江苏省靖江高级中学2024-2025学年高三上学期9月月考 数学试题（含解析）

这是一份江苏省靖江高级中学2024-2025学年高三上学期9月月考 数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了设集合，则，已知，则的值为，下列选项中正确的是等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
（全卷满分150分 考试时间120分钟）
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A．B．2C．D．
4．为测量塔的高度，因地理条件的限制，分别选择点和一建筑物的楼顶为测量观测点，已知点为塔底，在水平地面上，塔和建筑物均垂直于地面（如图所示）.测得，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则塔的高度约为（ ）（，精确到）
A．B．C．D．
5．已知集合，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．若函数与的图象有且仅有一个交点，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（ ）
A．B．C．D．
8．在中，，，，点在该三角形的内切圆上运动，若（，为实数），则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．下列选项中正确的是（ ）
A．已知向量，若∥，则
B．已知向量，若的夹角为钝角，则
C．已知非零向量，若，则与同向共线
D．若，则和的面积之比为
10．已知均为正实数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为
B．若，则的最大值为8
C．若，则的最小值为
D．若，则的最小值为
11．定义在上的函数的导函数为，对于任意实数，都有，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为偶函数
B．
C．不等式的解集为
D．若方程有两个根，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．设为锐角，若，则的值为 .
13．已知函数，则函数的所有零点构成的集合为 .
14．近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为，圆上两点A，B始终满足，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化.现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻，即秒时，点A位于圆心正下方：则 秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为 .
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．将函数图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.函数图象经过点.
(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)若函数在区间上有且仅有一个对称中心和一条对称轴，求的取值范围.
16．如图，在中，D是BC中点，E在边AB上，且，AD与CE交于点O．
(1)用，表示；
(2)过点O作直线交线段AB于点G，交线段AC于点H，且，，求t的值；
(3)若，求的值．
17．从①；②；③.这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题.记锐角的内角的对边分别为，已知__________.
(1)求角大小；
(2)若面积为，，求边上的中线长；
(3)若，求周长的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.
18．已知函数．
(1)求函数的定义域和值域；
(2)设，求的最大值；
(3)对于（2）中的，若在上恒成立，求实数m的取值范围．
19．如果时，函数取得极大值或极小值，那么称为函数的极值点.已知函数，，其中为正实数.
(1)若函数有极值点，求的取值范围；
(2)当和的几何平均数为，算术平均数为.
① 判断与和的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明；
② 当时，证明：.
1．B
【分析】求出集合中元素范围，再求交集即可.
【详解】依题得，则.
故选：B.
2．D
【分析】切化弦后，由二倍角公式，两角差的正弦公式化简变形后可得．
【详解】由已知，，则，
从而，所以，
故选：D．
3．A
【分析】由投影向量计算公式可得答案.
【详解】在向量上的投影向量为.
.
故选：A
4．B
【分析】现从四棱锥中提取两个直角三角形和的边角关系，进而分别解出两个三角形边的长，求出塔AB的高度即可.
【详解】平面，平面，
过点作，交于点，则有，，
在中，因为，所以，
在中，因为，所以，
则.
故选：B.
5．D
【分析】由指数函数与对数的性质，求得集合，根据是的必要不充分条件，得到是的真子集，结合集合的运算，即可求解.
【详解】由，即，解得或，故或，
又由，即，解得，故，
因为是的必要不充分条件，即是的真子集，
可得或，解得或，即
故选：D.
6．D
【分析】将条件与只有1个交点转换为函数只有1个零点，参数分离求出a，再构造函数，利用其单调性求解即可.
【详解】函数与的图象有且仅有一个交点，
即只有一个零点，即只有一个零点.
令，则，.
当时，h′x>0，所以hx在0,1上单调递增；
当时，h′x0.
所以，，.
函数hx的大致图象如图
因为，所以.
原不等式，即.
令，
显然时，该函数为增函数，且，
所以，的解集为.
故选：D.
7．A
【分析】利用同角的三角函数关系以及三角恒等变换化简，可得，再利用正弦定理角化边可得，结合正弦函数性质推出，即可得答案.
