南京市金陵中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份南京市金陵中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设,集合,集合,若,则的值为( )
A.1B.0C.D.
2．命题“,”的否定为( )
A.,B.,
C.,D.,
3．设,且,则的最小值为( )
A.9B.C.4D.
4．满足的集合A的个数为( )
A.5B.4C.8D.7
5．设全集,,,则集合A为( )
A.B.
C.D.
6．若a,,且,则下列不等式中,恒成立的是( )
A.B.C.D.
7．已知关于x的不等式的解集是,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．设集合,,若中恰含有3个整数,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知,下列不等式一定成立的是( )
A.B.C.D.
10．下列叙述正确的是( )
A.已知a,b,c是实数,则“”成立的充分不必要条件是“”
B.“”是“”的充分不必要条件
C.“且”是“”的充分不必要条件
D.“”是的必要不充分条件
11．关于x的不等式成立的必要不充分条件是,则下列叙述正确的是( )
A.的最小值为6
B.关于x的不等式的解集为
C.关于x的不等式的解集中整数解最少5个
D.
三、填空题
12．已知集合,,且,则集合________.
13．某公司一年需购买某种货物200吨,平均分成若干次进行购买,每次购买的运费为2万元,一年的总存储费用数值等于每次的购买吨数数值,则每次购买该种货物的吨数是________时,一年的总运费与总存储费用（单位:万元）之和最小,最小值是________万元.
14．已知当时,不等式恒成立,则实数________.
四、解答题
15．（1）已知,求的最大值;
（2）证明:若,,则.并写出等号成立的条件.
16．已知不等式的解集为A,不等式的解集为B,集合.
（1）设全集,求集合;
（2）设非空集合,若“”是“”的必要条件,求实数m的取值范围.
17．已知函数.
（1）已知关于x的不等式的解集为,若存在,使关于x的不等式有解,求实数m的取值范围;
（2）解关于x的不等式.
18．实验室需要制作带盖的长方体铁皮容器,如图所示.
（1）若要求长方体铁皮容器的容积为32000,高为20cm,求底面边长AB为何值时,用料最少?
（2）已经制作好的①、②、③、④四个长方体铁皮容器,其中①、②的底面积都是,高分别是③、④的底面积都是,高分别为（其中）,现甲、乙两人做游戏,每人每一次都从四个容器中取两个,以所取容器盛水总和多者为胜,若甲先取,问甲有没有必胜的方案,若有的话是什么方案,并证明你的结论;若没有的话,说明理由.
19．已知集合A为非空数集,定义:,
（1）若集合,直接写出集合S,T;
（2）若集合,,且,求证:;
（3）若集合,,记为集合A中元素的个数,求的最大值.
参考答案
1．答案：C
解析：因为,故,故,故,
故选：C.
2．答案：A
解析：命题“,”的否定就是把任意改为存在且大于零改为小于等于零,
故其否定为:,,
故选:A.
3．答案：D
解析：,
当且仅当,时等号成立,
故的最小值为,
故选:D.
4．答案：C
解析：因,则集合A必含元素,,元素,,中,可含0个、1个、2个、3个,所以集合A的个数为,
故选:C.
5．答案：B
解析：由题设可得如下韦恩图：
而,故,
故,
故选：B.
6．答案：D
解析：,所以A错;,只能说明两实数同号,同为正数,或同为负数,所以当,时,B错;同时C错;或都是正数,根据基本不等式求最值,,故D正确.
7．答案：A
解析：若,则,此不等式恒不成立,故原不等式无解,符合题设;
若,因为不等式的解为空集,故,
故,
综上,,
故选:A.
8．答案：C
解析：若中恰含有3个整数且可得,
若,由集合A可得,不符合题意;
若,由集合A可得,
此时,因为,所以,
所以实数a的取值范围是,
故选:C.
9．答案：AD
解析：因为,
对于选项A,由,,得到,所以选项A正确,
对于选项B,由,得到,所以选项B错误,
对于选项C,因为,又,
当时,,当时,,当,,所以选项C错误,
对于选项D,由,得到,所以选项D正确.
