SN⊥平面ABCD，∴SN⊥NF，
在Rt△SNF中，SN＝，NF＝2，SF＝，
∴cs∠SFN＝＝，故②正确；
对于③，∵PQ∥平面AMS，
∴P，Q两点到平面AMS的距离相等，而P到面AMS的距离为定值，
∴点Q到平面AMS的距离为定值，故③正确；
对于④，取SD中点E，连接EP，EC，PC，则PE∥SA，
∵PE⊄面AMS，SA⊂面AMS，∴PE∥面AMS，
同理可证PC∥面AMS，
∵PC∩PE＝P，PE⊂面EPC，PC⊂面EPC，
∴面EPC∩面AMS，
∵PQ∥平面AMS，PQ⊂面EPC，面EPC∩面SCD＝EC，∴Q的轨迹为线段CE，
在等边△SCD中，NQ的最大值为NC＝1，最小值为N到直线CE的距离为，
∴线段NQ长度的取值范围为[，1]，故④错误．
故答案为：②③．
【点评】本题考查线面角、二面角、线面平行、点到平面距离公式、动点轨迹等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（14分）在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（2，1），C（4，﹣3）．
（1）设AC的中点为D，求AC边上的中线BD所在的直线方程；
（2）求BC边上的高所在的直线方程；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）先由中点坐标公式求得D（1，﹣1），再利用点斜式即可求得BD所在的直线方程；
（2）利用直线垂直斜率相乘为﹣1，求得，再利用点斜式即可求得AC边上的高所在的直线方程；
（3）先用点斜式求得直线BC的方程，再利用点线距离公式与两点距离公式分别求得△ABC的高与底，由此可求得△ABC的面积．
【解答】解：（1）因为A（﹣2，1），B（2，1），C（4，﹣3），
所以AC的中点D（1，﹣1），
故，
所以AC边上的中线BD所在的直线方程为y﹣1＝2（x﹣2），即2x﹣y﹣3＝0；
（2）设BC边长的高为AH，
则kAHkBC＝﹣1，
因为，所以，
所以AC边上的高所在的直线方程为，即x﹣2y+4＝0；
（3）由（2）知kBC＝﹣2，
所以直线BC的方程为y﹣1＝﹣2（x﹣2），即2x+y﹣5＝0，
所以点A到直线BC的距离，
又，
所以△ABC的面积为．
【点评】本题主要考查直线方程的求解，属于基础题．
17．（14分）已知圆C过点（1，1），圆心为（2，0）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）判断直线y＝x﹣4与圆C的位置关系；
（Ⅲ）已知过点P（1，3）的直线l交圆C于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．
【分析】（I）由两点间的距离可求半径，进而可求圆的方程；
（II）求得圆心到直线的距离，进而可判断直线与圆的位置关系；
（Ⅲ）分斜率是否存在两种情况，分别设出直线的方程可求得直线的方程．
【解答】解：（I）由题意，圆的半径为，
则圆C的方程为（x﹣2）2+y2＝2．
（II）设圆心到直线的距离为d，则，故直线与圆相切；
（Ⅲ）若斜率不存在，则直线方程为x＝1，弦心距d＝1，半径为，
则|AB|＝2＝2，符合题意；
若斜率存在，设直线方程为y﹣3＝k（x﹣1），
即kx﹣y﹣k+3＝0．
弦心距d＝，
得|AB|＝2＝2，
解得k＝﹣，直线方程为y＝﹣x+．
综上所述，直线l的方程为x＝1或y＝﹣x+．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查切线方程的求法，属中档题．
18．（13分）在三棱锥P﹣ABC中，△PAC和△PBC是边长为的等边三角形，AB＝2，O，D分别是AB，PB的中点．
（1）求证：OD∥平面PAC；
（2）求证：平面PAB⊥平面ABC；
（3）求三棱锥P﹣ABC的体积．
【分析】（1）欲证OD∥平面PAC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证OD与平面PAC内一直线平行，而OD∥PA，PA⊂平面PAC，OD⊄平面PAC，满足定理条件；
（2）欲证平面PAB⊥平面ABC，根据面面垂直的判定定理可知在平面PAB内一直线与平面ABC垂直，而根据题意可得PO⊥平面ABC；
（3）根据OP垂直平面ABC得到OP为三棱锥P﹣ABC的高，根据三棱锥的体积公式可求出三棱锥P﹣ABC的体积．
【解答】证明（Ⅰ）∵O，D分别为AB，PB的中点，
∴OD∥PA
又PA⊂平面PAC，OD⊄平面PAC
∴OD∥平面PAC．
（Ⅱ）连接OC，OP∵，O为AB中点，AB＝2，
∴OC⊥AB，OC＝1．
同理，PO⊥AB，PO＝1．
又，
∴PC2＝OC2+PO2＝2，
∴∠POC＝90°．
∴PO⊥OC．
∵PO⊥OC，PO⊥AB，AB∩OC＝O，
∴PO⊥平面ABC．PO⊂平面PAB
∴平面PAB⊥平面ABC．
解（Ⅲ）由（Ⅱ）可知OP垂直平面ABC，
∴OP为三棱锥P﹣ABC的高，且OP＝1
∴．
【点评】本题主要考查直线与平面平行的判定，以及平面与平面垂直的判定和三棱锥的体积的计算，体积的求解在最近两年高考中频繁出现，值得重视．
19．（14分）已知圆E经过点A（0，0），B（1，1），从下列3个条件选取一个：
①过点C（2，0）；
②圆E恒被直线mx﹣y﹣m＝0（m∈R）平分；
③与y轴相切．
（1）求圆E的方程；
（2）过点P（2，3）的直线l与圆E相切，求直线l方程．
【分析】（1）结合已知条件利用待定系数法或圆的几何性质即可求解；
（2）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式计算即可．
【解答】解：（1）若选①：设圆E的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），
因为圆E经过点A（0，0），B（1，1），C（2，0），
所以，