【详解】由题意知，
故，
则
，
故，即
又，则，
由于，故，即
∴，
故选：A．
8．B
【分析】由可得，再结合余弦定理，面积公式可求出、、边上高，内切圆半径，最后根据平行线等比关系即可求解.
【详解】，由在内切圆上，
故，
假设，由于，，
则，且为上一点，，，三点共线，
由平行线等比关系可得，要使，即与之间的比例最小，则在内切圆的最高点，如图所示，
由，
因为，所以，
设边上高为，内切圆半径为，
由，
所以，，
可得的最小值为，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：这道题关键的地方是转化得到，令，观察到分母的系数相加为1，则可得到为上一点，再结合平行线等比关系以及图象可得到比例最小的具体位置
9．ACD
【分析】对于A：根据向量平行的坐标表示运算求解；对于B：根据数量积的坐标运算结合向量平行运算求解；对于B：根据向量加法的三角形法则分析判定；对于D：根据向量的线性运算可得，可知：点在线段上，且，进而可得面积关系.
【详解】对于选项A：若∥，则，可得，故A正确；
对于选项B：若的夹角为钝角，则，解得且，故B错误；
对于选项C：若，且为非零向量，
向量加法的三角形法则可知同向，即与同向共线，故C正确；
对于选项D：若，即，
可得（分别为的中点），即，
可知点在线段上，且，

则，即，
所以和的面积之比为，故D正确；
故选：ACD.
10．AC
【分析】利用重要不等式判断A，利用基本不等式判断B，利用‘1’的代换判断C，利用换元法结合二次函数性质判断D即可.
【详解】对于A，因为，当且仅当时取等，
所以，故A正确，
对于B，因为，当且仅当时取等，
而，所以，解得，
则的最小值为8，故B错误，
对于C，因为，所以，
由基本不等式得，
当且仅当时取等，此时，故C正确，
对于D，因为，所以，
因为，
，
令，所以新函数为，
由题意得若取得最小值，则取得最大值，
由二次函数性质得，当时，取得最大值，
且其最大值为，
所以最小值为，故D错误.
故选：AC
11．AB
【分析】由，有，结合函数奇偶性的定义即可判断；由，可得，求出的解析式即可判断B；当时，函数单调递增，有，可判断C；方程有两个根，等价于函数与函数的图象有两个交点，利用这两个函数的单调性和对称性，得结论判断D．
【详解】令，函数定义域为，
由，有，即，
所以函数为偶函数，故A选项正确；
由，得，
即，所以，
有，得，
所以，
得，，故选项B正确，
，
当时，函数单调递增，且，有，
即，不合题意，故选项C错误；
方程，即，方程有两个根，
等价于函数与函数的图象有两个交点，其中函数单调递减，
函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为，时函数单调递减，
若方程有两个根，则有，
此时，即，
若且，则有，
∴，∴，得，故选项D错误.
故选：AB．
【点睛】方法点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
12．
【分析】根据给定条件，利用诱导公式、同角公式及二倍角公式求解即得.
【详解】由为锐角，得，而，
因此，
所以
.
故答案为：.
13．
【分析】根据复合函数与分段函数的性质化简方程，分别解方程即可.
【详解】因为函数
所以等价于或,
求解可得，，
即或或或，
求解可得，，
故答案为：.
14．
【分析】以O为原点，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用三角函数定义表示点的坐标，由已知结合和角的正弦公式化简即得.
【详解】以O为原点，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，由于角速，
设点，圆上两点A、B始终保持，
则，要使A、B两点的竖直距高为0，
则，第一次为0时，，解得，
.
故答案为：；
【点睛】关键点点睛：涉及三角函数实际应用问题，探求动点坐标，找出该点所在射线为终边对应的角是关键，特别注意，始边是x轴非负半轴.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件得到，从而有，再利用的性质，即可求出结果；
（2）令，将问题转化成在上有且仅有一个对称中心和一条对称轴，从而得到，即可求出结果.
【详解】（1）由题知，又因为过点，
所以，又因为，所以，得到，
由，，
所以的单调递增区间为，.
