林西县第一中学2024-2025学年高二上学期第一次质量检测（10月）数学试卷(含答案)

这是一份林西县第一中学2024-2025学年高二上学期第一次质量检测（10月）数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．空间直角坐标系中,已知点,,则线段的中点坐标为( )
A.B.C.D.
2．某班会课上，班主任拟从甲、乙，丙、丁、戊五名同学选3人以新冠疫情为主题分享体会，则甲没被选中的概率为( )
A．B．C．D．
3．平行六面体中，若，则( )
A．B．1C．D．
4．某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是( )
A．恰有1名女生和恰有2名女生
B．至少有1名男生和至少有1名女生
C．至少有1名女生和全是女生
D．至少有1名女生和至多有1名男生
5．据某地区气象局发布的气象数据，未来某十天内该地区每天最高温度（单位：℃）分别为：31，29，24，27，26，25，24，26，26，23，则这组数据的第40百分位数为( )
A．27B．26.5C．25.5D．25
6．在棱长为1的正方体中，求棱的中点M到平面的距离( )
A．B．
C．D．
7．据统计，我国牛、羊肉集贸市场价格在2019年波动幅度较大，2020年开始逐渐趋于稳定.如下图分别为2019年1月至2020年3月，我国牛肉、羊肉集贸市场月平均价格大致走势图，下列说法不正确的是( )
A．2019年1月至2020年3月，牛肉与羊肉月平均价格的涨跌情况基本一致
B．2019年3月开始至当年末，牛肉与羊肉的月平均价格都一直持续上涨
C．2019年7月至10月牛肉月平均价格的平均增量高于2020年1至2月的增量
D．同期相比，羊肉的月平均价格一定高于牛肉的月平均价格
8．在两条异面直线a，b上分别取点，E和点A，F，使，且.已知，，，，则两条异面直线a，b所成的角为( )
A．B．C．D．
二、多项选择题
9．抛掷一枚质地均匀的骰子所得的样本空间为，令事件，，，则下列说法中错误的有( )
A．A与B独立B．A与C独立C．B与C独立D．
10．为了解学生名著的年阅读量（单位：本），某班调查了12名男生，其年阅读量的平均数为4，方差为9；调查了8名女生，其年阅读量的平均数为7，方差为15，若将这20名学生合在一起组成一个容量为20的样本，则该样本数据的( )
A．平均数为5.5B．平均数为5.2
C．方差为13.56D．方差为14.56
11．如图,在棱长为1的正方体中,点P是线段上的一点,则下列说法正确的是( )
A.直线与平面所成的角为定值
B.平面
C.三棱锥的体积为定值
D.直线与直线所成的角为定值
三、填空题
12．已知一组样本数据的样本平均数为3，方差为2，由生成一组新的样本数据，则新数据的平均数为；样本方差为_______.
13．已知空间向量满足，则向量的夹角为________.
14．甲､乙､丙三名运动员的投篮命中率分别为0.8,0.6和0.5，现甲､乙､丙三名运动员各投篮一次，则至少有两人命中的概率为________.
四、解答题
15．如图，在直三棱柱中，，，，，M是的中点
(1)试建立适当的空间直角坐标系，并写出点，的坐标；
(2)求AM的长
(3)求证：.
16．有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2.
(1)将红色卡片和蓝色卡片分别放在两个袋中，然后从两个袋中各取一张卡片，求两张卡片数字之积为偶数的概率
(2)将五张卡片放在一个袋子中，从中任取两张，求两张卡片颜色不同的概率
17．2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，中国跳水运动小将全红婵备受大家关注.某调研机构为了了解杭州市民对亚运会跳水项目的认知程度，举办了一次“亚运会跳水项目”知识竞赛，随机抽取了1000名参赛者，发现他们的成绩都在40～100分之间，将他们的成绩分成，，，，，六组，并制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值以及这1000人竞赛成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）；
(2)用比例分配的分层随机抽样方法，从，中抽取6人，并从这6人中随机抽取2人进行采访，求接受采访的2人中有人成绩在的概率.
18．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，，，顶点P在底面ABCD的正投影为AD的中点O.
(1)求证：平面PAC⊥平面POB
(2)若，求直线AB与平面PAC所成角的大小.
19．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，，，，M为AD的中点.
（1）证明：平面CDE；
（2）求二面角的正弦值.
参考答案
1．答案：A
解析：点,,由中点坐标公式中得为：,即
故选：A.
2．答案：B
解析：从5人中选3人出来总共有种不同的选法,每种选法的可能性相同，
其中甲不被选中的可能结果有：乙丙丁、乙丙戊、乙丁戊、丙丁戊,共4种,所以甲没被选中的概率为
故选:B
3．答案：D
解析：
4．答案：A
解析：某小组有2名男生和3名女生,从中任选2名学生去参加唱歌比赛，
对于A,恰有1名女生和恰有2名女生不能同时发生,是互斥事件,故A正确;
对于B,至少有1名男生和至少有1名女生能同时发生,不是互斥事件,故B错误;
对于C,至少有1名女生和全是女生能同时发生,不是互斥事件,故C错误;
对于D,至少有1名女生和至多有1名男生能同时发生,不是互斥事件,故D错误.
