湖南省岳阳市岳阳县第一中学2025届高三上学期入学考试 数学试题（含解析）

这是一份湖南省岳阳市岳阳县第一中学2025届高三上学期入学考试 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．在复平面内，复数z对应的点在第三象限，则复数对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．如图是函数的部分图象，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
4．在中，已知，则（ ）
A．3B．2C．D．1
5．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（ ）
A．26B．28C．30D．32
6．已知数列满足，，，则数列的第2024项为（ ）
A．B．C．D．
7．若，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线x2a2-y2b2=1a＞0,b＞0 的左、右焦点分别为F1、F2 ．过F2 向一条渐近线作垂线，垂足为P ．若PF2=2 ，直线PF1 的斜率为24 ，则双曲线的方程为（ ）
A．x28-y24=1 B．x24-y28=1
C．x24-y22=1 D．x22-y24=1
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体被抽到的概率是0.2
B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5
C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是17
D．若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为16
10．函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（ ）
B．函数的图象关于点对称
函数的图象关于直线对称
D．函数在上单调递减
11．已知函数，则（ ）
A．有两个极值点
B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
三、填空题（本大题共3小题）
12．的展开式中的系数为 ．
13．已知，且恒成立，则实数的取值范围为 ．
14．已知函数，记等差数列的前项和为，，，则
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且的面积为，点D是线段上靠近点B的一个三等分点，．
(1)若，求c；
(2)若，求的值．
16．已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
17．有个正数，排成n行n列的数表：其中表示位于第i行，第j列的数，数表中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知，，.
(1)求公比.
(2)求.
18．如图，在正四棱柱中，，，点、、、分别在棱、、、上，，，．
(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积；
(3)点在棱上，当二面角大小为时，求线段的长．
19．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若在存在极值，求a的取值范围.
参考答案
1．【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】因为，而，
所以．
故选C．
【一题多解】因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选C．
2．【答案】C
【分析】根据题意，由复数的运算，即可得到结果.
【详解】因为，
且复数z对应的点在第三象限，则对应的点也在第三象限.
故选C.
3．【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性及函数值符号判定选项即可.
【详解】由图象可知函数为偶函数，且，
四个选项函数的定义域均为，
对于A项，，即为偶函数，
而，故A错误；
对于B、D项，，
，显然两项均为奇函数，故B、D错误；
对于C项，，即为偶函数，
而，故C正确.
故选C.
4．【答案】A
【分析】根据条件，利用降幂升角公式得到，由，得到，再利用余弦的和差角公式即可求出结果.
【详解】因为，所以，
又，所以，
得到，
整理得，所以，
故选A.
5．【答案】B
【分析】割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案.
【详解】由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，
所以正四棱锥的体积为，
截去的正四棱锥的体积为，
所以棱台的体积为.
故选B.
【一题多解】本题也可根据棱台的体积公式求解，上下底面边长已知，高可根据相似三角形求解.
6．【答案】C
【分析】由题中条件可得到偶数项得关系，再进行累加即得.
【详解】
所以
累加得
故选C.
7．【答案】A
【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选A.
【方法点拨】通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系和转化与化归的数学思想解决问题.
8．【答案】D
【详解】如图，