（2）因为，又因为，，
令，所以在上有且仅有一个对称中心和一条对称轴，
所以，即，
所以的取值范围为.
16．(1)
(2)
(3)．
【分析】（1）由E，O，C三点共线，得，又，从两个角度用，表示，从而得的值得解；
（2）因为H，O，G三点共线，所以，转化为用，表示，可得的值；
（3）用，表示，从而进行数量积运算.
【详解】（1）因为A，O，D三点共线，所以，，且E，O，C三点共线，
所以存在实数，使，其中D是BC中点，且，
所以
即
解得，，
所以．
（2）因为H，O，G三点共线，所以存在实数，使，
其中，，所以，
根据平面向量基本定理可得：即，
所以．
（3）
，
整理可得：，所以．
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和差的正弦公式逐个条件求解即可.
（2）利用同角三角函数的基本关系结合三角形面积公式求出边长，再结合向量中线定理求解即可.
（3）利用正弦定理表示出边长，结合同角三角函数的基本关系化简，利用题意求出角度范围，进而利用正弦函数和正切函数的性质得到单调性，最后求解范围即可.
【详解】（1）若我们选择条件①，则有，
在中，由正弦定理得，
所以，所以，
故，因为，所以，解得，
若我们选择条件②，则有，
在中，由正弦定理得，
故，
整理得，所以，
故，得到，
因为，所以，解得，
若我们选择条件③，则有，
在中，所以，
所以，
故，可得，
因为，所以解得，故得；
（2）在中，因为，所以，
所以，故得，
而在中，恒成立，故得，
因为，所以，
解得，，因为面积为，
所以，解得，
由上问得，故，解得，
而，
所以，解得，
综上可得(负根舍去)，
设边上的中线为，由向量中线定理得，
所以，
代入得，
解得，故，故中线长度为；
（3）在中，因为，且由上问得，
所以由正弦定理得，
故，解得，，
所以，
，
故周长为，
因为锐角，所以，，所以，
因为在上单调递增，
所以在上单调递减，
而设，所以在上单调递减，
而，
当时，，所以，
故周长的取值范围为.
18．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）定义域容易求得，进而先求出的范围，最后求出函数的值域；
（2）求出，设，进而讨论函数，的最大值，然后讨论a与定义域的位置关系，最后得出答案；
（3）将问题转化为在上恒成立，进而讨论m为0和不为0两种情况，最后求得答案.
【详解】（1）由且，得．
则函数的定义域为．
，且，
得，则函数的值域为．
（2），
令，
则，，
所以，
令，，则为函数，的最大值．
易得函数的图象是开口向下的抛物线，且其对称轴为直线．
①若，即，则；
②若，即，则；
③若，即，则．
综上可得．
（3）由（2）易得．
要使在上恒成立，即使在恒成立，
所以在上恒成立．
令，，
若，则对任意恒成立；
若，则有，即，
解得或．
综上，实数m的取值范围是．
【点睛】本题对的处理是一个难点，这时候需要找到三个根式之间的关系，在通过（1）问的处理之后可以发现将平方可以得到，进而通过换元法进行处理.
19．(1)
(2)①，证明见解析；② 证明见解析
【分析】（1）函数有极值点，则f′x在0,+∞上有变号零点，利用二次函数的性质求解即可；
（2）①证明，即证，令，即证：，令，，利用导数研究函数单调性求最值即可，同理可证；
②时，令，则关于单调递减，则，利用导数研究函数单调性求最值证明即可.
【详解】（1）函数，定义域为0,+∞，
有极值点，则在0,+∞上有变号零点，
即函数在0,+∞上有变号零点．
①若，即时，只需，不能成立；
②若，即时，只需，解得，
故的取值范围为．
（2）①，
先证右边，即证，令，
即证：，令，，
则在1,+∞上单调递增，得，
所以有，则有，得证；
再证左边，即证，令，
即证，令，，
，
则在1,+∞上单调递减，，
所以有，则有，证毕!
②时，令，则关于单调递减，
则，
，令，
，
由，则时；时，
所以时有，时，
则有在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，，
故，得.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.