备战2025年高考数学压轴大题数列(新高考全国通用)专题01数列中的证明问题练习(学生版+解析)

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新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列解答题的难度增加,作为压轴题出现的概率变大,证明一个数列是等差数列、等比数列或证明数列满足某些条件是数列中的一种重要题型,对逻辑推理能力要求较高,对式子变形能力要求较高,常出现在解答题第1小题,本专题总结等差数列与等比数列及其他数列的证明常用方法及技巧.
利用等差数列定义证明数列是等差数列
利用定义法证明是等差数列,就是证明对任意n∈N*,an＋1－an是同一常数．
【例1】（2024届四川省自贡市高三第三次诊断）已知数列的前项和为,且．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)若,,成等比数列,求的最大值．
【解析】（1）数列满足①,
当时,有②,
①②可得：,
即,变形可得,
故数列是以为等差的等差数列；
（2）由（1）可知数列是以为等差的等差数列,
若,,成等比数列,则有,
即,解得,所以,
所以单调递减,又当时,,当时,,当时,,
故当或时,取得最大值,
且．
【例2】（2024届河北省沧州市泊头市第一中学等校高三下学期5月高考模拟）已知数列满足.
(1)证明：数列为等差数列,并求；
(2)令,求数列的前项和.
【解析】（1）由,知,
所以,
所以数列是以为首项,-1为公差的等差数列,
所以,
所以.
（2）因为,
所以.
(二)利用证明数列是等差数列
若对任意n∈N*,数列满足2an+1＝an＋2＋an,则是等差数列.
【例3】已知数列有,（常数）,对任意的正整数n,,并有满足．
(1)求a的值；
(2)证明数列是等差数列．
【解析】（1）由已知,得,
所以.
（2）由得,则,
所以,
即,
于是有,并且有,
所以,
即,
而是正整数,,即,
所以数列是等差数列.
(三)证明数列不是等差数列
证明数列不是等差数列,一般只需要证明该数列的连续3项不成等差数列,通常利用反证法证明.
【例4】给定数列,若首项且,对任意的,都有,则称数列为“指数型数列”.
(1)已知数列为“指数型数列”,若,求；
(2)已知数列满足,判断数列是不是“指数型数列”？若是,请给出证明；若不是,请说明理由；
(3)若数列是“指数型数列”,且,证明：数列中任意三项都不能构成等差数列.
【证明】（1）因为数列是“指数型数列”,所以对于任意的,
都有.因为,
所以,.
（2）数列是“指数型数列”.
证明:由,得,即,
所以数列是等比数列,且,
则,
,
所以数列是“指数型数列”.
（3）因为数列是“指数型数列”,故对任意的,
有,则,所以,
适合该式.
假设数列中存在三项构成等差数列,不妨设,
则由,得,
所以,
当为偶数且时,是偶数,而是奇数,是偶数,
故不能成立；
当为奇数且时,是偶数,而是偶数,是奇数,
故不能成立；
所以,对任意的,不能成立,
即数列中任意三项都不能构成等差数列.
(四)利用等比数列的定义证明数列是等比数列
利用定义法证明是等比数列,就是证明对任意n∈N*,是同一常数．
【例5】（2024届浙江省北斗星盟高三下学期适应性联考）在直角坐标平面内有线段,已知点是线段上靠近的三等分点,点是线段上靠近的三等分点,……,点是线段（,）上靠近的三等分点,设点的横坐标为.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若,,求的通项公式.
【解析】（1）解：由题意得 所以,可得,
又由,所以
所以数列是首项为,公比为的等比数列.
（2）解：因为,,所以,
因为数列是公比为的等比数列,所以时,.
由累加法可得时,
,即当时,,
经检验,满足上式,所以数列的通项公式.
【例6】（2024届湖南师范大学附属中学高三下学期模拟）记为数列的前项和,已知.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求最小的正整数,使得对一切都成立.
【解析】（1）由题知,
用替换上式的,得.
两式作差,,即.
而由,可得.
从而是首项为,公比为的等比数列.
（2）由（1）得,于是,
设,则,
当时,,故,
两式作差,得.
整理可得.
故,又,因此满足条件的最小正整数为.
(五)利用证明数列是等比数列
若对任意正整数n,都有,且,则数列是等比数列.
【例7】（2024届贵州省毕节市高三第三次诊断性）在无穷数列中,若对任意的,都存在,使得,则称为m阶等差数列.在正项无穷数列中,若对任意的,都存在,使得,则称为m阶等比数列．
(1)若数列为1阶等比数列,,,求的通项公式及前n项的和；
(2)若数列为m阶等差数列,求证：为m阶等比数列；
(3)若数列既是m阶等差数列,又是阶等差数列,证明：是等比数列．
【解析】（1）因为为1阶等比数列,所以为正项等比数列,
设公比为,则为正数,
由已知得,解得,
因为,所以,所以,
所以的通项公式为,
前n项的和为；
（2）因为为m阶等差数列,所以对任意的,都存在,
使得成立,
所以,
即,所以为m阶等比数列；
（3）因为既是m阶等差数列,又是阶等差数列,
所以对,有与同时成立,
所以与同时成立,
所以,,成等比,,,成等比,
由,,成等比,得,,也成等比,
设,,
所以,所以数列是等比数列.
(六)证明数列不是等比数列
证明数列不是等比数列,一般只需要证明该数列的连续3项不成等比数列,通常利用反证法证明.
