湖南省衡阳市衡阳县第四中学2025届高三上学期9月月考 数学试题

这是一份湖南省衡阳市衡阳县第四中学2025届高三上学期9月月考 数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知非空集合，且，则实数m的取值范围是（ ）
A．B． C． D．
2．已知函数，则“有两个极值”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
3．已知定义在上的偶函数满足，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
4．已知向量，满足，，，则（ ）
A．B．C．5D．4
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
6．已知各项均为正数的数列的前项和为，则（ ）
A．511B．93C．72D．41
7．已知双曲线，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线交于，两点，若，则双曲线的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，，若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是（ ）.
A．1,+∞B．
C．D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．在区间上，已知，下列图像中不能表示函数y=fx的是（ ）．
A．B．C．D．
10．已知数列bn满足，，记数列bn的前项积为，前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
11．如图，棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱AD，，CD的中点，则下列说法正确的有（ ）
A．直线与直线为异面直线
B．直线与平面所成角的正弦值为
C．二面角的平面角余弦值为
D．过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．如图，在正方体中，点M为棱的中点，记过点与AM垂直的平面为，平面将正方体分成两部分，体积较大的记为V大，另一部分的体积为，则 .
13．设函数，若，且，则的最小值为 .
14．已知多项式，则 .
四、解答题（本题共6小题，共70分）
15．数列满足，，.
(1)的通项公式；
(2)，求数列的前项和.
16．已知.
(1)求在上的单调递增区间；
(2)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边长分别是a，b，c，若，，求△ABC的面积的最大值.
17．如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点.
(1)求证：平面
(2)求证：平面平面
(3)若，求二面角 的余弦值.
18．2023 年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持.下图是该地 120 家中小 微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图 ：

(1)确定 的值，并估计这 120 家中小微企业的专项贷款金额的中位数（结果保留整数） ；
(2)按专项贷款金额进行分层抽样，从这 120 家中小微企业中随机抽取 20 家，记专项贷款金额在 内应抽取的中小微企业数为.
①求的值 ；
②从这家中小微企业中随机抽取 3 家，求这 3 家中小微企业的专项贷款金额都在内的概率.
19．已知椭圆（其中）的离心率为，左右焦点分别为，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作斜率为的直线与椭圆C交于不同的两点，过原点作的垂线，垂足为D．若点D恰好是与A的中点，求的值．
1．C
【分析】
利用非空集合，，，且满足，建立不等式，即可求出m的取值范围．
【详解】
解：
因为非空集合，
所以，所以，
所以m的取值范围为：．
故选：C．
2．A
【分析】由题意可知有两个不等的实数解，转化为方程有两个实根，再次转化为的图象与有两个不同的交点，然后利用导数的单调区间，画出的图象，结合图象求解即可.
【详解】的定义域为，则，
因为有两个极值，所以有两个不等的实数解，
由，得，
令，，
则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
因为，，
所以当时，，当时，，
所以的图象如图所示，

由图可知当时，的图象与的图象有两个不同的交点，即有两个极值，
因为是的真子集，
所以“有两个极值”的一个必要不充分条件是，
故选：A
【点睛】关键点点睛：此题考查函数的极值，考查导数的应用，解题的关键是将问题转化为两函数图象有两个交点，考查数形结合的思想，属于较难题.
3．C
【分析】根据抽象函数的奇偶性与周期性计算即可.
【详解】由fx+3=−fx⇒fx+6=−fx+3=fx，所以是函数的一个周期，
所以f100=16×6+4=f4，
又是偶函数且，所以f4=−f1=−f−1=−2.
故选：C
4．C
【分析】根据题意，求模先求平方，再开方即可得到答案.
【详解】因为，，，所以，所以.
故选：C.
5．B
【分析】利用余弦定理得到，由正弦定理得到.
【详解】因为，
所以，所以.
故选：B
6．B
【分析】由已知递推关系求出数列的前10项，即可求解．
【详解】，
∴
，
所以，
则，
故选：B．
7．C
【分析】双曲线方程分别于直线、直线联立求出MN,PQ，利用MN=2PQ可得答案.
