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备战2025年高考数学压轴题训练专题10一元函数的导数及其应用(利用导数研究函数图象及性质)(全题型压轴题)(学生版+解析)
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这是一份备战2025年高考数学压轴题训练专题10一元函数的导数及其应用(利用导数研究函数图象及性质)(全题型压轴题)(学生版+解析)，共35页。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc8278" 一、图象识别题 PAGEREF _Tc8278 \h 1
\l "_Tc30144" 二、函数切线条数问题 PAGEREF _Tc30144 \h 3
\l "_Tc28706" 三、不等式整数解问题 PAGEREF _Tc28706 \h 4
\l "_Tc8395" 四、函数零点，方程根，两个函数图象交点问题 PAGEREF _Tc8395 \h 5
\l "_Tc16467" 五、不等式恒成立问题 PAGEREF _Tc16467 \h 7
一、图象识别题
1．（2024·湖北·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·宁夏固原·一模）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·天津·一模）如图是函数的部分图象，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）函数的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
二、函数切线条数问题
1．（23-24高三上·广东汕头·阶段练习）若过点可作曲线三条切线，则（ ）
A．B．
C．或D．
2．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有三条，则（ ）
A．B．C．D．或
3．（23-24高二下·安徽安庆·期末）若过点可以作曲线的三条切线，则（）
A．B．
C．D．
4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）过直线上一点可以作曲线的两条切线，则点横坐标的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
四、函数零点，方程根，两个函数图象交点问题
1．（23-24高二下·四川乐山·期末）已知函数和有相同的最小值．
(1)求；
(2)若直线与和的图象共有四个不同的交点，试探究：从左到右四个交点横坐标之间的等量关系．
2．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为
(1)已知函数，
①求函数在点处的曲率的平方；
②求函数的曲率的最大值．
(2)函数，若在两个不同的点处曲率为0，求实数的取值范围．
3．（2024·北京房山·一模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设，求函数的极大值；
(3)若，求函数的零点个数．
4．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数和
(1)若函数是定义域上的严格减函数，求的取值范围.
(2)若函数和有相同的最小值，求的值
(3)若，是否存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列
5．（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数．
(1)求函数单调区间；
(2)若过点可以作曲线的3条切线，求实数的取值范围．
五、不等式恒成立问题
1．（2024·湖南·一模）若不等式对恒成立，其中，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·山东菏泽·一模）关于的不等式恒成立，则的最小值为 ．
3．（23-24高三上·山东临沂·期末）已知函数，若关于x的不等式（e是自然对数的底数）在R上恒成立，则a的取值范围 ．
4．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数
(1)当时，求的单调区间；
(2)若恒成立，求的最小值.
专题10 一元函数的导数及其应用
（利用导数研究函数图象及性质）
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc8278" 一、图象识别题 PAGEREF _Tc8278 \h 1
\l "_Tc30144" 二、函数切线条数问题 PAGEREF _Tc30144 \h 5
\l "_Tc28706" 三、不等式整数解问题 PAGEREF _Tc28706 \h 9
\l "_Tc8395" 四、函数零点，方程根，两个函数图象交点问题 PAGEREF _Tc8395 \h 13
\l "_Tc16467" 五、不等式恒成立问题 PAGEREF _Tc16467 \h 24
一、图象识别题
1．（2024·湖北·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【优尖升-分析】根据时的单调性可排除BC；再由奇偶性可排除D.
【详解】，
因为当时，都为增函数，
所以，单调递增，故B，C错误；
又因为，
所以不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D错误.
故选：A
2．（2024·宁夏固原·一模）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【优尖升-分析】利用在上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用在上的单调性排除D，从而得解.
【详解】对于B，当时，，易知，，
则，不满足图象，故B错误；
对于C，，定义域为，
又，则的图象关于轴对称，故C错误；
对于D，当时，，
由反比例函数的性质可知，在上单调递减，故D错误；
检验选项A，满足图中性质，故A正确.
故选：A.
