河北省郑口中学、鸡泽县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份河北省郑口中学、鸡泽县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设直线的倾斜角为,则( )
A.B.C.D.
2．已知平面的一个法向量为,直线的一个方向向量为,若,则( )
A.B.C.1D.2
3．已知直线与平行,且过点,则( )
A.B.3C.D.2
4．如图,在正三棱锥中,点G为的重心,点M是线段PG上的一点,且,记,,,则( )
A.B.C.D.
5．已知从点发出的一束光线,经过直线反射,反射光线恰好过点,则反射光线所在的直线方程为( )
A.B.C.D.
6．如图,在直三棱柱中,是等边三角形,,,则点C到直线的距离为( )
A.B.C.D.
7．已知实数x,y满足,且,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．在正三棱锥中,,点M满足,则AM的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知空间向量,,,且,则下列说法正确的是( )
A.B.
C.D.
10．已知直线和直线,下列说法正确的是( )
A.始终过定点B.若,则或
C.若,则或2D.当时,始终不过第三象限
11．如图,在棱长为2的正方体中,点P,M是底面内的一点（包括边界）,且,,则下列说法正确的是( )
A.点P的轨迹长度为
B.点M到平面的距离是定值
C.直线CP与平面ABCD所成角的正切值的最大值为
D.PM的最小值为
三、填空题
12．已知过点的直线l在x轴上的截距是其在y轴上截距的3倍,则满足条件的一条直线l的方程为________.
13．已知向量,,,若,,共面,则________.
14．如图,在正三棱柱中,为棱上的动点（包括端点）,N为AM的中点,则直线CN与平面所成角的正弦值的取值范围为________.
四、解答题
15．已知的顶点坐标为,,.
（1）若点D是AC边上的中点,求直线BD的方程;
（2）求AB边上的高所在的直线方程.
16．如图,在直三棱柱中,,,点E,F分别为棱AB,的中点.
（1）求证:平面;
（2）求直线与直线AF的夹角的余弦值.
17．如图,在直四棱柱中,四边形ABCD是矩形,,,点P是棱上的一点,且.
（1）求证:四边形ABCD为正方形;
（2）求直线与平面PAC所成角的正弦值.
18．已知直线过定点P.
（1）求过点P且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程;
（2）若直线l过点P且交x轴正半轴于点A,交y轴负半轴于点B,记的面积为S（为坐标原点）,求S的最小值,并求此时直线l的方程.
19．如图,在四棱锥中,底面ABCD为直角梯形,,,,,,,且平面平面ABCD,在平面ABCD内过B作,交AD于O,连PO.
（1）求证:平面ABCD;
（2）求二面角的正弦值;
（3）在线段PA上存在一点M,使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为,求PM的长.
参考答案
1．答案：A
解析：由直线,可得直线l的斜率为,
设直线l的倾斜角为,其中,可得,所以.
故选:A.
2．答案：B
解析：因为,所以,
所以,解得.
故选:B.
3．答案：D
解析：因为直线与直线平行,
所以,解得,
又直线过,则,解得,
经验证与不重合,所以.
故选:D.
4．答案：A
解析：如图,连接AG并延长交BC于点D,连接PD.
因G为的重心,
故,
又点M是线段PG上的一点,且,
故
.
故选:A.
5．答案：C
解析：点关于对称的点设为,
则,反射光线经过点,,,
则反射光线所在的直线方程为,即.
故选:C.
6．答案：C
解析：取AC的中点O,
则,,
以OB所在直线为x轴,OC所在直线为y轴,O与中点连线所在直线为z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
所以,,,
所以,,
所以在上的投影的长度为,
故点C到直线的距离为.
故选:C.
7．答案：D
解析：由题意知,点满足关系式,且,
可得点在线段AB上移动,且,,如图所示,
设,则,
因为点在线段AB上,所以的取值范围是.
故选:D.
8．答案：B
解析：如图所示,延长PA,PB,PC至点D,E,F,使得,,,
所以,
又由,所以M,D,E,F四点共面,
所以AM的最小值,即为点A到平面DEF的距离,
因为点A是PD的中点,则点A到平面DEF的距离是点P到平面DEF的距离的一半,
又因为,所以三棱锥为正三棱锥,
取等边的中心为O,连接DO,PO,可得平面DEF,
所以PO即为点P到平面DEF的距离,
在等边,因为,可得,
在直角中,可得,
即点P到平面DEF的距离为,所以AM的最小值为.