【详解】由y=ax2a2−y2b2=1，得y=ax=−acb，或y=ax=acb，所以MN=2acb，
由y=-bx2a2−y2b2=1，得y=-bx=−2a，或y=-bx=2a，所以PQ=22a，
因为MN=2PQ，所以，
整理得，得，所以.
故选：C.
8．C
【分析】结合图象按、、分类讨论，利用函数图象的交点个数去判断方程根的个数，进而求得实数的取值范围.
【详解】令，y=gx的对称轴为，
则实根的个数即为函数与函数图象交点个数，
如下图，
当时，
函数与函数的图象有1个交点，且交点横坐标大于1，
即，函数y=gx与函数有2个交点，
且2个交点关于对称，
则方程有两根，且两根和为2，不符合题意；
当时，函数与函数的图象有2个交点，，
时gx=0，可得，或，
时，，可得，，，
即函数y=gx与函数的图象有5个交点，
则方程有5个根，且5个根的和为5，不符合题意；
当时，函数与函数的图象有2个交点，
即函数y=gx与函数的图象有2个交点，分别为，
即，或，，
当时，函数y=gx与函数无交点，不符合题意；
当时，函数y=gx与函数有4个交点，且关于对称，
所以4个交点横坐标之和为4，
则方程有4个根，且4个根之和为4，符合题意，
综上，实数的取值范围是.
故选：C.

【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出的解；(2)图象法：作出函数y=fx的图象，观察与轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
9．BCD
【分析】由题意可知函数图象上每一点处切线的斜率均应大于1，然后逐个分析判断即可.
【详解】由题设，在区间上，由，得函数图象上每一点处切线的斜率均应大于1，
对于A：曲线越来越“陡峭”，区间上各点处的切线斜率始终到大于1，故可表示函数；
对于B：曲线由“陡峭”到“平缓”，区间上右半段存在切线斜率小于1的点，故不可表示函数；
对于C：曲线由“平缓”到“陡峭”，区间上左半段存在切线斜率小于1的点，故不可表示函数；
对于D：曲线越来越“平缓”，区间上点处的切线斜率始终到小于1，故不可表示函数．
故选：BCD
10．AD
【分析】由已知计算数列的前几项得出数列的周期性，利用周期性求解判断．
【详解】已知数列满足，则，所以数列是以3为一个周期的周期数列．
对于A项，，A项正确；
对于B项，，B项错误；
对于C项，任意相邻三项均在一个周期内，则，C项错误；
对于D项，，所以，D项正确．
故选：AD．
11．BCD
【分析】证明，说明四点共面，即可得A；找到直线与平面所成角，解直角三角形可得其正弦值，即可得B；作出二面角的平面角，计算其余弦值，即可得C；作出过点B，E，F的平面截正方体的截面，求其面积即可得D.
【详解】对于A，连接，则为矩形，则，
而点E，G分别是棱AD，CD的中点，故，
则四点共面，故直线，不是异面直线，故A错误；
对于B，由于平面，故即为直线与平面所成角，
而，则，
故，故B正确；
对于C，连接交于点O，连接，
平面平面，故，
又平面，故平面，
即为二面角的平面角，
又，
故，故C正确；
对于D，连接，则，
则梯形即为过点B，E，F的平面截正方体的截面，
而，
故等腰梯形的高为，
故等腰梯形的面积为，
即过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为，故D正确，
故选：BCD.
12．##
【分析】做辅助线，根据垂直关系可证平面，可知平面即为平面，进而结合三棱台的体积公式分析求解.
【详解】分别取的中点，连接，则∥，
且∥，，可知为平行四边形，则∥，
可得∥，即四点共面，
因为平面，平面，则，
又因为，
即，可知，可得，
且，平面，
可得平面，由平面，可得，
连接，
因为为正方形，则，
又因为平面，平面，则，
且，平面，
可得平面，由平面，可得，
且，平面，
可得平面，可知平面即为平面，
设正方体的棱长为2，
则正方体的体积为，三棱台的体积为，
可知，，所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于利用垂直关系分析可知平面即为平面，进而分析体积.