3．（2024·天津·一模）如图是函数的部分图象，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【优尖升-分析】根据函数的奇偶性可排除C，根据在原点附近的函数值的正负可排除BA，即可求解.
【详解】由图可知：的图象关于轴对称，则为偶函数，
对于A，，为偶函数，
但当取一个很小的正数，例如，选项中的，而原图象中值为负数，故A不符合，舍去，
对于B, ,为偶函数，但是处有意义，但是原函数在处无意义，故B不符合，
对于C，，为奇函数，故C不符合，
故选：D
4．（2024·全国·模拟预测）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【优尖升-分析】根据函数解析式，求函数定义域，奇偶性，特殊值利用排除法逐一判断各个选项.
【详解】由题意得，即，得，且，
所以的定义域为；
又，所以为奇函数，
其图象关于原点对称，排除B，C；
又，所以排除D．
故选：A．
5．（2024·全国·模拟预测）函数的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【优尖升-分析】由奇偶函数的定义可判断A，C；由特值法可判断B，D.
【详解】函数的定义域为，关于原点对称，
又，，
所以函数为奇函数，其图像关于原点对称，排除选项A，C．
因为，排除选项B.
（另解：当时，，所以，排除选项B）．
故选：D．
二、函数切线条数问题
1．（23-24高三上·广东汕头·阶段练习）若过点可作曲线三条切线，则（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】D
【优尖升-分析】设出切点，求导，得到切线方程，将代入切线方程，得到，故有三个实数根，令，求导，得到其单调性和极值点情况，从而得到不等式，求出答案.
【详解】设切点为，则，
，故，且切线方程为，
因为在切线上，故，
整理得，
因为过点可作曲线三条切线，
故有三个实数根，
设，则，
由得，或，
因为，由得或，此时单调递增，
由得，此时单调递减，
所以的极大值点为，极小值点为，
故要有三个实数根的充要条件为，
即，解得.
故选：D
【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：
(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；
(2) 已知斜率求切点即解方程；
(3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.
2．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有三条，则（ ）
A．B．C．D．或
【答案】A
【优尖升-分析】设切点为，再根据导数的几何意义结合两点间的斜率公式可得有3个解，构造函数，求导分析单调性与极值可得的取值范围.
【详解】，设经过点且与曲线相切的切点为，则.又切线经过，故由题意有3个解.
化简有，即有3个解.
设，则，令有或，故当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减.
又，，且，，故要有3个解，则.
故选：A
【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
3．（23-24高二下·安徽安庆·期末）若过点可以作曲线的三条切线，则（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【优尖升-分析】设切点为，利用导数的几何意义及条件可得关于的方程有三个不同的解，构造函数，利用导数研究函数的性质利用数形结合即得.
【详解】由题可得，
设切点，则，整理得，
由题意知关于的方程有三个不同的解，
设，，
由，得或，又，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，单调递增，
当时，
当时，，且，，
函数的大致图像如图所示，
因为的图像与直线有三个交点，
所以，即.
故选：D.
【点睛】利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.
4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）过直线上一点可以作曲线的两条切线，则点横坐标的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【优尖升-分析】根据导数的几何意义得出切线方程，再将方程的根的个数问题转化为函数与函数的图象的交点个数问题，结合图象，即可得出答案.
【详解】解：由题意得，设切点为，，
，，
则过点的切线方程为，整理得，
由点在切线上，则，即，
因为过直线上一点可以作曲线两条切线，
所以关于的方程有两个不等的实数根，
即函数与函数的图象有两个交点，
，
，
则函数在上单调递增，在上单调递减，且，
时，；时，，
则函数与函数的图象如下图所示：
由图可知，，
故选：C.
三、不等式整数解问题
1．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知函数，若关于的的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【优尖升-分析】根据绝对值的应用寻找方程成立的条件，再利用数形结合求解参数即可.
