湖南省永州市宁远县第三中学等学校2025届高三上学期入学联考 数学试卷（含解析）

这是一份湖南省永州市宁远县第三中学等学校2025届高三上学期入学联考 数学试卷（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合 A=xx2-4x+3＜0 ， B=x0⩽x＜2 ，则 A∩B= （ ）
A． 0,3 B． 0,3 C． 1,3 D． 1,2
2．若 z-3i=3+i ，则 z= （ ）
A．3B． 13 C．5D． 10
3．已知向量 a=2,m ， b=m+1,-1 ，若 a⊥b ，则m的值为（ ）
A．2B．1C． -1 D． -2
4．在等差数列 an 中，若 a3+a5+a7+a9+a11=100 ，则 a1+a13 的值为（ ）
A．20B．30C．40D．50
5．若 sinα+3csα=1 ，则 csα-π6= （ ）
A． 32 B． 12 C． -12 D． -32
6．已知 m,n 是两条不同的直线， α,β 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若 m⊥α,α⊥β ，则 m // β
B．若 m // α,n // α ，则 m // n
C．若 m⊥α,m // n,n⊥β ，则 α // β
D．若 m⊂α,n⊂α,m // β,n // β ，则 α // β
7．函数 fx=1x-xcsx 的部分图象大致是（ ）
A．B．C．D．
8．现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，每个房间最多住2人，且男女不能混住．则不同的安排方法有（ ）种
A．1960B．2160C．2520D．2880
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列求导过程正确的选项是（ ）
A． 1x′=1x2
B． x′=12x
C．（xa）′＝axa﹣1
D．（lgax）′ ＝lnxlna′=1xlna
10．设函数 fx=2sin2x+π3 ，则下列结论正确的是（ ）
A． fx 的最小正周期为 π
B． fx 的图象关于直线 x=π6 对称
C． fx 的一个零点为 x=-π6
D． fx 的最大值为1
11．下列说法中正确的是（ ）
A．线性回归分析中可以用决定系数 R2 来刻画回归的效果，若 R2 的值越大，则模型的拟合效果越好
B．已知随机变量 X 服从二项分布 Bn,p ，若 EX=20 ， DX=10 ，则 n=40
C．已知 y 关于 x 的回归直线方程为 y=0.3-0.7x ，则样本点 2,-3 的残差为 -1.9
D．已知随机事件 A，B 满足 PB=35 ， PAB=25 ，则 PA|B=23
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知平面向量 a=3,1 ， b=1,-3 ，求 a+2b= ______.
13．已知直线 y=5x 是双曲线 y2a2-x2b2=1a＞0,b＞0 的一条渐近线，则该双曲线的离心率为_________.
14．若函数 fx=2x-3-1-m 只有1个零点，则 m 的取值范围是_________．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知 a , b ， c 分别是 △ABC 内角 A，B ， C 的对边， b-acsC=ccsA-csB ， b2=2ac ．
（1）求 csC ；
（2）若 △ABC 的面积为 15 ，求 c ．
16．如图，在三棱锥 P-ABC 中， AB⊥BC,AB=BC=12PA ，点O,D分别是 AC,PC 的中点， OP⊥ 底面 ABC ．
(1)求证： OD// 平面 PAB ；
(2)求直线 PA 与平面 PBC 所成角的大小．
17．已知 A0,3 和 P3,32 为椭圆 C:x2a2+y2b2=1a＞b＞0 上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线 l 交C于另一点B，且 △ABP 的面积为9，求 l 的方程．
18．已知函数 fx=ax-1-lnx+1 ．
(1)求 fx 的单调区间；
(2)当 a⩽2 时，证明：当 x＞1 时， fx＜ex-1 恒成立．
19．已知数组 An:a1,a2,⋯,an ，如果数组 Bn:b1,b2,⋯,bn 满足 b1=an ，且 bk+bk-1=ak+ak-1 ，其中 k= 2,3,⋯,n ，则称 Bn 为 An 的“兄弟数组”.