故选:A
5．答案：C
解析：先将这些数据按照从小到大进行排序，分别为23,24,24,25,26,26,26,27,29,31，
又，
所以该组数据的第40百分位数为排序后的数列的第4个数和第5个数的平均数，，
故选:C
6．答案：B
解析：建立如图所示的空间直角坐标系,则,,
所以$
设平面的一个法向量为,
则
解得故,
显然平面平面,
所以平面与平面之间的距离
故选：B
7．答案：D
解析：根据图像的大致走势即可判断牛肉与羊肉月平均价格的涨跌情况基本一致,故选项A正确;
根据图像中的数据比较可知2019年3月开始至当年末,牛肉与羊肉的月平均价格,数据越来越大,都一直持续上涨,故选项B正确；
2019年7月至10月牛肉月平均价格的平均增量为
年1至2月牛肉增量为
,故选项C正确;
2019年8月牛肉月平均价格为72.63,2019年8月羊肉月平均价格为,
所以同期相比,羊肉的月平均价格也可能会低于牛肉的月平均价格,故选项D错误.
故选:D.
8．答案：B
解析：
,
所以,
所以,
故选B.
9．答案：AC
解析：由题意可得,,
则,,,
故只有A与C独立,
又,
故选:AC.
10．答案：BC
解析：某班调查了12名男生,其年阅读量的平均数为4,方差为9
这12名男生的年阅读量的总和为(本),
设这12名男生的年阅读量分别为则
调查了8名女生,其年阅读量的平均数为7,方差为15,这8名女生的年阅读量的总和为(本),设这8名女生的年阅读量分别为,则
若将这20名学生合在一起组成一个容量为20的样本,则该样本数据的平均数为,
方差为
故选BC
11．答案：BCD
解析：当P分别在C或时,显然直线与平面所成角不同,故A错误;
平面即为平面,又,平面,平面,
所以平面,故B正确;
因为,平面,平面,所以平面,
所以点到平面的距离为定值,所以三棱锥的体积为定值,故C正确;
在正方体中,易得平面,
又平面,所以,故D正确.
故选：BCD.
12．答案：7；8.
解析：
13．答案：
解析：由题意得,即,
所以,
所以,
所以
14．答案：
解析：记"至少有两人命中"为事件A,
则
15．答案：(1)
(2)
(3)证明见解析
解析：(1)以B为坐标原点，以BC，BA，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
所以，
(2)，，，
.
(3)，.
，，，
所以.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)将红色卡片和蓝色卡片分别放在两个袋中,然后从两个袋中各取一张卡片的所有可能情况有如下6种：红1蓝1，红1蓝2,红2蓝1,红2蓝2,红3蓝1,红3蓝2.
其中两张卡片数字之积为偶数有4种:红1蓝2,红2蓝1,红2蓝2，红3蓝2。
故所求的概率为.
(2)将五张卡片放在一个袋子中,从中任取两张的所有情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3,红2蓝1,红2蓝2,红3蓝1,红3蓝2,蓝1蓝2.
其中两张卡片颜色不同的情况有6种：红1蓝1，红1蓝2，红2蓝1,红2蓝2,红3蓝1,红3蓝2.故所求的概率为.
17．答案：(1)，平均数为72分
(2)
解析：(1)由频率分布直方图得:
解得,
平均数为
(2)内的频率为内的频率为0.05,比例分配的分层随机抽样方法,从中抽取6人,
则从内抽取人,记为1,2,3,4,5,
从内抽取人,记为6,
从这6人中随机抽取2人进行采访,基本事件有:
,
,
,共15个,
接受采访的2人中有人成绩在[90,100]包含的基本事件有:,共5种,:接受采访的2人中有人成绩在[90,100]的概率为
18．答案：(1)答案见解析
(2)
解析：(1)证明：在中，，
在中，，
则，
于是，
所以
因为PO⊥平面ABCD，平面，则；
又，平面，
所以AC⊥平面POB，
而AC平面PAC，
所以PAC⊥平面POB
(2)因为，平面PCD，平面PCD，
所以平面PCD，.
又平面平面，平面PCD，所以.
则l与平面PAC所成角的正弦值等于AB与平面PAC所成角的正弦值..
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
所以，，.
设平面PAC的一个法向量为，则，
即，即，
令，得.
设l与平面PAC所成角为，
则，.
又因为，
所以l与平面PAC所成角为.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）解法一：因为M为AD的中点，，且，，
所以，且，
所以四边形BCDM为平行四边形.
所以，
又平面，平面CDE，所以平面CDE.
解法二：因为，，所以，
又，所以四边形BCEF为平行四边形.
所以，又平面，平面CDE，所以平面CDE.
因为M为AD的中点，且，所以，且，所以四边形MDEF为平行四边形.
所以，又平面，平面CDE，所以平面CDE.
因为平面，，所以平面平面CDE.
又平面BMF，所以平面CDE.
（2）取AM的中点O，连接BO，FO.
由（1）解法一可知，，因为，所以，且.
由（1）解法二知四边形MDEF为平行四边形，所以，又，所以，
又，所以，
又，所以，
所以，即OB，OD，OF两两垂直.
分别以OB，OD，OF所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，，.
设平面FBM的法向量为，
则，即，
令，所以，，所以.
设平面EBM的法向量为，
则，即，
令，所以，，
所以.
设二面角的平面角为，所以，
因为，所以，即，
所以二面角的正弦值为.