【例8】（2024届湖北省武汉市高三下学期5月模拟训练）混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中,比如天气预测、种群数量变化和天体运动等等,其中一维线段上的抛物线映射是混沌动力学中最基础应用最广泛的模型之一,假设在一个混沌系统中,用来表示系统在第个时刻的状态值,且该系统下一时刻的状态满足,,其中.
(1)当时,若满足对,有,求的通项公式；
(2)证明：当时,中不存在连续的三项构成等比数列；
(3)若,,记,证明：.
【解析】（1）当时,,依题意,①,②,
两式作差,,则或,
若,代入①式解得,或,而,于是；
若,将代入②式解得,.
因此必有.
注意到,,从而由归纳即知是常数列.
所以的通项公式为.
（2）假设,,构成等比数列,则.
那么由,可知.
又,则,解得,与矛盾.
所以中不存在连续的三项构成等比数列.
（3）由于当时,有,,即.
而,,故归纳即知对任意正整数都有.
又由及可知,故数列单调递减.
又由于,故
.
(七)证明数列是新定义的数列
此类问题通常把满足某些条件的数列称为一类新数列,求解关键是证明所给数列满足新数列给定条件
【例9】（2024届山东省枣庄市高三三调）若数列的各项均为正数,对任意,有,则称数列为“对数凹性”数列．
(1)已知数列1,3,2,4和数列1,2,4,3,2,判断它们是否为“对数凹性”数列,并说明理由；
(2)若函数有三个零点,其中．
证明：数列为“对数凹性”数列；
(3)若数列的各项均为正数,,记的前n项和为,,对任意三个不相等正整数p,q,r,存在常数t,使得．
证明：数列为“对数凹性”数列．
【解析】（1）根据“对数凹性”数列的定义可知数列1,3,2,4中不成立,
所以数列1,3,2,4不是“对数凹性”数列；
而数列1,2,4,3,2中均成立,所以数列1,2,4,3,2是“对数凹性”数列；
（2）根据题意及三次函数的性质易知有两个不等实数根,
所以,
又,所以,
显然,即不是的零点,
又,
令,则也有三个零点,
即有三个零点,
则有三个零点,
所以有两个零点,
所以同上有,
故数列为“对数凹性”数列
（3）将互换得：,所以,
令,得,
所以,故数列是等差数列,
记,所以,
所以,
又因为,所以,
所以,所以为单调递增的等差数列,
所以.
所以
所以,数列是“对数凹性”数列.
【例10】（2024届江苏省南京市高三二模）已知数列的前n项和为．若对每一个,有且仅有一个,使得,则称为“X数列”.记,,称数列为的“余项数列”.
(1)若的前四项依次为0,1,,1,试判断是否为“X数列”,并说明理由；
(2)若,证明为“X数列”,并求它的“余项数列”的通项公式；
(3)已知正项数列为“X数列”,且的“余项数列”为等差数列,证明：．
【解析】（1）由题,
所以有,,
故根据“X数列”的定义不是“X数列”.
（2）因为,
所以当时,；
当时,；
则不满足,所以,
令,即,
则当时,有,；
当时,有；故即,
则对每一个,有且仅有一个且,使得,
综上,对任意,有且仅有一个,使得,
所以为“X数列”,
由上,,
即的“余项数列”通项公式为,.
（3）因为是正项数列,所以单调递增,
所以,故,
因为,且为“X数列”,
所以,故由得,
的“余项数列”为等差数列,故其公差,
因为,所以,
若,则当时,,与矛盾,
故,所以,,即,
对于,若,则,与正项数列矛盾,
所以,故,
所以,故,
所以,
又,
所以,.
(八)证明数列的单调性
证明数列是递增（减）数列,通常是证明（）,若,也可根据（）
来证明.
【例11】（2024届湖南省长沙市第一中学高三下学期模拟）已知函数．
(1)判断并证明的零点个数
(2)记在上的零点为,求证;
（i）是一个递减数列
（ii）．
【解析】（1）当为奇数时,有1个零点；当为偶数时,有2个零点.
证明如下：
当时,由,得,
所以函数在上单调递增,又,,
所以函数在内有唯一零点；
当时,,
若为奇数,,则,此时在内无零点；
若为偶数,设,
则,方程有一个解,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
且,此时在内有1个零点.
综上,当为奇数时,有1个零点；当为偶数时,有2个零点.
（2）（i）由（1）知,当时,在在内的零点,
当时,,,
则,
故,所以数列是一个递减数列；
（ii）由（i）知,当时,,
当时,,
有,所以,求和可得
,当且仅当时等号成立；
当时,,
故,则,得,
即,即,即,
即,即,
即,当时,,
所以当时,均有成立,求和可得
.
综上,.
(九)数列中的等式与不等式的证明
数列中的等式证明,通常是根据已知条件进行恒等变形,数列中的不等式证明,常见的是与求和有关的证明,证明时或者先求和,再放缩,或者先放缩成可求和的数列,再求和.