【详解】若关于的的方程有且仅有两个不同的整数解，
则必有且同时成立，即图象夹在和之间，
易知，函数的图象大致如图，
结合图形可知的整数解只有两个，则其中一个为，另一个为，
所以，且，
解得，
故选：B
2．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【优尖升-分析】画出函数的图像，然后对于不等式，分和以及和进行分析说明得实数的最小值.
【详解】函数的图像如下：
不等式恰有两个整数解，
①当时，，即，
当时，，
由于恰有两个整数解，又，
则整数解为和，又，
因为求最小值，此时就不用考虑了，的最小值为，
②当时，对于，
则，
只考虑，
则
又时有两个整数解，则不等式的解集中含有多于个整数解，故舍去，
综上，实数的最小值是.
故选：A.
3．（2024·全国·模拟预测）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【优尖升-分析】第一步：将不等式进行合理变形，关于x的不等式恰有一个整数解．
第二步：构造函数，研究新函数的性质，作出函数的图象，根据图象求解；
【详解】设，，则，
当时，，
当时，，
在区间上单调递增，在区间上单调递减．
当时，，当x趋近于时，趋近于0，，
直线过点，在同一坐标系中作出直线和函数的图象如图所示．
由图象知，要使关于x的不等式恰有一个整数解，则
，解得，
故选：D．
4．（23-24高二下·河南郑州·期末）若关于的不等式恰好有个整数解，则实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【优尖升-分析】数形结合可知，进而可得个整数解分别为，，，，所以，即可解得的取值范围.
【详解】
函数与的图像如图所示，
可知当时，两函数的图像有个交点，不等式有无数个整数解，
当，两函数的图像无交点，不等式无整数解，
当时，两函数的图像有个交点，不等式无整数解，
当时，两函数的图像有个交点，不等式有无数个整数解，
所以，则，
所以不等式的个整数解分别为，，，，
，解得，
解得，
故选：C.
5．（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知偶函数满足，，且当时，.若关于的不等式在上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【优尖升-分析】分析可知，函数是周期为的周期函数，由题意可得关于的不等式在上有且只有个整数解，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】因为偶函数满足，则，即，
所以，函数是周期为的周期函数，
当时，，令，可得.
由可得，由可得.
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
因为关于的不等式在上有且只有个整数解，
则关于的不等式在上有且只有个整数解，如下图所示：
因为，且，
又因为，所以，要使得不等式在上有且只有个整数解，
则这五个整数解分别为、、、、，
所以，，即，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用不等式的整数解的个数求参数的取值范围，解题的关键在于作出函数的图象，明确整数解是哪些整数，再结合图形求解.
四、函数零点，方程根，两个函数图象交点问题
1．（23-24高二下·四川乐山·期末）已知函数和有相同的最小值．
(1)求；
(2)若直线与和的图象共有四个不同的交点，试探究：从左到右四个交点横坐标之间的等量关系．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【优尖升-分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a，注意分类讨论.
（2）根据（1）可得，，结合大致图象分两种情况进行分析探究即可.
【详解】（1）因为，所以．
若，则，此时无最小值，故.
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故.
因为的定义域为，而.
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故.
因为和有相同的最小值，
故，整理得到，其中，
设，则，
故为上的减函数，而，
故的唯一解为，故的解为.
综上，.
（2）由（1）知，，故，，
且在上为减函数，在上为增函数，
在上为减函数，在上为增函数，且，
所以直线与和的图象有四个不同的交点，存在以下两种情况：
第一种情况，如图：
设直线与的图象交点横坐标从左到右依次为，
直线与的图象交点横坐标从左到右依次为．
由图可知且．
∵且．
∴．
同理，且．
∴．
∴，，
又∵，即：．
∴．
∴．
第二种情况，如图：
设直线与的图象交点横坐标从左到右依次为，
直线与的图象交点横坐标从左到右依次为．
由图可知，，且，，
∵且．
∴．
同理，且．
∴．
∴，，
又∵，即：．
∴．
∴．
综上所述，若直线与和的图象共有四个不同的交点，从左到右四个交点横坐标之间的等量关系为：.
【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.
