2023-2024学年北京市顺义区牛栏山一中高二（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年北京市顺义区牛栏山一中高二（上）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）若直线x+y﹣3＝0与2x+ay﹣1＝0垂直，则a＝（ ）
A．﹣2B．2C．D．
2．（4分）椭圆的两个焦点是（﹣4，0）和（4，0），椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）若方程x2+y2+4x+2y﹣m＝0表示一个圆，则m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣5）B．（﹣5，+∞）C．（﹣∞，5）D．（5，+∞）
4．（4分）若双曲线C：的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．（4分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上横坐标为3的点M到焦点F的距离为6，则p＝（ ）
A．2B．3C．6D．8
6．（4分）已知平面α的法向量为，若平面α外的直线l的方向向量为，则可以推断（ ）
A．l∥αB．l⊥αC．l与α斜交D．l⊂α
7．（4分）已知点M的坐标为（a，b），圆M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，则“|AB|＝|CD|”是“a＝b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充分必要条件
8．（4分）已知三棱锥O﹣ABC，点D是OA的中点，点G是△ABC的重心（三角形三条中线的交点叫三角形的重心）设，，，则向量用基底可表示为（ ）
A．B．
C．D．
9．（4分）设点P为函数图象上的动点，Q是圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝3（其中ab＝0）上的动点，若|PQ|的最小值为，则以所有满足条件的点C为顶点的多边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
10．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是线段BC1的中点，点F是线段BD上的动点，下列结论中错误的是（ ）
A．对于任意的点F，均有EF⊥A1C
B．存在点F，使得EF∥平面AA1B1B
C．存在点F，使得EF与CC1所成角是60°
D．不存在点F，使得EF与平面ABC1D1的所成角是30°
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）
11．（5分）直线y＝1的倾斜角为 ．
12．（5分）平面直角坐标系中，已知直线l过点（0，4），与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线l的方程为 ．
13．（5分）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，则F到l的距离是 ；若斜率为的直线经过焦点F在第一象限与抛物线交于点M，过M作MN垂直于l于点N，则△MNF的面积为 ．
14．（5分）已知椭圆C：与双曲线E：有共同的焦点F1，F2，设两曲线的其中一个交点为P，且，则双曲线的离心率为 ．
15．（5分）关于曲线W1：x2+y2＝m2，W2：x4+y2＝m2（m＞0）．
①曲线W2关于x轴、y轴和原点对称；
②当m＝1时，两曲线共有四个交点；
③当0＜m＜1时，曲线W1围成的区域面积大于曲线W2所围成的区域面积；
④当时，曲线W2对围成的平面区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是3．
上述结论中所有正确命题的序号是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤.
16．（13分）平面直角坐标系中，已知圆的圆心是C（0，1），且经过点，直线l的方程为x+y+m＝0．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）若l与圆C相切，求m的值；
（Ⅲ）若直线l被圆截得的弦长，求m的值．
17．（14分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，且经过点P（1，2）．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程、焦点坐标；
（Ⅱ）经过焦点F且斜率是1的直线l，与抛物线交于A、B两点，求|AB|以及△OAB的面积．
18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PD＝2，点E是PC的中点．
（Ⅰ）求证：BC∥平面PAD；
（Ⅱ）求直线AC与EB所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线EB与平面PAD所成角的正弦值．
19．（16分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AB＝2，AA1＝3，M为棱AB的中点，点N是A1C上靠近C的三等分点．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面MCC1；
（Ⅱ）求二面角N﹣B1M﹣A的余弦值；
（Ⅲ）棱AC上是否存在点P，使得点P在平面B1MN内？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
20．（15分）已知椭圆C：的长轴长为，离心率为，过右焦点且与x轴不垂直的直线l与椭圆相交于A，B两点，点M的坐标为（2，1），记直线MA，MB的斜率分别为k1，k2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当时，求直线l的方程；