【例12】（2024届重庆市主城区高三下学期学业质量调研抽测）高斯是德国著名的数学家,近代数学的奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”定义为：对于任意实数x,记表示不超过x的最大整数,则称为“高斯函数”．例如：,．
(1)设,,求证：是的一个周期,且恒成立；
(2)已知数列的通项公式为,设．
①求证：；
②求的值．
【解析】（1）．
故是的一个周期．
当时,,,故．
由于周期为,故对任意,都有．
（2）①记．
,则．
∵
,∴．
而
．∴．
∴,∴．
②由①知,则．
由（1）知：对任意,都有,
∴．∴．
∵,∴．
令,
∵；
．
∵,∴．
【例1】（2024届辽宁省高考扣题卷二）在直角坐标平面内,将函数及在第一象限内的图象分别记作,,点在上．过作平行于x轴的直线,与交于点,再过点作平行于y轴的直线,与交于点．
(1)若,请直接写出,的值；
(2)若,求证：是等比数列；
(3)若,求证：．
【解析】（1）易知当时,代入函数解析式可知：
,所以,．
（2）依题意,由可得
因为在上,所以,
又,所以,整理可得,
所以①,且②,
由得,
又由,得,即是以为公比的等比数列；
（3）若,由（2）得,
因为,所以,
因为,所以,
又因为,
所以
所以,从而,
所以
从而|
所以
.
【例2】（2024届黑龙江省高三信息押题卷四）若给定数列,对于任意的,若满足,则称为“型数列”．若数列满足：,,当时,．
(1)判断数列是否为“型数列”,并证明；
(2)求数列的通项公式；
(3)若,,使不等式成立,求实数的取值范围．
【解析】（1）数列是“型数列”,理由如下：
由,得,
因为,则,
所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,
则,,,
所以数列满足“型数列”的定义,
即数列是“型数列”．
（2）由（1）知,,…,,
累加得,
又,所以．
（3）由（2）可知,,不等式有解,
整理为,有解,即,
设,,则,
设,,,
所以在上单调递增,
,所以函数的值域为,
则,当时,,所以,
所以的取值范围是．
【例3】（2024届四川省成都市第七中学高三下学期热身考试）记数列的前n项和为,已知．
(1)若,证明：是等比数列；
(2)若是和的等差中项,设,求数列的前n项和为．
【解析】（1）对①,当时,有②,
：,即,
经整理,可得,
,故是以为首项、为公比的等比数列．
（2）由（1）知,有,,
题设知,即,则,故．
而,
故.
【例4】（2024届上海交通大学附属中学高三下学期摸底考试）设和是两个等差数列,记,其中表示,,,这个数中最大的数．
(1)若,,求,,的值；
(2)若为常数列,证明是等差数列；
(3)证明：或者对任意正数,存在正整数,当时,；或者存在正整数,使得,,,,是等差数列．
【解析】（1）已知,,
,,,,,,
当时,,
当时,,,,
当时,,,,,
（2）设（为常数）,的通项公式为.
,
先考虑,
则时,,
所以.
当时,则,,
此时为常数,所以是等差数列；
当时,则,,
此时是常数列,也是等差数列；
综上所述：是等差数列；
（3）设数列和的公差分别为,
则,
所以,
①当时,取正整数,则当时,,因此,
此时,是等差数列；
②当时,对任意,
此时,是等差数列；
③当时,当时,有,
所以
,
对任意正数,取正整数,
故当时,.
【例5】（2024届重庆市巴蜀中学校高三下学期模拟）（1）证明：当时,；
（2）已知正项数列满足.
（i）证明：数列为递增数列；
（ii）证明：若,则对任意正整数,都有.
【解析】（1）令,则,
所以在上单调递增,所以,即,
再令,则,,
令,则,由上面知,
即在上单调递减,所以,
所以在上单调递减,所以,
即.
综上,当时,成立.
（2）（i）因为,所以,
所以,由（1）知,当时,,
所以,
所以数列为递增数列.
（ii）要证,即证,即,
由（1）知：当时,,
所以,即有,
所以,
所以,
又因为,所以,
所以,即,
所以,归纳易得数列为减函数,
又数列为递增数列,
所以,
所以
,
又因为,
所以,
所以,
即成立.
1.（2024届陕西省安康市高新中学高三模拟）已知数列满足.
(1)证明：数列是等差数列；
控车在第0格的概率为,设遥控车移到第格的概率为,试证明：数列是等比数列,并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车？
5．（2024届辽宁省实验中学高三下学期考前练）已知数列满足,,令.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设,数列的前n项和为,定义为不超过x的最大整数,例如,,求数列的前n项和.（参考公式：）
6．（2024届上海市七宝中学高三下学期三模）如图,已知正方体顶点处有一质点,点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动,且向每个顶点移动的概率相同,从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次,若质点的初始位置位于点A处,记点移动次后仍在底面上的概率为．
(1)求；
(2)证明：数列是等比数列；若,求的最大值．
7．（2024届四川省成都市高三下学期第三次诊断）设为数列的前项和,已知.
(1)证明: 数列是等比数列；
(2)设,求数列的前项和.
8．（2024届河南省名校联盟考前模拟大联考三）已知数列的各项都为正数,且其前项和.
(1)证明：是等差数列,并求；
(2)如果,求数列的前项和.
9．（2024届东北三省三校高三第三次联合模拟）已知数列的前项和为,且.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设,若是递增数列,求实数的范围.
10．（2024届河南省九师联盟高三下学期4月质量检测）已知数列的各项均不为0,其前项和为,为不等于0的常数,且．
(1)证明：是等比数列；
(2)若成等差数列,则对于任意的正整数,,,是否成等差数列？若成等差数列,请予以证明；若不成等差数列,请说明理由．
11．（2024届全国统一考试数学押题卷六）已知为正项数列的前项积,且,．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若,的前项和为,证明：．
12．（2024届辽宁省部分重点中学协作体高三下学期4月三模）若实数列满足,有,称数列为“数列”.