（1）写出数组 A6:4,2,3,7,1,8 的“兄弟数组” B6 ；
（2）若 A11 的“兄弟数组”是 B11 ，试证明： b11,a11,a1 成等差数列；
（3）若 n 为偶数，且 An 的“兄弟数组”是 Bn ，求证： bn=a1 .
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为 A=xx2-4x+3＜0=x1＜x＜3 ， B=x0⩽x＜2 ，
所以 A∩B= 1,2 .
故选D.
2．【答案】C
【详解】因为 z-3i=3+i ，则 z=3+i+3i=3+4i ，
所以 z=32+42=5 .
故选C.
3．【答案】D
【详解】根据题意知 a=2,m ， b=m+1,-1 ， a⊥b ，
则 a⋅b=2,m⋅m+1,-1=2m+2-m=0 ，解得 m=-2 .
故选D.
4．【答案】C
【详解】由题意 a1+a13=2a7=25×5a7=25×a3+a5+a7+a9+a11=40 .
故选C.
5．【答案】B
【详解】因为 sinα+3csα=1 ，所以 2sinα+π3=1⇒sinα+π3=12 ，
所以 csα-π6=cs-π6-α=csπ6-α=csπ2-α+π3=sinα+π3=12 ，
故选B.
6．【答案】C
【详解】对于A，若 m⊥α,α⊥β ，则 m // β 或 m ⊂ β，A 错误；
对于B，若 m // α,n // α ，则 m // n 或 m ， n 相交或异面，B错误；
对于C，因为 m⊥α,m // n ，所以 n⊥α, 又因为 n⊥β ，所以 α // β，C 正确；
对于D，若 m⊂α,n⊂α,m // β,n // β ，则 α // β 或两平面相交，D错误.
故选C.
7．【答案】D
【详解】函数 fx 的定义域为 xx≠0 ，
因为 f-x=-1x+xcs-x=-1x-xcsx=-fx ，所以 fx 为奇函数，排除A；
易知 f1=fπ2=0 ，排除B；
当 x＞0 且无限趋近于0时， 1x-x＞0,csx＞0 ，即 fx＞0 ，排除 C.
故选D.
8．【答案】C
【详解】3名女生需要住2个房间或3个房间．
若3名女生住2个房间，则不同的方法种数为 C32C42A55 ，
若3名女生住3个房间，则不同的方法种数为 12C42A55 ，
则不同的安排方法有 C32C42A55+12C42A55=2520 种．
故选 C ．
9．【答案】BCD
【详解】解： 对于A，（ 1x ）′＝（x﹣1）′＝﹣ 1x2，A 错误；
对于B，（ x ）′＝（ x12 ）′ ＝12×x-12＝ 12x，B 正确；
对于C，（xa）′＝axa﹣1，C正确；
对于D，（lgax）′＝（ lnxlna ）′ ＝1xlna，D 正确.
故选BCD．
10．【答案】AC
【详解】 T=2π2=π ，故A正确；
fπ6=2sin2π3=3 ，所以 x=π6 不是对称轴，故B错误；
f-π6=2sin0=0 ，所以 x=-π6 是 fx 的一个零点，故C正确；
因为振幅 A=2 ，所以 fx 的最大值为 2 ，故D错误.
故选AC.
11．【答案】ABCD
【详解】对于A，线性回归分析中可以用决定系数 R2 用来刻画回归的效果，若 R2 的值越大，则模型的拟合效果越好，故A正确；
对于B，随机变量服从二项分布 Bn,p ，若 EX=20,DX=10 ，
则 np=20np1-p=10 ，解得 p=12n=40 ，故B正确；
对于 C，y 关于 x 的线性回归方程为 y=0.3-0.7x ，将 x=2 代入回归方程中得 y=0.3-1.4=-1.1 ，即残差为 -3--1.1=-1.9 ，故C正确；
对于D，因为 PB=35,PAB=25 ,
所以 PA|B=PABPB=2535=23 ，故D正确.
故选ABCD.
12．【答案】 25
【详解】 a+2b=3，1+21，-3=3+2，1-23 ，
所以模长为 a+2b=3+22+1-232=25 .