（Ⅲ）求证：k1+k2为定值．
21．（13分）对于空间向量，定义，其中max{x，y，z}表示x，y，z这三个数的最大值．
（Ⅰ）已知，．
①直接写出和（用含x的式子表示）；
②当0≤x≤4，写出的最小值及此时x的值；
（Ⅱ）设，，求证：；
（Ⅲ）在空间直角坐标系O﹣xyz中，A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，2），点Q是△ABC内部的动点，直接写出的最小值（无需解答过程）．
2023-2024学年北京市顺义区牛栏山一中高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，四个选项中只有一个符合题目）
1．（4分）若直线x+y﹣3＝0与2x+ay﹣1＝0垂直，则a＝（ ）
A．﹣2B．2C．D．
【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．
【解答】解：直线x+y﹣3＝0与2x+ay﹣1＝0垂直，
则1×2+1×a＝0，解得a＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
2．（4分）椭圆的两个焦点是（﹣4，0）和（4，0），椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据已知条件，结合椭圆的定义以及性质，即可求解．
【解答】解：椭圆的两个焦点是（﹣4，0）和（4，0），椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，
则2a＝10，即a＝5，c＝4，
故b2＝a2﹣c2＝25﹣16＝9，
所以椭圆的标准方程是．
故选：C．
【点评】本题主要考查椭圆标准方程的求解，属于基础题．
3．（4分）若方程x2+y2+4x+2y﹣m＝0表示一个圆，则m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣5）B．（﹣5，+∞）C．（﹣∞，5）D．（5，+∞）
【分析】根据圆的一般式满足的条件即可列不等式求解．
【解答】解：因为方程x2+y2+4x+2y﹣m＝0表示一个圆，
所以42+22+4m＞0，解得m＞﹣5．
故选：B．
【点评】本题主要考查二元二次方程表示圆的条件，属于基础题．
4．（4分）若双曲线C：的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用双曲线的性质计算即可．
【解答】解：由题意可知，即，
所以a＝3，b＝，又双曲线的焦点在x轴上，
则该双曲线的渐近线方程为y＝＝±x．
故选：D．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属于基础题．
5．（4分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上横坐标为3的点M到焦点F的距离为6，则p＝（ ）
A．2B．3C．6D．8
【分析】由抛物线的方程可得准线方程，由抛物线的性质可得|MF|的代数式，由题意可得p的值．
【解答】解：由抛物线的方程可得准线方程为：x＝﹣，
由抛物线的性质可得|MF|＝3+＝6，解得p＝6．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的性质的应用，属于基础题．
6．（4分）已知平面α的法向量为，若平面α外的直线l的方向向量为，则可以推断（ ）
A．l∥αB．l⊥αC．l与α斜交D．l⊂α
【分析】根据平面法向量与直线的方向向量数量积以及向量的共线定理可判断．
【解答】解：因为平面α的法向量为，平面α外的直线l的方向向量为，则l⊄α，
又＝﹣2+3＝1≠0，则l与α不平行，
又不存在实数λ，使得，故l与α不垂直，
故l与α斜交．
故选：C．
【点评】本题考查平面法向量与直线的方向向量数量积以及向量的共线定理，属于基础题．
7．（4分）已知点M的坐标为（a，b），圆M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，则“|AB|＝|CD|”是“a＝b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充分必要条件
【分析】根据|AB|＝|CD|结合勾股定理可得出|a|＝|b|，结合充分条件、必要条件的定义判断，即可得到本题的答案．
【解答】解：设圆M的半径为r，则圆心M到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|，
若|AB|＝|CD|，则，可得|a|＝|b|，则a＝±b．
因为“a＝±b”⇏“a＝b”，且“a＝±b”⇐“a＝b”，
因此，“|AB|＝|CD|”是“a＝b”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
8．（4分）已知三棱锥O﹣ABC，点D是OA的中点，点G是△ABC的重心（三角形三条中线的交点叫三角形的重心）设，，，则向量用基底可表示为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】记BC的中点为E，连接AE，然后根据重心性质和空间向量的线性运算可得．
【解答】解：记BC的中点为E，连接AE，
则，
又，，
所以，
由重心性质可知，
所以，
所以＝＝（）＝+．
故选：B．
【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．
9．（4分）设点P为函数图象上的动点，Q是圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝3（其中ab＝0）上的动点，若|PQ|的最小值为，则以所有满足条件的点C为顶点的多边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】分别讨论圆心在原点，在x轴上和在y轴上，结合图形分析，利用圆心到直线的距离求出圆心坐标，即可求得面积．