(1)判断是否为“数列”,并说明理由；
(2)若数列为“数列”,证明：对于任意正整数,且,都有
(3)已知数列为“数列”,且.令,其中表示中的较大者.证明：,都有.
13．（2024届广东省广州市华南师大附中学高三下学期5月月考）对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数,若对在定义域内的给定常数,存在数列满足在的定义域内且,且对在区间的图象上有且仅有在一个点处的切线平行于和的连线,则称数列为函数的“关联切线伴随数列”.
(1)若函数,证明：都存在“关联切线伴随数列”；
(2)若函数,数列为函数的“1关联切线伴随数列”,且,求的通项公式；
(3)若函数,数列为函数的“关联切线伴随数列”,记数列的前项和为,证明：当时,.
14．（2024届山西省部分学校高三年级阶段性测试）对于数列,若存在,使得对任意,总有,则称为“有界变差数列”．
(1)若各项均为正数的等比数列为有界变差数列,求其公比q的取值范围；
(2)若数列满足,且,证明：是有界变差数列；
(3)若,均为有界变差数列,且,证明：是有界变差数列．
15．已知数列的首项,且满足.
(1)证明是等比数列,并求数列的通项公式；
(2)是否存在正整数,使得对任意的正整数,总成立？若存在,求出的值；若不存在,请说明理由.
16.（2024届山东中学联盟高考考前热身）设,.如果存在使得,那么就说可被整除（或整除）,记做且称是的倍数,是的约数（也可称为除数、因数）．不能被整除就记做．由整除的定义,不难得出整除的下面几条性质：①若,,则；②,互质,若,,则；③若,则,其中.
(1)若数列满足,,其前项和为,证明：；
(2)若为奇数,求证：能被整除；
(3)对于整数与,,求证：可整除.
专题1 数列中的证明问题
新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列解答题的难度增加,作为压轴题出现的概率变大,证明一个数列是等差数列、等比数列或证明数列满足某些条件是数列中的一种重要题型,对逻辑推理能力要求较高,对式子变形能力要求较高,常出现在解答题第1小题,本专题总结等差数列与等比数列及其他数列的证明常用方法及技巧.
利用等差数列定义证明数列是等差数列
利用定义法证明是等差数列,就是证明对任意n∈N*,an＋1－an是同一常数．
【例1】（2024届四川省自贡市高三第三次诊断）已知数列的前项和为,且．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)若,,成等比数列,求的最大值．
【解析】（1）数列满足①,
当时,有②,
①②可得：,
即,变形可得,
故数列是以为等差的等差数列；
（2）由（1）可知数列是以为等差的等差数列,
若,,成等比数列,则有,
即,解得,所以,
所以单调递减,又当时,,当时,,当时,,
故当或时,取得最大值,
且．
【例2】（2024届河北省沧州市泊头市第一中学等校高三下学期5月高考模拟）已知数列满足.
(1)证明：数列为等差数列,并求；
(2)令,求数列的前项和.
【解析】（1）由,知,
所以,
所以数列是以为首项,-1为公差的等差数列,
所以,
所以.
（2）因为,
所以.
(二)利用证明数列是等差数列
若对任意n∈N*,数列满足2an+1＝an＋2＋an,则是等差数列.
【例3】已知数列有,（常数）,对任意的正整数n,,并有满足．
(1)求a的值；
(2)证明数列是等差数列．
【解析】（1）由已知,得,
所以.
（2）由得,则,
所以,
即,
于是有,并且有,
所以,
即,
而是正整数,,即,
所以数列是等差数列.
(三)证明数列不是等差数列
证明数列不是等差数列,一般只需要证明该数列的连续3项不成等差数列,通常利用反证法证明.
【例4】给定数列,若首项且,对任意的,都有,则称数列为“指数型数列”.
(1)已知数列为“指数型数列”,若,求；
(2)已知数列满足,判断数列是不是“指数型数列”？若是,请给出证明；若不是,请说明理由；
(3)若数列是“指数型数列”,且,证明：数列中任意三项都不能构成等差数列.
【证明】（1）因为数列是“指数型数列”,所以对于任意的,
都有.因为,
所以,.
（2）数列是“指数型数列”.
证明:由,得,即,
所以数列是等比数列,且,
则,
,
所以数列是“指数型数列”.
（3）因为数列是“指数型数列”,故对任意的,
有,则,所以,
适合该式.
假设数列中存在三项构成等差数列,不妨设,
则由,得,
所以,
当为偶数且时,是偶数,而是奇数,是偶数,
故不能成立；
当为奇数且时,是偶数,而是偶数,是奇数,
故不能成立；
所以,对任意的,不能成立,
即数列中任意三项都不能构成等差数列.
(四)利用等比数列的定义证明数列是等比数列
利用定义法证明是等比数列,就是证明对任意n∈N*,是同一常数．
【例5】（2024届浙江省北斗星盟高三下学期适应性联考）在直角坐标平面内有线段,已知点是线段上靠近的三等分点,点是线段上靠近的三等分点,……,点是线段（,）上靠近的三等分点,设点的横坐标为.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若,,求的通项公式.