故圆E的方程为：x2+y2﹣2x＝0，即（x﹣1）2+y2＝1；
若选②：由直线方程mx﹣y﹣m＝0可知，y＝m（x﹣1），
故直线mx﹣y﹣m＝0恒过点（1，0），
因为圆E恒被直线mx﹣y﹣m＝0平分，
所以圆E的圆心为（1，0），
因为A（0，0）在圆上，故圆E的半径r＝1，
从而圆E的方程为：（x﹣1）2+y2＝1；
若选③：不妨设圆E的圆心为（a，b），半径为r，
此时r＝|a|，
故圆E的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝a2，
分别将A（0，0），B（1，1）代入上式可得，，
故圆E的方程为：（x﹣1）2+y2＝1；
（2）当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，
圆E的圆心（1，0）到直线x＝2的距离为1，
则此时直线l：x＝1与圆E相切，
当直线l的斜率存在时，设方程为y﹣3＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+3＝0，
则圆心（1，0）到直线l的距离，解得，
所以此时直线l的方程为，即4x﹣3y+1＝0，
综上：直线l的方程为x＝2或4x﹣3y+1＝0．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的方程的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD⊥BA，AD＝3，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝3，点M在棱PD上，点N为BC中点．
（1）证明：若DM＝2MP，直线MN∥平面PAB；
（2）求二面角C﹣PD﹣N的正弦值；
（3）是否存在点M，使NM与平面PCD所成角的正弦值为？若存在求出值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用面面平行证明线面平行；
（2）利用坐标法求二面角余弦值与正弦值；
（3）设，可表示点M与，再根据线面夹角求得λ的值．
【解答】（1）证明：如图所示，在线段AD上取一点Q，使，连接MQ，NQ，
∵DM＝2MP，
∴QM∥AP，
又AD＝3，AB＝BC＝2，
∴，四边形ABNQ为平行四边形，
∴NQ∥AB，
又NQ∩MQ＝Q，AB∩AP＝A，
所以平面MNQ∥平面PAB，
∵MN⊂平面MNQ，
∴MN∥平面PAB；
（2）解：如图所示，以点A为坐标原点，以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，
则B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，3，0），P（0，0，3），
又N是BC中点，则N（2，1，0），
所以，，，
设平面PCD的法向量，
则，令x1＝1，则，
设平面PND的法向量，
则，令x2＝1，则，
所以，
则二面角C﹣PD﹣N的正弦值为；
（3）解：存在，或．理由如下：
假设存在点M，设，即，λ∈[0，1]，
由（2）得D（0，3，0），P（0，0，3），N（2，1，0），且平面PCD的法向量，
则，，
则M（0，3λ，3﹣3λ），
，
解得或λ＝1，
故存在点M，此时或．
【点评】本题主要考查线面平行的证明，空间向量的应用，立体几何中的探索性问题等知识，属于中等题．
21．（15分）对于平面直角坐标系中的两点A（x1，y1），B（x2，y2），现定义由点A到点B的“折线距离”ρ（A，B）为ρ（A，B）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．
（1）已知A（1，0），B（2，3），求ρ（A，B）；
（2）已知点A（1，0），点B是直线上的一个动点，求ρ（A，B）的最小值；
（3）对平面上给定的两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），是否存在点C（x，y），同时满足
①ρ（A，C）+ρ（C，B）＝ρ（A，B）；②ρ（A，C）＝ρ（C，B）．
若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明．
【分析】（1）直接利用定义性知识的应用求出折线距离；
（2）首先利用直线的垂直关系进一步求出垂线的直线方程，进一步求出垂足的坐标，最后求出折线距离的最小值；
（3）利用绝对值不等式的应用和折线的距离公式的应用求出结果．
【解答】解：（1）定义由点A到点B的“折线距离”ρ（A，B）为ρ（A，B）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．
已知A（1，0），B（2，3），
所以ρ（A，B）＝|2﹣1|+|3﹣0|＝4．
解：（2）点A（1，0），点B是直线上的一个动点，所以直线l的垂线的斜率为k＝，
所以经过点（1，0）且斜率为﹣的直线方程为，整理得，
所以，解得，即B（）．
ρ（A，B）的最小值为：．
（3）证明：对平面上给定的两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），由绝对值不等式知：ρ（A，C）+ρ（C，B）＝|x﹣x1|+|x2﹣x|+|y﹣y1|+|y2﹣y|≥|（x﹣x1）+（x2﹣x）|+|（y﹣y1）+（y2﹣y）|＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|＝ρ（A，B）
当且仅当（x﹣x1）•（x2﹣x）≥0，且（y﹣y1）•（y2﹣y）≥0时等号成立．
【点评】本题考查的知识要点：定义性知识的应用，点到直线的距离公式，绝对值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
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