F2c,0 ，不妨设渐近线方程为y=bax ，即bx-ay=0 ，
所以PF2=bca2+b2=bcc=b ，
所以b=2 .
设∠POF2=θ ,则tanθ=PF2OP=bOP=ba ,所以OF2=c .
因为12ab=12c⋅yP ,所以yP=abc ，所以tanθ=yPxP=abcxP=ba ，所以xP=a2c ，
所以Pa2c,abc ，
因为F1-c,0 ，
所以
kPF1=abca2c+c=aba2+c2=2aa2+a2+4=aa2+2=24,
所以2a2+2=4a ，解得a=2 ，
所以双曲线的方程为x22-y24=1
故选D.
9．【答案】AD
【分析】利用概率对于即可判断A；根据平均数求得的值，然后利用方差公式求解即可判断B；根据百分位数的求法即可判断C；利用方差公式求解即可判断D.
【详解】对于A，一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为，
以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本，
则指定的某个个体被抽到的概率为 ，故A正确；
对于B，因为数据1，2，，6，7的平均数是4，，
这组数据的方差是，故B错误；
对于C，8个数据50百分为，第50百分位数为，故C错误；
对于D，依题意，，则，
所以数据的标准差为16，D正确；
故选AD.
10．【答案】ABD
【分析】首先化简函数，再根据函数的图象求函数的解析式，结合三角函数的性质，即可判断A，B；利用图象平移求函数的解析式，再结合函数的性质，即可判断C，D.
【详解】函数，当，
此时，，
因为，所以，所以，故A正确；
，所以关于点对称，故B正确；
函数图象向左平移个单位长度后得到，
，当时，，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；
，当时，，
所以函数在上单调递减，故D正确.
故选ABD.
11．【答案】ACD
【分析】求导，利用导数研究函数的单调性、极值和零点，即可判断A，B；根据函数的对称性判断C；利用导数的几何意义求的的切线方程，即可判断D.
【详解】由得，令得：，
令得或；令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
所以有两个极值点为极大值点，为极小值点，故A正确；
又，，
而趋向于负无穷大时也趋向于负无穷大；趋向于正无穷大时也趋向于正无穷大；
所以仅有1个零点如图所示，故B错误；
又，所以，所以关于对称，故C正确；
对于D，设切点，在P处的切线为，
即，
若是其切线，则，则，此时切点为时，
切线方程直线，所以D正确.
故选ACD.
【方法总结】涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.
12．【答案】
【分析】利用二项式定理展开式的通项公式可求答案.
【详解】二项式的展开式通项公式为，
当时，，当时，，
因此展开式中含的项为，故所求系数为.
故答案为：24.
13．【答案】
【分析】利用基本不等式求出的最小值，再根据不等式恒成立转化为一元二次不等式即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，
因为，
当且仅当，即，即时取得等号，
所以有最小值为3，
因为恒成立，所以，即，
解得，
故答案为: .
14．【答案】
【分析】根据函数的奇偶性和单调性可得，进而．结合等差数列的求和公式计算即可求解．
【详解】因为定义域为R，关于原点对称，且，
所以为奇函数，
由，知函数在R上单调递减，
由，，
得，
得7，所以6，
因为为等差数列，所以．
故答案为：.
【关键点拨】本题考查数列的求和公式，解此题的关键是求出，对进行整理可得为奇函数，从而可知，代入等差数列的求和公式即可求出的值.
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由得，再结合余弦定理从而可求解.
（2）由利用向量可得，并结合得，再由，从而可求解.
【详解】（1）由题可得：，故，
又，即，
，即，
在中，根据余弦定理得，
即，
，即.
（2），，
，即，
又，①，
又②，由①②得：，
.
16．【答案】(1)椭圆的方程为，离心率为.
(2).
【分析】（1）由解得，从而求出，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率.
（2）先设直线的方程，与椭圆方程联立，消去，再由韦达定理可得，从而得到点和点坐标.由得，即可得到关于的方程，解出，代入直线的方程即可得到答案.
【详解】（1）如图，

由题意得，解得，所以，
所以椭圆的方程为，离心率为.
（2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得，
设直线的方程为，
联立方程组，消去整理得：，
由韦达定理得，所以，
所以，，
所以,,，
所以，
所以，即，
解得，所以直线的方程为.
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列求解，即可根据等比性质求解，
（2）根据为等差数列，可得，进而可得，即可利用错位相减法求解.
【详解】（1）第4行公差为，.
由已知：，所以.
又每个数都是正数，所以.
（2）因为，所以是首项为，公差为的等差数列.故.
因为每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，所以.
故，设的前n项和为，
①.
②，
①-②得
.所以.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；
（2）计算出的面积以及点到平面的距离，利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积；
（3）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.
【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，
，，
又不在同一条直线上，.
（2）解：，点到平面的距离为，
故.
（3）解：设，
则，
设平面的法向量，
则，
令，得，
，
设平面的法向量，则，
令，得，，
，
化简可得，，解得或，
或，.
19．【答案】(1)；
(2)存在满足题意，理由见解析.
(3).
【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；
(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的是否正确即可；
(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论，和三中情况即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
则，
据此可得，
函数在处的切线方程为，
即.
（2）令，
函数的定义域满足，即函数的定义域为，
定义域关于直线对称，由题意可得，
由对称性可知，
取可得，
即，则，解得，
经检验满足题意，故.
即存在满足题意.
（3）由函数的解析式可得，
由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点;
令，
则，
令，
在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，
当时，，在区间上单调递减，
此时，在区间上无零点，不合题意;
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，
所以在区间上无零点，不符合题意；
当时，由可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的最小值为，
令，则，
函数在定义域内单调递增，，
据此可得恒成立，
则，
由一次函数与对数函数的性质可得，当时，
，
且注意到，
根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点.
当时，，单调减，
当时，，单调递增，
所以.
令，则，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
所以
，
所以函数在区间上存在变号零点，符合题意.
综合上面可知:实数得取值范围是.
【关键点拨】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.