【解析】（1）解：由题意得 所以,可得,
又由,所以
所以数列是首项为,公比为的等比数列.
（2）解：因为,,所以,
因为数列是公比为的等比数列,所以时,.
由累加法可得时,
,即当时,,
经检验,满足上式,所以数列的通项公式.
【例6】（2024届湖南师范大学附属中学高三下学期模拟）记为数列的前项和,已知.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求最小的正整数,使得对一切都成立.
【解析】（1）由题知,
用替换上式的,得.
两式作差,,即.
而由,可得.
从而是首项为,公比为的等比数列.
（2）由（1）得,于是,
设,则,
当时,,故,
两式作差,得.
整理可得.
故,又,因此满足条件的最小正整数为.
(五)利用证明数列是等比数列
若对任意正整数n,都有,且,则数列是等比数列.
【例7】（2024届贵州省毕节市高三第三次诊断性）在无穷数列中,若对任意的,都存在,使得,则称为m阶等差数列.在正项无穷数列中,若对任意的,都存在,使得,则称为m阶等比数列．
(1)若数列为1阶等比数列,,,求的通项公式及前n项的和；
(2)若数列为m阶等差数列,求证：为m阶等比数列；
(3)若数列既是m阶等差数列,又是阶等差数列,证明：是等比数列．
【解析】（1）因为为1阶等比数列,所以为正项等比数列,
设公比为,则为正数,
由已知得,解得,
因为,所以,所以,
所以的通项公式为,
前n项的和为；
（2）因为为m阶等差数列,所以对任意的,都存在,
使得成立,
所以,
即,所以为m阶等比数列；
（3）因为既是m阶等差数列,又是阶等差数列,
所以对,有与同时成立,
所以与同时成立,
所以,,成等比,,,成等比,
由,,成等比,得,,也成等比,
设,,
所以,所以数列是等比数列.
(六)证明数列不是等比数列
证明数列不是等比数列,一般只需要证明该数列的连续3项不成等比数列,通常利用反证法证明.
【例8】（2024届湖北省武汉市高三下学期5月模拟训练）混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中,比如天气预测、种群数量变化和天体运动等等,其中一维线段上的抛物线映射是混沌动力学中最基础应用最广泛的模型之一,假设在一个混沌系统中,用来表示系统在第个时刻的状态值,且该系统下一时刻的状态满足,,其中.
(1)当时,若满足对,有,求的通项公式；
(2)证明：当时,中不存在连续的三项构成等比数列；
(3)若,,记,证明：.
【解析】（1）当时,,依题意,①,②,
两式作差,,则或,
若,代入①式解得,或,而,于是；
若,将代入②式解得,.
因此必有.
注意到,,从而由归纳即知是常数列.
所以的通项公式为.
（2）假设,,构成等比数列,则.
那么由,可知.
又,则,解得,与矛盾.
所以中不存在连续的三项构成等比数列.
（3）由于当时,有,,即.
而,,故归纳即知对任意正整数都有.
又由及可知,故数列单调递减.
又由于,故
.
(七)证明数列是新定义的数列
此类问题通常把满足某些条件的数列称为一类新数列,求解关键是证明所给数列满足新数列给定条件
【例9】（2024届山东省枣庄市高三三调）若数列的各项均为正数,对任意,有,则称数列为“对数凹性”数列．
(1)已知数列1,3,2,4和数列1,2,4,3,2,判断它们是否为“对数凹性”数列,并说明理由；
(2)若函数有三个零点,其中．
证明：数列为“对数凹性”数列；
(3)若数列的各项均为正数,,记的前n项和为,,对任意三个不相等正整数p,q,r,存在常数t,使得．
证明：数列为“对数凹性”数列．
【解析】（1）根据“对数凹性”数列的定义可知数列1,3,2,4中不成立,
所以数列1,3,2,4不是“对数凹性”数列；
而数列1,2,4,3,2中均成立,所以数列1,2,4,3,2是“对数凹性”数列；
（2）根据题意及三次函数的性质易知有两个不等实数根,
所以,
又,所以,
显然,即不是的零点,
又,
令,则也有三个零点,
即有三个零点,
则有三个零点,
所以有两个零点,
所以同上有,
故数列为“对数凹性”数列
（3）将互换得：,所以,
令,得,
所以,故数列是等差数列,
记,所以,
所以,
又因为,所以,
所以,所以为单调递增的等差数列,
所以.
所以
所以,数列是“对数凹性”数列.
【例10】（2024届江苏省南京市高三二模）已知数列的前n项和为．若对每一个,有且仅有一个,使得,则称为“X数列”.记,,称数列为的“余项数列”.
(1)若的前四项依次为0,1,,1,试判断是否为“X数列”,并说明理由；
(2)若,证明为“X数列”,并求它的“余项数列”的通项公式；
(3)已知正项数列为“X数列”,且的“余项数列”为等差数列,证明：．
【解析】（1）由题,
所以有,,
故根据“X数列”的定义不是“X数列”.
（2）因为,
所以当时,；
当时,；
则不满足,所以,
令,即,
则当时,有,；
当时,有；故即,
则对每一个,有且仅有一个且,使得,
综上,对任意,有且仅有一个,使得,
所以为“X数列”,
由上,,
即的“余项数列”通项公式为,.