2．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为
(1)已知函数，
①求函数在点处的曲率的平方；
②求函数的曲率的最大值．
(2)函数，若在两个不同的点处曲率为0，求实数的取值范围．
【答案】(1)① ；②
(2)
【优尖升-分析】（1）首先求得，，①代入得，结合曲率公式即可求解；②首先得曲率表达式，进一步通过换元法，构造函数求导即可得解；
（2）通过计算得，从而在两个不同的点处曲率为0，等价于有两个大于0的实数解，进一步证明在上单调递增，从而原问题等价于有两个实数解，利用导数研究函数零点即可求解．
【详解】（1），，，
①由题意，，
②由定义知为非负数，由题意得
，，
∴，令，
∴，令，
则在上恒成立，
在上单调递增，即，
，当且仅当时取到，所以曲率的最大值为．
（2），
，
，
因为在两个不同的点处曲率为0，
有两个大于0的实数解，
有两个大于0的实数解．
令，
在上单调递增，且值域为，
有两个大于0的实数解有两个实数解．
令，则，
令得，时，，即单调递增；
时，，即单调递减；
，
又时，；时，；
图象如下图所示：
有两个实数解，．
所以的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：解决（2）的关键是通过同构将原问题转换为有两个实数解，由此即可顺利得解.
3．（2024·北京房山·一模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设，求函数的极大值；
(3)若，求函数的零点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【优尖升-分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；
（2）求导，分，和三种情况讨论，再结合极大值的定义即可得解；
（3）令，则，再分的正负讨论，当时，分离参数可得，则函数零点的个数即为函数图象交点的个数，构造函数，利用导数求出其单调区间和极值，作出函数的大致图象，结合图象即可得解.
【详解】（1）当时，，，
则，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2），则，
则，
当时，，此时函数无极值；
当时，令，则或，令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为；
当时，令，则或，令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
而函数的定义域为，
所以此时函数无极值.
综上所述，当时，函数无极大值；
当时，的极大值为；
（3）令，则，
当时，，
所以时，函数无零点；
当时，由，得，所以，
则时，函数零点的个数即为函数图象交点的个数，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又当时，且，当时，，
如图，作出函数的大致图象，
又，由图可知，所以函数的图象只有个交点，
即当时，函数只有个零点；
综上所述，若，函数有个零点．
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
4．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数和
(1)若函数是定义域上的严格减函数，求的取值范围.
(2)若函数和有相同的最小值，求的值
(3)若，是否存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列
【答案】(1)
(2)1
(3)存在
【优尖升-分析】
（1）求导，然后根据导函数不大于零恒成立，转化为最值求解即可；
（2）分别求出两函数的最值，根据最值相等构造函数，求导研究函数单调性，进而可得的值；
（3）求导研究函数和的单调性，及最值，设出其交点，进而求出三个不同的交点，根据等式可证明等差数列.
【详解】（1）
恒成立，
因为，
所以，
则的取值范围为；
（2）
定义域为，
，，
若，则，单调递增，无最小值，
故，
当时，，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
故，
的定义域为，
，，
令，解得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
故，
函数和有相同的最小值
，
，
化为，
令，，
则，
，
恒成立，
在上单调递增，
又，仅有此一解，
；
（3）
（2）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在上单调递减，在上单调递增，
设，
则，当时，，
所以函数在上单调递增，因为，
所以当时，恒成立，即在时恒成立，
所以时，，
因为，函数在上单调递增，，函数在上单调递减，
所以函数与函数的图象在上存在唯一交点，设该交点为,，
此时可作出函数和的大致图象，
由图象知当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，
直线必经过点,，即，
因为，所以，即，
令得，
解得或，由，得，
令得，解得或，由，得，
所以当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，
从左到右的三个交点的横坐标依次为，，，
因为，所以，
所以，，成等差数列．
存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【点睛】关键点点睛：本题第三问关键点是找到两函数的交点对应的相关等式，才能求出3个交点时的横坐标.