【解答】解：当a＝0，b＝0时，显然不满足题意；
当a＞0，b＝0时，由图可知，|PQ|的最小值为圆心到直线y＝x的距离减去半径，
因为|PQ|的最小值为，
所以﹣＝，解得a＝4，此时圆心为（4，0）；
当a＜0，b＝0时，由可对称性可知，此时圆心为（﹣4，0）；
当a＝0，b＞0时，由图可知，|PQ|的最小值为圆心到直线y＝x的距离减去半径，
因为|PQ|的最小值为，
所以﹣＝，解得b＝4，此时圆心为（0，4）；
当a＞＝0，b＜0时，由图可知，|PQ|的最小值为|OC|减去半径，
因为|PQ|的最小值为，
所以圆心为（0，﹣2）．
连接四点得如图所示四边形，则该四边形的面积为：
S＝＝24．
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，分类讨论的数学思想方法，属中档题．
10．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是线段BC1的中点，点F是线段BD上的动点，下列结论中错误的是（ ）
A．对于任意的点F，均有EF⊥A1C
B．存在点F，使得EF∥平面AA1B1B
C．存在点F，使得EF与CC1所成角是60°
D．不存在点F，使得EF与平面ABC1D1的所成角是30°
【分析】建立空间直角坐标系，由空间中直线与平面的位置关系，直线与平面所成角，异面直线所成角的坐标表示逐一判断各选项即可．
【解答】解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设正方体的棱长为2，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），D1（0，0，2），E（1，2，1），
因为点F是线段BD上的动点，所以设＝（2λ，2λ，0）（0＜λ＜1），即F（2λ，2λ，0），
对于A，因为，，
因为＝0，所以对于任意的点F，均有EF⊥A1C，故A正确；
对于B，因为，平面AA1B1B的一个法向量为，
因为EF⊄平面AA1B1B，若，即时，EF∥平面AA1B1B，
所以存在点F，使得EF∥平面AA1B1B，故B正确；
对于C，因为，，
所以＝＝＝，解得，
所以存在点F，使得EF与CC1所成角是60°，故C正确；
对于D，因为，，＝（﹣2，0，2），
设平面ABC1D1的法向量为，
则，解得，令x＝1，得，
若EF与平面ABC1D1的所成角是30°，
则＝＝，解得：，
所以存在点F，使得EF与平面ABC1D1的所成角是30°，故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查空间中点，直线，平面的位置关系，直线与平面所成角，异面直线所成角，属于中档题．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）
11．（5分）直线y＝1的倾斜角为 0° ．
【分析】根据已知条件，结合直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解．
【解答】解：直线y＝1的斜率为0，
倾斜角为0°．
故答案为：0°．
【点评】本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
12．（5分）平面直角坐标系中，已知直线l过点（0，4），与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线l的方程为 y＝±2x+4 ．
【分析】根据题意，设直线方程为y＝kx+4，求出它与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式，算出k值，即可得到本题的答案．
【解答】解：设直线方程为y＝kx+4，交x轴于，B（0，4）．
可得，解得k＝±2，所以直线l的方程为y＝±2x+4．
故答案为：y＝±2x+4．
【点评】本题主要考查直线的方程、三角形的面积计算等知识，考查了计算能力，属于基础题．
13．（5分）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，则F到l的距离是 4 ；若斜率为的直线经过焦点F在第一象限与抛物线交于点M，过M作MN垂直于l于点N，则△MNF的面积为 16 ．
【分析】由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程，设直线MF的方程，与抛物线的方程联立，可得M的坐标，进而求出|MN|的值，代入三角形的面积公式，可得△MNF的面积．
【解答】解：由抛物线C：y2＝8x的方程可得焦点为F（2，0），准线为l：x＝﹣2，所以F到l的距离为2+2＝4；
设直线MF的方程为x＝y+2，
联立，整理可得y2﹣y﹣16＝0，
因为M在第一象限，所以yM＝＝4，xM＝＝6，
所以S△MNF＝|MN|•yM＝×（6+2）×4＝16．
故答案为：4；16．
【点评】本题考查抛物线的性质的应用及直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
14．（5分）已知椭圆C：与双曲线E：有共同的焦点F1，F2，设两曲线的其中一个交点为P，且，则双曲线的离心率为 ．
【分析】根据椭圆和双曲线定义，结合余弦定理即可求得a，然后可得离心率．
【解答】解：由题知，椭圆长半轴长为5，短半轴长为3，所以c＝4，
不妨设交点P在第一象限，记|PF1|＝m，|PF2|＝n，
由椭圆和双曲线定义知，，解得m＝5+a，n＝5﹣a，
又因为，
由余弦定理可得，
解得a＝3，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查了余弦定理和椭圆、双曲线的性质，属于中档题．
15．（5分）关于曲线W1：x2+y2＝m2，W2：x4+y2＝m2（m＞0）．
①曲线W2关于x轴、y轴和原点对称；
②当m＝1时，两曲线共有四个交点；