（3）因为是正项数列,所以单调递增,
所以,故,
因为,且为“X数列”,
所以,故由得,
的“余项数列”为等差数列,故其公差,
因为,所以,
若,则当时,,与矛盾,
故,所以,,即,
对于,若,则,与正项数列矛盾,
所以,故,
所以,故,
所以,
又,
所以,.
(八)证明数列的单调性
证明数列是递增（减）数列,通常是证明（）,若,也可根据（）
来证明.
【例11】（2024届湖南省长沙市第一中学高三下学期模拟）已知函数．
(1)判断并证明的零点个数
(2)记在上的零点为,求证;
（i）是一个递减数列
（ii）．
【解析】（1）当为奇数时,有1个零点；当为偶数时,有2个零点.
证明如下：
当时,由,得,
所以函数在上单调递增,又,,
所以函数在内有唯一零点；
当时,,
若为奇数,,则,此时在内无零点；
若为偶数,设,
则,方程有一个解,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
且,此时在内有1个零点.
综上,当为奇数时,有1个零点；当为偶数时,有2个零点.
（2）（i）由（1）知,当时,在在内的零点,
当时,,,
则,
故,所以数列是一个递减数列；
（ii）由（i）知,当时,,
当时,,
有,所以,求和可得
,当且仅当时等号成立；
当时,,
故,则,得,
即,即,即,
即,即,
即,当时,,
所以当时,均有成立,求和可得
.
综上,.
(九)数列中的等式与不等式的证明
数列中的等式证明,通常是根据已知条件进行恒等变形,数列中的不等式证明,常见的是与求和有关的证明,证明时或者先求和,再放缩,或者先放缩成可求和的数列,再求和.
【例12】（2024届重庆市主城区高三下学期学业质量调研抽测）高斯是德国著名的数学家,近代数学的奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”定义为：对于任意实数x,记表示不超过x的最大整数,则称为“高斯函数”．例如：,．
(1)设,,求证：是的一个周期,且恒成立；
(2)已知数列的通项公式为,设．
①求证：；
②求的值．
【解析】（1）．
故是的一个周期．
当时,,,故．
由于周期为,故对任意,都有．
（2）①记．
,则．
∵
,∴．
而
．∴．
∴,∴．
②由①知,则．
由（1）知：对任意,都有,
∴．∴．
∵,∴．
令,
∵；
．
∵,∴．
【例1】（2024届辽宁省高考扣题卷二）在直角坐标平面内,将函数及在第一象限内的图象分别记作,,点在上．过作平行于x轴的直线,与交于点,再过点作平行于y轴的直线,与交于点．
(1)若,请直接写出,的值；
(2)若,求证：是等比数列；
(3)若,求证：．
【解析】（1）易知当时,代入函数解析式可知：
,所以,．
（2）依题意,由可得
因为在上,所以,
又,所以,整理可得,
所以①,且②,
由得,
又由,得,即是以为公比的等比数列；
（3）若,由（2）得,
因为,所以,
因为,所以,
又因为,
所以
所以,从而,
所以
从而|
所以
.
【例2】（2024届黑龙江省高三信息押题卷四）若给定数列,对于任意的,若满足,则称为“型数列”．若数列满足：,,当时,．
(1)判断数列是否为“型数列”,并证明；
(2)求数列的通项公式；
(3)若,,使不等式成立,求实数的取值范围．
【解析】（1）数列是“型数列”,理由如下：
由,得,
因为,则,
所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,
则,,,
所以数列满足“型数列”的定义,
即数列是“型数列”．
（2）由（1）知,,…,,
累加得,
又,所以．
（3）由（2）可知,,不等式有解,
整理为,有解,即,
设,,则,
设,,,
所以在上单调递增,
,所以函数的值域为,
则,当时,,所以,
所以的取值范围是．
【例3】（2024届四川省成都市第七中学高三下学期热身考试）记数列的前n项和为,已知．
(1)若,证明：是等比数列；
(2)若是和的等差中项,设,求数列的前n项和为．
【解析】（1）对①,当时,有②,
：,即,
经整理,可得,
,故是以为首项、为公比的等比数列．
（2）由（1）知,有,,
题设知,即,则,故．
而,
故.
【例4】（2024届上海交通大学附属中学高三下学期摸底考试）设和是两个等差数列,记,其中表示,,,这个数中最大的数．
(1)若,,求,,的值；
(2)若为常数列,证明是等差数列；
(3)证明：或者对任意正数,存在正整数,当时,；或者存在正整数,使得,,,,是等差数列．
【解析】（1）已知,,
,,,,,,
当时,,
当时,,,,
当时,,,,,
（2）设（为常数）,的通项公式为.
,
先考虑,
则时,,
所以.
当时,则,,
此时为常数,所以是等差数列；
当时,则,,
此时是常数列,也是等差数列；
综上所述：是等差数列；
（3）设数列和的公差分别为,
则,
所以,
①当时,取正整数,则当时,,因此,
此时,是等差数列；
②当时,对任意,
此时,是等差数列；
③当时,当时,有,
所以
,
对任意正数,取正整数,
故当时,.
【例5】（2024届重庆市巴蜀中学校高三下学期模拟）（1）证明：当时,；
（2）已知正项数列满足.
（i）证明：数列为递增数列；
（ii）证明：若,则对任意正整数,都有.
【解析】（1）令,则,
所以在上单调递增,所以,即,
再令,则,,
令,则,由上面知,
即在上单调递减,所以,
所以在上单调递减,所以,
即.