13．【答案】 305
【详解】由题意可知 ab=5 ，所以 e=ca=a2+b2a2=305 .
14．【答案】 2,+∞∪-1
【详解】由 fx=2x-3-1-m=0 ，得 2x-3-1=m ，
设函数 gx=2x-3-1=2-2x,x＜lg232x-4,x⩾lg23 ，
由指数函数性质可知，函数 gx 在 -∞,lg23 上单调递减，
在 lg23,+∞ 上单调递增，且 2x∈0,+∞ ， glg23=0-1=-1 ，
可作出 gx 的大致图象，如图所示，
由图可知， m 的取值范围是 2,+∞∪-1 ．
15．【答案】（1） 78 ；
（2）2.
【详解】（1）由 b-acsC=ccsA-csB 及正弦定理可得 sinBcsC-sinAcsC=sinCcsA-sinCcsB ，
所以 sinBcsC+sinCcsB=sinCcsA+sinAcsC ，
即 sinB+C=sinA+C ，
所以 sinA=sinB ，
所以 a=b ，
因为 b2=2ac=2bc ，
所以 b=2c ，
由余弦定理可得 csC=a2+b2-c22ab=4c2+4c2-c22×2c×2c=78 ，
（2）由（1）知 sinC=1-782=158 ，
因为 △ABC 的面积为 15 ，所以 12absinC=12a2×158=15 ，解得 a=4 ，
则 c=12a=2 .
【方法总结】求三角形面积的方法：解三角形求出有关量，利用公式求面积，常用的面积公式为 S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A，一般是已知哪个角就使用哪一个公式．
16．【答案】(1)证明见解析;
(2) arcsin21030
【详解】（1）由已知，点O,D分别是 AC,PC 的中点，所以 OD//PA ,
又 PA⊂ 平面 PAB ， OD⊄ 平面 PAB ，所以 OD// 平面 PAB .
（2）
因为 AB⊥BC ， OA=OC ，所以 OA=OB=OC ，
又因为 OP⊥ 平面 ABC ，所以 PA=PB=PC ，
取 BC 的中点 E ，连接 PE ，则 PE⊥BC ，
OP⊥ 平面 ABC ， BC⊂ 平面 ABC ，所以 OP⊥BC ，
OP,PE⊂ 平面 POE ，且 OP∩PE=P ，所以 BC⊥ 平面 POE ，
过点 O 作 OF⊥PE 交 PE 于 F ，连接 DF ，
因为 BC⊥ 平面 POE ， OF⊂ 平面 POE ，所以 BC⊥OF ，
又因为 OF⊥PE ， BC,PE⊂ 平面 PBC ，且 BC∩PE=E ，所以 OF⊥ 平面 PBC ，
因为 OD//PA ，所以直线 PA 与平面 PBC 所成角就是 OD 与平面 PBC 所成的角，
所以 ∠ODF 是 OD 与平面 PBC 所成的角，
可设 AB=BC=12PA=1 ，所以 PA=2 ， PO=142 ，
EO=12 ， PE=152 ， OD=1 ， OF=PO⋅EOPE=21030 ，
在 Rt△ODF 中， sin∠ODF=OFOD=21030 .
所以直线 PA 与平面 PBC 所成角的大小为 arcsin21030 .
17．【答案】(1) 12 ;
(2)直线 l 的方程为 3x-2y-6=0 或 x-2y=0 .
【详解】（1）由题意得 b=39a2+94b2=1 ，解得 b2=9a2=12 ，
所以 e=1-b2a2=1-912=12 .