故选:B.
9．答案：ABD
解析：对于A,,,
,故A正确;
对于B,,,设,故B正确;
对于C,,,故C错误;
对于D,,故D正确.
故选:ABD.
10．答案：ACD
解析：选项A:,令,得,过点,A正确;
选项B:当时,,重合,故B错误;
选项C:当时,由,得或2,故C正确;
选项D:当时,始终过,斜率为负,不会过第三象限,故D正确.
故选:ACD
11．答案：BCD
解析：对于A,因为,即,所以,
即点E在底面内是以为圆心､半径为1的圆上,
所以点P的轨迹长度为,故A错误;
对于B,在正方体中,,
又,,BD,平面,所以平面DBM,
所以点M的轨迹为线段,
又平面,所以点M到平面的距离是定值,故B正确;
对于C,因为平面ABCD,所以为直线CP与平面ABCD所成角,
因为点P到ABCD的距离为定值2,记点P在平面ABCD的投影为,
所以当取得最小值时,直线CP与平面ABCD所成角的正切值最大,
又,
所以直线CP与平面ABCD所成角的正切值的最大值为,故C正确;
对于D,到直线的距离为,
当点P,M落在上时,,故D正确.故选:BCD.
12．答案：（答案不唯一:或）
解析：由题意若过点的直线l在坐标轴上的截距均为0,则显然满足题意,即,
否则设满足题意的直线方程为,将代入得,即也满足题意.
故答案为:（答案不唯一:或）.
13．答案：5
解析：因为,,共面,所以存在实数x,y,使得,即,
即,解得:,,.
故答案为:5
14．答案：
解析：取AB中点O,以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,
设,且,
因为N为AM的中点,
故,于是,
平面的一个法向量为,
,
设,则,,
故,即直线CN与平面所成角的正弦值的取值范围为.
故答案为:.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为点D是AC边上的中点,则,
所以,
所以直线BD的方程为,
即;
（2）因为,
所以AB边上的高所在的直线的斜率为,
所以AB边上的高所在的直线方程为,即.
16．答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1）因是直三棱柱,则,,
又因点E,F分别为棱的中点,所以,,
则四边形是平行四边形,所以,
又因平面,平面,故平面;
（2）如图,因直三棱柱中,故可以A为原点,以AB,AC,
所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
不妨设,则,,,于是,,
设直线与直线AF的夹角为,则,
故直线与直线AF的夹角的余弦值为.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）如图,连接DB,在直四棱柱中,平面ABCD,平面ABCD,所以,
又,,,平面,所以平面,
又平面,所以,又四边形ABCD是矩形,所以四边形ABCD为正方形;
（2）如图,以D为坐标原点,DA,DC,所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,
所以,,,
设平面PAC的一个法向量为,所以,
故可取,
设直线与平面PAC所成角的大小为,
所以
即直线与平面PAC所成角的正弦值为.
18．答案：（1）或或
（2）24,
解析：（1）直线,即,
令,即,即.
若直线过原点,且过点,
所以直线的方程为,即.
若直线不过原点,可设直线方程为,
因为点在直线上,所以,
若,则,
所以直线的方程为,
若,则，,
所以直线的方程为.
综上所述,所求直线的方程为或或.
（2）由题意可知,直线l的斜率k存在,且,
设直线,
令,则;令,则,
则
,
当且仅当时,即时取等号,
故S的最小值为24,此时,
所以直线.
19．答案：（1）证明见解析
（2）.
（3）.
解析：（1）因为,因为,,
所以四边形BODC为矩形,
在中,,,,
则,
,,
且平面平面ABCD,平面PAD
平面平面,
平面ABCD;
（2）以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,
,,可得,
则,,,,,
设平面APB的法向量为,,,
由,取.
设平面CPB的法向量为,,
由,取,
.
二面角是钝角,
二面角的正弦值为.
（3）设,则,
又平面PAD的法向量为,
直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为,
解得,.