综上,当时,成立.
（2）（i）因为,所以,
所以,由（1）知,当时,,
所以,
所以数列为递增数列.
（ii）要证,即证,即,
由（1）知：当时,,
所以,即有,
所以,
所以,
又因为,所以,
所以,即,
所以,归纳易得数列为减函数,
又数列为递增数列,
所以,
所以
,
又因为,
所以,
所以,
即成立.
1.（2024届陕西省安康市高新中学高三模拟）已知数列满足.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设,求的前n项和.
【解析】（1）证明：令,又,则有
,
又,所以
所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列
（2）由（1）知,,
又,所以,
所以,
所以
2．（2024届四川省成都外国语学校高三模拟）已知数列的前项和为,且满足．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)已知,求数列的前项和．
【解析】（1）当时,,解得,
当时,由,可得,
两式相减得,所以,
又因为,所以是首项为,公比为的等比数列.
（2）由（1）知,,
所以,
数列 的前项和为,
可得,
两式相减得,
所以．
3．（2024届安徽省太湖中学高三第四次模拟）已知.
(1)求；
(2)证明：是等差数列,并求出；
(3)设,求的前项和.
【解析】（1）.
（2）,故是以1为首项1为公差的等差数列.故.
（3）因为,所以
4．（2025届云南省三校高三联考）绿色已成为当今世界主题,绿色动力已成为时代的驱动力,绿色能源是未来新能源行业的主导.某汽车公司顺应时代潮流,最新研发了一款新能源汽车,并在出厂前对该批次汽车随机抽取100辆进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行分析,得到如图所示的频率分布
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)若单次最大续航里程在到的汽车为“类汽车”,以抽样检测的频率作为实际情况的概率,从该汽车公司最新研发的新能源汽车中随机抽取10辆,设这10辆汽车中为“类汽车”的数量为,求.
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车,现面向意向客户推出“玩游戏,送大奖”活动,客户可根据拋掷硬币的结果,操控微型遥控车在方格图上行进,若遥控车最终停在“胜利大本营”,则可获得购车优惠券.已知硬币出现正､反面的概率都是,方格图上标有第0格､第1格､第2格､､第30格.遥控车开始在第0格,客户每掷一次硬币,遥控车向前移动一次,若掷出正面,遥控车向前移动一格（从到）,若掷出反面,遥控车向前移动两格（从到）,直到遥控车移到第29格（胜利大本营）或第30格（失败大本营）时,游戏结束.已知遥控车在第0格的概率为,设遥控车移到第格的概率为,试证明：数列是等比数列,并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车？
【解析】（1）.
（2）由题意可知任取一辆汽车为“类汽车”的概率为,
由题设有,故.
（3）第一次掷硬币出现正面,遥控车移到第一格,其概率为,即.
遥控车移到第格的情况是下面两种,而且只有两种：
①遥控车先到第格,又掷出反面,其概率为；
②遥控车先到第格,又掷出正面,其概率为.
所以,所以,
因为,所以时,数列是等比数列,
且首项为,公比为,
所以.
累加可得：
,
也满足上式,故,
所以获胜的概率,
失败的概率,
所以,
所以获胜的概率大,所以此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车.
5．（2024届辽宁省实验中学高三下学期考前练）已知数列满足,,令.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设,数列的前n项和为,定义为不超过x的最大整数,例如,,求数列的前n项和.（参考公式：）
【解析】（1）由题意得,代入得,整理得．
所以是等差数列；
（2）由已知,又,所以,
所以,
,
所以,,,,
时,,,
所以,,,
时,．
6．（2024届上海市七宝中学高三下学期三模）如图,已知正方体顶点处有一质点,点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动,且向每个顶点移动的概率相同,从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次,若质点的初始位置位于点A处,记点移动次后仍在底面上的概率为．
(1)求；
(2)证明：数列是等比数列；若,求的最大值．
【解析】（1）依题意,每一个顶点有3个相邻的顶点,其中两个在同一底面,
所以当点在下底面时,随机移动一次仍在下底面的概率为,
当点在上底面时,随机移动一次回到下底面的概率为,
所以,.
（2）,
所以,
又因为,所以,
所以数列是以为首项,为公比的等比数列；
,,
若,则,所以,
又,,,所以,的最大值为.
7．（2024届四川省成都市高三下学期第三次诊断）设为数列的前项和,已知.
(1)证明: 数列是等比数列；
(2)设,求数列的前项和.
【解析】（1）当时,,得,
由,当时,,
两式相减得: ,
整理得: ,
所以 ,且,
是以2为首项,2为公比的等比数列；
（2）由（1）得,
,
8．（2024届河南省名校联盟考前模拟大联考三）已知数列的各项都为正数,且其前项和.
(1)证明：是等差数列,并求；
(2)如果,求数列的前项和.
【解析】（1）当时,或,
因为,所以,
,
两式相减得,
因为,所以,
故是首项为1,公差为的等差数列,
；
（2）由（1）知,
,
,
则,
,
所以.
9．（2024届东北三省三校高三第三次联合模拟）已知数列的前项和为,且.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设,若是递增数列,求实数的范围.
【解析】（1）由知,得.
由已知有,
故,得.
而,故数列是首项为,公比为的等比数列.
（2）根据（1）的结论有,即.
那么就有.
命题等价于恒成立,即.