（2） kAP=3-320-3=-12 ，则直线 AP 的方程为 y=-12x+3 ，即 x+2y-6=0 ，
AP=0-32+3-322=352 ，由（1）知 C:x212+y29=1 ，
设点 B 到直线 AP 的距离为 d ，则 d=2×9352=1255 ，
则将直线 AP 沿着与 AP 垂直的方向平移 1255 单位即可，
此时该平行线与椭圆的交点即为点 B ，
设该平行线的方程为 x+2y+C=0 ，
则 C+65=1255 ，解得 C=6 或 C=-18 ，
当 C=6 时，联立 x212+y29=1x+2y+6=0 ，解得 x=0y=-3 或 x=-3y=-32 ，
即 B0,-3 或 -3,-32 ，
当 B0,-3 时，此时 kl=32 ，直线 l 的方程为 y=32x-3 ，即 3x-2y-6=0 ，
当 B-3,-32 时，此时 kl=12 ，直线 l 的方程为 y=12x ，即 x-2y=0 ，
当 C=-18 时，联立 x212+y29=1x+2y-18=0 ,得 2y2-27y+117=0 ，
Δ=272-4×2×117=-207＜0 ，此时该直线与椭圆无交点.
综上,直线 l 的方程为 3x-2y-6=0 或 x-2y=0 .
18．【答案】(1)见解析;
(2)见解析
【详解】（1） fx 定义域为 0,+∞ ， f′x=a-1x=ax-1x ,
当 a⩽0 时， f′x=ax-1x＜0 ，故 fx 在 0,+∞ 上单调递减；
当 a＞0 时， x∈1a,+∞ 时， f′x＞0 ， fx 单调递增，
当 x∈0,1a 时， f′x＜0 ， fx 单调递减.
综上所述，当 a⩽0 时， fx 的单调递减区间为 0,+∞ ；
a＞0 时， fx 的单调递增区间为 1a,+∞ ，单调递减区间为 0,1a .
（2） a⩽2 ，且 x＞1 时， ex-1-fx=ex-1-ax-1+lnx-1⩾ex-1-2x+1+lnx ，
令 gx=ex-1-2x+1+lnxx＞1 ，下证 gx＞0 即可.
g′x=ex-1-2+1x ，再令 hx=g′x ，则 h′x=ex-1-1x2 ，
显然 h′x 在 1,+∞ 上递增，则 h′x＞h′1=e0-1=0 ，
即 g′x=hx 在 1,+∞ 上递增，
故 g′x＞g′1=e0-2+1=0 ，即 gx 在 1,+∞ 上单调递增，
故 gx＞g1=e0-2+1+ln1=0 ，问题得证.
19．【答案】（1） B6:8,-2,7,3,5,4 ;
（2）证明见解析;
（3）证明见解析
【详解】（1）由 A6 知 a1=4 ， a2=2 ， a3=3 ， a4=7 ， a5=1 ， a6=8 .
∵b1=a6=8 ， b2+b1=a2+a1 ， ∴b2=2+4-8=-2 ，
∵b3+b2=a3+a2 ， ∴b3=3+2+2=7 ，同理可得 b4=3 ， b5=5 ， b6=4 ，
∴B6:8,-2,7,3,5,4 .
（2）对于数组 A11 及其“兄弟数组” B11 ，
∵b1=a11 …①，
b1+b2=a1+a2 …②，
b2+b3=a2+a3 …③，
b3+b4=a3+a4 …④，
……
b10+b11=a10+a11 …⑪，
将上述几个等式中的第②④⑥⑧⑩个等式的两边分别乘 -1 ，再与其他等式相加得 b1-b1+b2+b2+b3-⋅⋅⋅+b10+b11=a11-a1+a2+a2+a3-⋅⋅⋅+a10+a11 ，
即 b11=a11-a1+a11=2a11-a1 ， ∴a1+b11=2a11 ，
∴b11,a11,a1 成等比数列.
（3） ∵b1=an ， b1+b2=a1+a2 ， b2+b3=a2+a3 ，……， bn-1+bn=an-1+an .
由于 n 为偶数，将上述 n 个等式中的第 2,4,6,⋅⋅⋅,n 这 n2 个等式的两边分别乘 -1 ，再与其他等式相加： b1-b1+b2+b2+b3-⋅⋅⋅-bn-1+bn=an-a1+a2+a2+a3-⋅⋅⋅-an-1+an ，
即 -bn=-a1 ， ∴bn=a1 .