重庆市朝阳中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份重庆市朝阳中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设空间向量,,若,则实数k的值为( )
A.2B.-10C.-2D.10
2．已知空间向量,,则以为单位正交基底时的坐标为( )
A.B.C.D.
3．点关于x轴的对称点为,则( )
A.,,B.,,
C.,,D.,,
4．已知空间向量,,,若,,共面,则实数z的值为( )
A.4B.3C.2D.1
5．已知,,则在方向上的投影数量为( )
A.B.C.D.
6．如图,在平行六面体中,,,,,,则的长为( )
A.B.C.D.
7．已知向量，的夹角为钝角，则实数t的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．如图,已知正四棱锥的所有棱长均为1,E为PC的中点,则线段PA上的动点M到直线BE的距离的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是( )
A.,,B.,,
C.,,D.,,
10．下列说法错误的是( )
A.若A,B,C,D是空间任意四点,则有
B.若,则存在唯一的实数,使得
C.若,共线,则
D.对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若（其中）,则P,A,B,C四点共面
11．如图,在棱长为6的正方体中,E,F分别是棱,BC的中点,则( )
A.平面
B.异面直线与EF所成的角是
C.点到平面的距离是
D.平面截正方体所得图形的周长为
三、填空题
12．O为空间任意一点,若,若ABCP四点共面,则______________．
13．在三棱锥中,平面,是边长为2的正三角形,点F满足,则_________.
14．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形状体积的计算,其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图,在堑堵中,M,N分别是,的中点,,动点G在线段MN上运动,若,则___________．
四、解答题
15．如图,在正方体中,点E在BD上,且;点F在上,且．
求证：(1);
(2)．
16．在正方体中,设,,,E,F分别是,的中点．
(1)用向量,,表示,;
(2)若,求实数x,y,z的值．
17．如图,圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形,C是的中点,D是底面圆周上一点,.
(1)求的值;
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
18．如图,在中,,于C,现将沿AC折叠,使为直二面角(如图2),D是棱AB的中点,连接CD、VB、VD.
（1）证明:平面平面VCD;
（2）若,且棱AB上有一点E满足,求二面角的正弦值.
19．如图,在四棱锥中,平面ABCD,,,,,E为PD的中点,点F在PC上,且,设点G是线段PB上的一点．
(1)求证：平面PAD;
(2)若．判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由．
(3)设CG与平面AEF所成角为,求的范围.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意,解得．
故选：A．
2．答案：B
解析：空间向量,,则,
故以为单位正交基底时的坐标为.
故选:B.
3．答案：D
解析：因为点关于x轴的对称点为,
所以由对称性知,解得,
故选：D.
4．答案：B
解析：若空间向量,,共面,
则,所以,
所以,解得：,,.
故选：B.
5．答案：C
解析：在方向上的投影数量为.
故选：C.
6．答案：A
解析：平行六面体中,,
因为,,,,
所以
,
所以,即的长为.
故选:A.
7．答案：B
解析：由，解得
当，共线时，由，即解得，
所以当，夹角为钝角时，
故选：B
8．答案：D
解析：连接,,记直线,的交点为O,
由已知平面,,
以点O为原点,,,为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
由已知,,
所以,,,
则,,,,,
所以,,,
设,
则,
所以在上的投影向量的模为,
又,
所以动点M到直线BE的距离,
所以,
所以当时,动点M到直线BE的距离最小,最小值为,
故选：D.
方法二：因为为等边三角形,E为的中点,所以,
由已知,,,所以,
所以,
所以为异面直线,的公垂线段,
所以的长为动点M到直线BE的距离最小值,
所以动点M到直线BE的距离最小值为,
故选：D.
9．答案：BCD
解析：对于A选项,令,则,解得即,,共面,故A不符合题意.
对于B选项,设,则此方程组无解,即,,不共面,故B符合题意.
对于C选项,设,则此方程组无解,即,,不共面,故C符合题意.
对于D选项,设,则,,,不共面,故D符合题意.
10．答案：BCD
解析：对于A,,A正确;
对于B,当,时,不存在,B错误;
对于C,,共线,,可以在同一条直线上,C错误;
对于D,当时,P,A,B,C四点不共面,D错误.
故选：BCD.
11．答案：BCD
解析:如图,以A为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系.因为,所以,,,,,,所以,,,.
设平面的法向量为,则,令,得.因为,所以与平面不垂直,则A错误.设异面直线与EF所成的角为,则,从而,故B正确.连接,因为,所以点到平面的距离是,则C正确.分别在棱AB,上取点M,N,使得,,连接MF,FN,,,EM.可知平面截正方体所得图形为五边形.由题中数据可得,,,,,则平面截正方体所得图形的周长为,故D正确.
12．答案：
解析：空间向量共面的基本定理的推论：,且A、B、C不共线,
若A、B、C、P四点共面,则,
因为O为空间任意一点,若,且A、B、C、P四点共面,
所以,,解得.
故答案为：.
13．答案：
解析：因为平面,,平面,所以,,
所以,,
因为,所以,
因为,所以,
因为,
．
故答案为：.
14．答案：
解析：如图,取的中点E,连接AE交于点F．
因为M,N分别是的中点,所以,．
因为,平面,所以,平面．
因为,,平面EMN,所以平面平面,
点G在平面EMN内,所以由等和面定理可知,．
故答案为：.
15．答案：(1)证明见解析;
(2)证明见解析
解析：(1)如图建立空间直角坐标系,令正方体的棱长为3,
则,,,,因为,,
所以,,所以,,
所以,所以.
(2)由(1)可知,所以,所以
16．答案：(1),
(2),,．
解析：(1)连接,,,,则,交于点F,
,
．
(2)连接,
,
又,所以,,．
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)中,,,,
根据余弦定理,.
(2)如图,以点O原点,,为y轴和z轴,过点O作为x轴,建立空间直角坐标系,
,,,,
,,
设异面直线与所成角为,
则.
所以异面直线与所成角的余弦值为.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:在图2中,,D是AB的中点,,
而,,故为二面角的平面角,
又为直二面角,,
而,BC,平面ABC,故平面ABC,
而平面ABC,,且,平面VCD,
因此平面VCD,又平面VAB,平面平面VCD.
（2）以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,
因,所以,那么,
设平面VCE的法向量,
由且,得,取,则,
设平面VAB的一个法向量,,,
则,即,令,则,所以,
于是,
所以二面角的正弦值为.
19．答案：(1)证明见解析
(2)直线在平面内,理由见解析
(3)
解析：(1)因为⊥平面,平面,所以,
又因为,,平面,平面,
所以平面.
(2)在底面中,过A作,交于M,
由题意可知,又平面,
则以A为坐标原点,分别以,,所在直线为x,y,z轴,
建立空间直角坐标系.
则,,,,
、、、.
,,,
若平面,则且,使得,
则有,解得,故.
所以直线平面.
(3)由(2)可知,.
设,
则,
设平面的法向量为,
则,即,
令,有,,故.
故
,
令,,
则,
而,,
故.