③当0＜m＜1时，曲线W1围成的区域面积大于曲线W2所围成的区域面积；
④当时，曲线W2对围成的平面区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是3．
上述结论中所有正确命题的序号是 ①②④ ．
【分析】①将点（x，﹣y）、（﹣x，y）、（﹣x，﹣y）判断方程是否仍为x4+y2＝m2即可；②联立曲线方程，求得x＝0或x＝±1，再求交点个数；③④曲线W是圆心为原点，半径为m的圆，利用二次函数性质求曲线W2上任意一点（x，y）到原点距离d的范围，结合对称性即可判断．
【解答】解：①由点（x，y）在上，
对于点（x，﹣y），代入方程x4+（﹣y）2＝x4+y2＝m2，也在W2上；
对于点（﹣x，y），代入方程（﹣x）4+y2＝x4+y2＝m2，也在W2上；
对于点（﹣x，﹣y），代入方程（﹣x）4+（﹣y）2＝x4+y2＝m2，也在W2上；
所以曲线W2关于x轴、y轴和原点对称，故①对；
②当m＝1时，，
联立可得x4+1﹣x2＝1，即x2（x2﹣1）＝0⇒x＝0或x＝±1，
当x＝0时，都有y＝±1，即存在交点（0，﹣1），（0，1）；
当x＝±1时，都有y＝0，即存在交点（﹣1，0），（1，0）；
综上，共有四个交点，故②对；
③当0＜m＜1时，对于曲线W1是圆心为原点，半径为m的圆，
对于曲线W2，有y2＝m2﹣x4≥0，即0≤x2≤m，
所以曲线W2上任意一点（x，y）到原点距离，
由0＜m＜1，结合二次函数的性质知x2＝0时，dmin＝m，即d≥m恒成立，
所以曲线W2面积更大，故③错；
④当时，则，故y2＝2﹣x4≥0，可得，
曲线W2上任意一点（x，y）到原点距离，
当时，，结合对称性知，
曲线W2对围成的平面区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是3，故④对．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了命题真假的判断，由方程研究曲线的性质和两曲线交点个数的判断，考查了转化思想，属中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤.
16．（13分）平面直角坐标系中，已知圆的圆心是C（0，1），且经过点，直线l的方程为x+y+m＝0．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）若l与圆C相切，求m的值；
（Ⅲ）若直线l被圆截得的弦长，求m的值．
【分析】（Ⅰ）求得|AC|可求圆C的标准方程；
（Ⅱ）利用圆心到直线的距离等于半径可求m；
（Ⅲ）利用弦长求得圆心到直线的距离，进而可求m．
【解答】解：（I）由圆的圆心是C（0，1），且经过点，
所以r＝|CA|＝2，所以圆C的方程为x2+（y﹣1）2＝4．
（Ⅱ）由l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离，
解得或；
（Ⅲ）设圆心C到直线l的距离为d′，
由直线l被圆截得的弦长，得，
因为，所以d′＝1，
即有，解得或．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查垂径定理的应用，考查运算求解能力，属中档题．
17．（14分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，且经过点P（1，2）．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程、焦点坐标；
（Ⅱ）经过焦点F且斜率是1的直线l，与抛物线交于A、B两点，求|AB|以及△OAB的面积．
【分析】（Ⅰ）由题意，设出抛物线的方程，将点P代入方程中再进行求解即可；
（Ⅱ）设出直线l的方程，将直线l的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，
不妨设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），
因为抛物线经过点P（1，2），
解得p＝2
所以抛物线的标准方程为y2＝4x，焦点坐标为（1，0）；
（Ⅱ）因为直线l经过焦点F且斜率是1，
所以直线l的方程为y＝x﹣1
联立，
消去y并整理得x2﹣6x+1＝0
不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），
由韦达定理得x1+x2＝6，x1x2＝1，
此时，
又，
故．
【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PD＝2，点E是PC的中点．
（Ⅰ）求证：BC∥平面PAD；
（Ⅱ）求直线AC与EB所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线EB与平面PAD所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）由线线的平行可得线面的平行；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，由向量夹角的余弦值可得线线的夹角的正弦值；
（Ⅲ）由直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值可得线面夹角的正弦值．
【解答】（I）证明：因为ABCD为正方形，所以BC∥AD，
因为BC⊄平面PCB，AD⊂平面PAD，
所以BC∥平面PAD．
（Ⅱ）解：因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DC，
又因为底面ABCD是正方形，所以AD⊥DC，
如图，以DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
由题意则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），E（0，1，1），C（0，2，0），