5．（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数．
(1)求函数单调区间；
(2)若过点可以作曲线的3条切线，求实数的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间是；单调递减区间是
(2)
【优尖升-分析】（1）求出函数的导数，解不等式，即可求得函数单调区间；
（2）设切点坐标为，利用导数的几何意义求出切线方程，推出方程有三个不等实数根，构造函数，将方程根的问题转化为函数图像的交点问题，利用导数判断函数的性质，作出函数图像，数形结合，即可求解.
【详解】（1）函数的定义域为，，
令，解得，所以函数的单调递增区间是；
令，解得，所以函数的单调递减区间是
（2）由题意可得，
设切点坐标为，则切线斜率，
所以切线方程为，
将代入得．
因为存在三条切线，即方程有三个不等实数根，
方程有三个不等实数根等价于函数的图像有三个交点，
设，则，
当时，在上单调递增；
在和上，在和上单调递减，
，；
当或时，，时，，
当时，；当时，，
画出的图象如图，
要使函数的图像有三个交点，需，
即，即实数的取值范围.
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于根据过点可以作曲线的3条切线，求解参数的范围，解答时要利用导数的几何意义求出切线方程，即要使得方程有三个不等实数根，构造函数，转化为函数的图像的交点问题，利用导数判断函数性质，数形结合，即可求解.
五、不等式恒成立问题
1．（2024·湖南·一模）若不等式对恒成立，其中，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【优尖升-分析】先讨论的范围，当时，利用导数求最值，根据最小值大于等于0可得，然后将二元化一元，令，利用导数求最值可解.
【详解】令，即，
当时，由函数与的图象可知，两函数图象有一个交点，记为，
则当时，，即，不满足题意；
当时，令，则，
令，则，因为单调递增，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以时，有最小值，
又对恒成立，
所以，即，
所以，当且仅当时等号成立.
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，，
所以，即，当且仅当，时等号成立，
所以的取值范围为.
故选：A
【点睛】方法点睛：本题属于恒成立问题，难点在于将恒成立转化为最值问题，以及利用的不等关系将二元化一元，此处应注意保证任何时候都能取到等号.
2．（2024·山东菏泽·一模）关于的不等式恒成立，则的最小值为 ．
【答案】
【优尖升-分析】由，得，利用导数证明，则问题转化为恒成立，即可得解.
分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
3．（23-24高三上·山东临沂·期末）已知函数，若关于x的不等式（e是自然对数的底数）在R上恒成立，则a的取值范围 ．
【答案】
【优尖升-分析】
首先画出函数的图象，再利用数形结合，通过直线与的图象相切时的临界值，即可求解的取值范围.
【详解】在上恒成立，等价于的图象恒在直线的上方，
，两边平方后得，
所以的图象是以为圆心，半径为1，并且在轴的下半部分的半圆，
，，得，
当时，，函数在单调递减，
当时，，函数在单调递增，
当时，函数取得最小值，
如图，画出函数的图象：
直线恒过定点，当直线与相切时，
设切点，
，可得，由，解得：，
则切线的斜率为2，
当直线与，相切时，直线与半圆相切，由，解得：，
由图可知，的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是正确画出函数的图象，并会根据直线与曲线相切，求直线的斜率.
4．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数
(1)当时，求的单调区间；
(2)若恒成立，求的最小值.
【答案】(1)递增区间为，递减区间为
(2)
【优尖升-分析】（1）代入，直接求导然后确定单调性；
（2）先令求出的范围，然后证明当时等号成立即可，构造函数，求导，确定单调性求最值即可.
【详解】（1）当时，，，
令，得，令，得，
故的递增区间为，递减区间为；
（2）由，且恒成立，则，即，
结合目标式，令，则有（必要性探路），
下面验证等号成立条件，由，令，其图象如下，
要使上述不等式等号成立，只需在处的切线为的公切线，
而，则，结合，
所以时，等号成立；
下面证明当时不等式的等号成立.
令，，
令，
因为，且对称轴，
故时，，递增；时，，递减；
所以成立，故的最小值为.