故选:AD.
10．答案：BCD
解析：对于选项A,当,时,推不出,即“”不是“”的充分条件,所以选项A错误,
对于选项B,当,则且,显然有,即可以推出,
当,则或,不一定有,即推不出,所以选项B正确,
对于选项C,当且,显然有,即且可以推出,
当,取,,显然有,但不满足且,即推不出且,所以选项C正确,
对于选项D,由,得到或,所以推不出,
当时,显然有,即可以推出,即“”是的必要不充分条件,所以选项D正确,
故选:BCD.
11．答案：ABD
解析：即为,
而关于x的不等式成立的必要不充分条件是,
故为的真子集,
所以,故.
对于A,因为,,
当且仅当,即时等号成立;
故的最小值为6,故A正确;
对于B,因为,故,
故的解集为,故B正确;
对于C,的解为,
因为,故不等式的解中至少有整数4,5,6,7,故C错误;
对于D,因为,故,
故,故D正确;
故选:ABD.
12．答案：
解析：因为,所以或,
由,得到或,
当时,集合A不满足集合的互异性,舍去,
当时,,满足题意,此时,
当时,集合B不满足集合的互异性,舍去,
故答案为:.
13．答案：20;40
解析：设每次购买该种货物的吨数为x吨,则共买次,其中,
故一年的总运费与总存储费用（单位:万元）之和为,
由基本不等式可得,当且仅当时等号成立,
故每次购买该种货物的吨数为20吨时,
一年的总运费与总存储费用（单位:万元）之和最小,最小值是40（万元）
故答案为:20;40.
14．答案：
解析：若,则当时,,
故在上恒成立,但的图象为抛物线,
它的开口向上,故矛盾,舍;
故,故时,,故,
当时,,故,
考虑的解,因为,故此方程必有两个不同的解,
而,故此方程有且仅有一个正实根,
故为方程的正实根,故,
故,
故答案为:
15．答案：（1）;
（2）证明见解析
解析：（1）因为,,当且仅当时等号成立,
故,当且仅当时等号成立,
故的最大值为.
（2）由基本不等式有,当且仅当时等号成立,
同理,当且仅当时等号成立,
故即,当且仅当时等号成立.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题设有,故,
故.
（2）因为Q非空,故,故,
而“”是“”的必要条件,故P是Q的子集,
故,故.
17．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）因为的解集为,
所以且的两个根为,
所以,故,
因为不等式在上有解,故或,
故.
（2）即为,
故,
若,则,此时不等式的解为;
若,则,此时不等式的解为;
若,
若,则或,此时不等式的解为;
若,则不等式的解为;
若,则或,此时不等式的解为;
综上:当时,不等式的解为;
当时,不等式的解为;
当时,不等式的解为;
当时,不等式的解为;
当时,不等式的解为.
18．答案：（1）当时,用料最省.
（2）甲有必胜的方案,方案见解析.
解析：（1）设长方体的长和宽分别为m,n,则,
而长方体的表面积为:
,
当且仅当时等号成立,故当时,用料最省.
（2）由题设有①的体积为,②的体积为,③的体积为,④的体积为,
若甲先取,甲有必胜的的方案,方案如下:
若,则,此时甲先取①②,则所取容器盛水总和最多,故甲此时获胜;
若,则,此时甲先取③④,则所取容器盛水总和最多,故甲此时获胜.
19．答案：（1）,.
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（1）由题设中S,T的定义可得:,.
（2）取,则,而,
且,故,又,
而均为中元素且非零,故即,
故.
（3）设,其中,,
不妨设,
则,
所以,
因为,
又因为,所以,
中最小的元素为0,最大的元素为,,
所以,,
实际上当时满足题意,
证明如下:
设,,
则,,
依题意有,解得,
故m的最小值为675,于是当时,A中元素最多,
即时满足题意,
综上所述,集合A中元素的个数的最大值为1350.