则，，
所以•＝﹣2×2+2×1+0×（﹣1）＝﹣2，||＝＝2，||＝＝，
所以，
所以线线所成角的余弦值为．
（Ⅲ）解：平面PAD的法向量为，
，所以•＝0×2+1×1+0×（﹣1）＝1，||＝1，
设直线EB与平面PAD所成角为θ，
则．
【点评】本题考查线线垂直的证明及用向量的方法求线线角及线面角的正弦值，属于中档题．
19．（16分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AB＝2，AA1＝3，M为棱AB的中点，点N是A1C上靠近C的三等分点．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面MCC1；
（Ⅱ）求二面角N﹣B1M﹣A的余弦值；
（Ⅲ）棱AC上是否存在点P，使得点P在平面B1MN内？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【分析】（Ⅰ）由题意，证明AB⊥CM，CC1⊥AB，即可证得线面垂直；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面B1MN的法向量，取平面B1MA的法向量，利用法向量夹角的余弦值求得结论；
（Ⅲ）由共面向量定理得到的坐标，再利用平面内的向量与法向量垂直，即可求得λ的值．
【解答】解：（I）证明：连接AC1，BC1，
由于AM＝MB，AC＝BC，所以AB⊥CM，
在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥AB，
又CM∩CC1＝C，所以AB⊥平面CC1M；
（Ⅱ）如图，
取A1B1中点Q，由于AA1⊥平面ABC，MQ∥AA1，因此MQ⊥平面ABC，
又因为AC＝BC，所以MB⊥MC，故MB，MC，MQ两两垂直，
以M为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系M﹣xyz，
则A1（﹣1，0，3），C（0，2，0），B1（1，0，3），M（0，0，0），，
，，，
设平面B1MN的法向量为，
则有，
取z＝﹣1，则有x＝3，y＝，则，
平面B1MA的法向量为，
设所求二面角为θ，
则；
（Ⅲ）设，
则，
因为平面B1MN的法向量，
若点P在平面B1MN内，则垂直于，
所以，
解得，
所以棱AC上存在点P在平面B1MN内，此时．
【点评】本题考查线面垂直的判定，考查二面角的求法，考查点在面内的判定，属中档题．
20．（15分）已知椭圆C：的长轴长为，离心率为，过右焦点且与x轴不垂直的直线l与椭圆相交于A，B两点，点M的坐标为（2，1），记直线MA，MB的斜率分别为k1，k2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当时，求直线l的方程；
（Ⅲ）求证：k1+k2为定值．
【分析】（Ⅰ）由题意，根据椭圆的长轴长、离心率以及a，b，c之间的关系，列出等式进行求解即可；
（Ⅱ）设出直线l的方程，将直线l的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式进行求解即可；
（Ⅲ）结合（Ⅱ）中所得信息以及斜率公式进行求证即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C的长轴长为，
所以，
解得，
因为椭圆C的离心率，
解得c＝1，
所以b2＝a2﹣c2＝1，
则椭圆C的方程为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆C的右焦点F（1，0），
易知直线l的斜率存在，
不妨设直线l的方程为y＝k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，消去y并整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）＝0，
此时Δ＞0，
由韦达定理得，，
因为
所以，
即，
解得，
则直线l的方程为y＝；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知
因为4﹣（x1+x2）﹣2（y1+y2）+x2y1+x1y2＝2kx1x2﹣（1+3k）（x1+x2）+4k+4．
所以
＝，
综上所述，k1+k2为定值2．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
21．（13分）对于空间向量，定义，其中max{x，y，z}表示x，y，z这三个数的最大值．
（Ⅰ）已知，．
①直接写出和（用含x的式子表示）；
②当0≤x≤4，写出的最小值及此时x的值；
（Ⅱ）设，，求证：；
（Ⅲ）在空间直角坐标系O﹣xyz中，A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，2），点Q是△ABC内部的动点，直接写出的最小值（无需解答过程）．
【分析】（Ⅰ）①直接由定义||，即可得解；②在同一直角坐标系中，画出y＝|3﹣x|，y＝|﹣4+x|，y＝|2﹣2x|的图象，得到||的表达式，再求出最小值；
（Ⅱ）直接由定义||，即可得证；
（Ⅲ）由四点共面的充要条件，结合定义||以及三角不等式即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）（1）因为|﹣4|≥|3|≥|2|，|2x|≥|x|＝|﹣x|，所以||a||＝4，||b||＝|2x|；
（2）由题意，可得，
y＝|3﹣x|，y＝|﹣4+x|，y＝|2﹣2x|的图象，如图所示．
由图可知，，所以|a﹣b|min＝2，此时x＝2．
（Ⅱ），
因为，
所以，
所以，
所以．
（Ⅲ）由题意Q，A，B，C四点共面，所以由四点共面的充要条件可知，
，
由（Ⅱ）可知，，
所以，
所以，等号成立当且仅当．
【点评】本题考查了空间向量的综合，绝对值三角不等式，考查了转化思想，属难题．
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