13．
【分析】由结合对数的运算性质可得，则，化简后利用基本不等式可求得结果.
【详解】由题意可知：的定义域为，
令，解得；令，解得；
则当时，，故，所以；
当时，，故，所以；
故，即.
当时，则，
当且仅当，时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
14．32
【分析】借助换元法设，可得，借助赋值法令即可得，分别计算出与的展开式中一次项与常数项后，计算即可得，即可得解.
【详解】设，则，
令，则，
的展开式中一次项为，常数项为，
的展开式中一次项为，常数项为，
所以，
所以.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用配凑法证得数列 是以 3 为首项，3 为公比的等比数列，进而求得an的通项公式.
（2）利用错位相减法求得数列bn的前项和.
【详解】（1）数列 an 满足 ，
整理得 ，又，
即 (常数)，
所以数列 是以 3 为首项，3 为公比的等比数列.
故 ，
整理得 .
（2）由于 ，所以 ，
所以 ①，
②，
① - ②得： ，
所以 .
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换得到，利用整体法得到函数的单调递增区间；
（2）由得，由余弦定理得到，得到面积的最大值.
【详解】（1）由题意得，
又（），得（），
令，得，令，得，
所以在上的单调递增区间是.
（2）因为，
所以（），得，
又C是锐角，所以.
由余弦定理，得，
所以，当且仅当时，等号成立.
所以，
故△ABC的面积的最大值为.
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）取的中点，由中位线定理可得，，推出四边形是平行四边形，进而可得，再由线面平行的判定定理，即可得出答案．
（2）由线面垂直的判定定理可得平面，进而可得答案．
（3）取的中点，连接，先找到二面角的平面角为，再计算余弦值，即可得出答案．
【详解】（1）证明：取的中点，连接，
因为为棱的中点，
所以，，
又，，为的中点，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
（2）证明：因为三棱柱为直三棱柱，
所以平面，又平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
（3）取的中点，连接，
因为为的中点，所以，
又，所以，
又直三棱柱的几何特征可得面，又面，所以，
又，平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
所以二面角的平面角为，
因为，
所以，，
在中，，
所以，
所以二面角的余弦值为．
18．(1)，中位数.
(2)①，②.
【分析】（1）根据频率分布直方图所有小矩形面积之和为即可计算，设中位数为，则在内，由即可计算；
（2）①计算120家专项贷款金额在内的中小微企业的企业数，根据抽样比计算；②根据频率比，计算专项贷款金额在内和在内的企业数，然后根据古典概型计算概率即可.
【详解】（1）根据频率分布直方图所有小矩形面积之和为得
，
解得.
设中位数为，则专项贷款金额在内的评率为，
在内的评率为，
所以在内，
则，解得，
所以估计120家中小微企业的专项贷款金额的中位数为万元.
（2）①由题意，抽样比为，
专项贷款金额在内的中小微企业共有家，
所以应该抽取家，即.
②专项贷款金额在内和在内的频率之比为，
故在抽取的5家中小微企业中，
专项贷款金额在内的有家，分别记为,
专项贷款金额在内的有家，记为,
从这5家中小微企业中随机抽取3家的可能情况为
共10种，
其中这3家中小微企业的专项贷款金额都在内的情况有
共4种，
所以所求概率为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得的值，由离心率可得的值，进而可求出的值，可得椭圆方程；
（2）联立，由题意可得为中位线，进而可得，在直角三角形中，可得为上顶点或下顶点，可得直线的斜率.
【详解】（1）由题意可得，又，可得，
所以，
所以椭圆C的方程为：.
（2）连接，由O为的中点，而D为的中点，所以OD为中位线，即，
即，设，可得，
在中，，所以，
整理可得，可得，
所以可得A为上顶点或下顶点，
所以直线AB斜率为或，即或．
所以k的值为．