此即,化简得到.
从而要求的取值范围使得恒成立.
一方面,对该不等式取可得到,即；
另一方面,若,则,,
故我们恒有,即.
所以的取值范围是.
10．（2024届河南省九师联盟高三下学期4月质量检测）已知数列的各项均不为0,其前项和为,为不等于0的常数,且．
(1)证明：是等比数列；
(2)若成等差数列,则对于任意的正整数,,,是否成等差数列？若成等差数列,请予以证明；若不成等差数列,请说明理由．
【解析】（1）证明：因为,①
所以,②
②①,得,即．
当时,,即,所以,
所以对,,即是公比为的等比数列．
（2）解：对任意正整数成等差数列．证明如下：
由成等差数列,得,且,
即,
化简得,即．
因为,,
所以,
故对于任意的正整数成等差数列．
11．（2024届全国统一考试数学押题卷六）已知为正项数列的前项积,且,．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若,的前项和为,证明：．
【解析】（1）由题意知①,
当时,,∵,∴．
当时,②．
①－②得,适合上式,
③,则④．
得,∴,
两边同时取以为底的对数,得,
则,,又,
数列是首项为,公比为的等比数列．
（2）由题意及（1）知,,
则,
所以,,
两式相减得,
∴．
∵,
随的增大而减小,∴,又,∴,
∴．
12．（2024届辽宁省部分重点中学协作体高三下学期4月三模）若实数列满足,有,称数列为“数列”.
(1)判断是否为“数列”,并说明理由；
(2)若数列为“数列”,证明：对于任意正整数,且,都有
(3)已知数列为“数列”,且.令,其中表示中的较大者.证明：,都有.
【解析】（1）因为,
所以数列是“数列”,
因为,
所以数列不是“数列”；
（2）令,因为数列为“数列”,所以
从而,所以
因为,所以
,
因为,所以.
（3）当或2024时,,
从而,
当时,因为,
由第(2)问的结论得,可推得,从而
对于,由第(2)问的结论得,从而也成立,从而
对于,由第(2)问的结论得,从而
也成立,从而
所以
由条件
可得,
所以.
13．（2024届广东省广州市华南师大附中学高三下学期5月月考）对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数,若对在定义域内的给定常数,存在数列满足在的定义域内且,且对在区间的图象上有且仅有在一个点处的切线平行于和的连线,则称数列为函数的“关联切线伴随数列”.
(1)若函数,证明：都存在“关联切线伴随数列”；
(2)若函数,数列为函数的“1关联切线伴随数列”,且,求的通项公式；
(3)若函数,数列为函数的“关联切线伴随数列”,记数列的前项和为,证明：当时,.
【解析】（1）因为,则,
由题意可得：,
则,即,且,
可知数列为以为首项,为公比的等比数列,
显然这样的数列对于给定的是存在的,
所以都存在“关联切线伴随数列”.
（2）因为,则,
设,即,
由题意可知：,则,
可得,且,
可知数列为以为首项,为公比的等比数列,
可得,所以数列通项公式为.
（3）先证明,
设函数,
则,,则,
定义的导函数为的导函数为,
则,
且,,
令,则,
,
因为,
可知在内单调递增,则,
同理得,,
故,
又在内单调递增,
在有有
因此取,有,
又在单调递减,在单调递增,
故,
当时,,符合题意；
当时,,
累加可得,
整理得,
所以；
综上所述：.
14．（2024届山西省部分学校高三年级阶段性测试）对于数列,若存在,使得对任意,总有,则称为“有界变差数列”．
(1)若各项均为正数的等比数列为有界变差数列,求其公比q的取值范围；
(2)若数列满足,且,证明：是有界变差数列；
(3)若,均为有界变差数列,且,证明：是有界变差数列．
【解析】（1）因为的各项均为正数,所以,,
,
因此,
所以是有界变差数列．
15．已知数列的首项,且满足.
(1)证明是等比数列,并求数列的通项公式；
(2)是否存在正整数,使得对任意的正整数,总成立？若存在,求出的值；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）由,得,
所以, 又,
故,由递推公式可得,
所以,
所以是首项为、公比为－1的等比数列.
故,即；
（2）由（1）可得,所以
,
假设成立,
则,
化简得.
可知当为正偶数,即时,（*）式对任意的正整数总成立.
因此,存在正整数,当,时,对任意的正整数,总成立..
16.（2024届山东中学联盟高考考前热身）设,.如果存在使得,那么就说可被整除（或整除）,记做且称是的倍数,是的约数（也可称为除数、因数）．不能被整除就记做．由整除的定义,不难得出整除的下面几条性质：①若,,则；②,互质,若,,则；③若,则,其中.
(1)若数列满足,,其前项和为,证明：；
(2)若为奇数,求证：能被整除；
(3)对于整数与,,求证：可整除.
【解析】（1）因为,可知数列是以为首项,公比为的等比数列；
所以,
而,且31与9互质；
易知
,
所以；
,
所以；
结合整除性质②可知：；
（2）因为,
且为奇数,所以；
因此能被整除.
（3）易知.
当时,,
,
上式中,由（2）知,能被整除,
另一方面,
,
上式中,所以也能被整除,且与互质,
所以能被整除,即能被整除.
类似可证当时,,
,
显然,由（2）知,能被整除；
另一方面,
,
所以能被整除；且与互质.
能被整除.
综上可知能被整除.