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc8278" 一、图象识别题 PAGEREF _Tc8278 \h 1
\l "_Tc30144" 二、函数切线条数问题 PAGEREF _Tc30144 \h 3
\l "_Tc28706" 三、不等式整数解问题 PAGEREF _Tc28706 \h 4
\l "_Tc8395" 四、函数零点，方程根，两个函数图象交点问题 PAGEREF _Tc8395 \h 5
\l "_Tc16467" 五、不等式恒成立问题 PAGEREF _Tc16467 \h 7
一、图象识别题
1．（2024·湖北·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·宁夏固原·一模）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·天津·一模）如图是函数的部分图象，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）函数的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
二、函数切线条数问题
1．（23-24高三上·广东汕头·阶段练习）若过点可作曲线三条切线，则（ ）
A．B．
C．或D．
2．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有三条，则（ ）
A．B．C．D．或
3．（23-24高二下·安徽安庆·期末）若过点可以作曲线的三条切线，则（）
A．B．
C．D．
4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）过直线上一点可以作曲线的两条切线，则点横坐标的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
四、函数零点，方程根，两个函数图象交点问题
1．（23-24高二下·四川乐山·期末）已知函数和有相同的最小值．
(1)求；
(2)若直线与和的图象共有四个不同的交点，试探究：从左到右四个交点横坐标之间的等量关系．
2．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为
(1)已知函数，
①求函数在点处的曲率的平方；
②求函数的曲率的最大值．
(2)函数，若在两个不同的点处曲率为0，求实数的取值范围．
3．（2024·北京房山·一模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设，求函数的极大值；
(3)若，求函数的零点个数．
4．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数和
(1)若函数是定义域上的严格减函数，求的取值范围.
(2)若函数和有相同的最小值，求的值
(3)若，是否存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列
5．（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数．
(1)求函数单调区间；
(2)若过点可以作曲线的3条切线，求实数的取值范围．
五、不等式恒成立问题
1．（2024·湖南·一模）若不等式对恒成立，其中，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·山东菏泽·一模）关于的不等式恒成立，则的最小值为 ．
3．（23-24高三上·山东临沂·期末）已知函数，若关于x的不等式（e是自然对数的底数）在R上恒成立，则a的取值范围 ．
4．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数
(1)当时，求的单调区间；
(2)若恒成立，求的最小值.
专题10 一元函数的导数及其应用
（利用导数研究函数图象及性质）
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc8278" 一、图象识别题 PAGEREF _Tc8278 \h 1
\l "_Tc30144" 二、函数切线条数问题 PAGEREF _Tc30144 \h 5
\l "_Tc28706" 三、不等式整数解问题 PAGEREF _Tc28706 \h 9
\l "_Tc8395" 四、函数零点，方程根，两个函数图象交点问题 PAGEREF _Tc8395 \h 13
\l "_Tc16467" 五、不等式恒成立问题 PAGEREF _Tc16467 \h 24
一、图象识别题
1．（2024·湖北·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【优尖升-分析】根据时的单调性可排除BC；再由奇偶性可排除D.
【详解】，
因为当时，都为增函数，
所以，单调递增，故B，C错误；
又因为，
所以不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D错误.
故选：A
2．（2024·宁夏固原·一模）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【优尖升-分析】利用在上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用在上的单调性排除D，从而得解.
【详解】对于B，当时，，易知，，
则，不满足图象，故B错误；
对于C，，定义域为，
又，则的图象关于轴对称，故C错误；
对于D，当时，，
由反比例函数的性质可知，在上单调递减，故D错误；
检验选项A，满足图中性质，故A正确.
故选：A.
3．（2024·天津·一模）如图是函数的部分图象，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【优尖升-分析】根据函数的奇偶性可排除C，根据在原点附近的函数值的正负可排除BA，即可求解.
【详解】由图可知：的图象关于轴对称，则为偶函数，
对于A，，为偶函数，
但当取一个很小的正数，例如，选项中的，而原图象中值为负数，故A不符合，舍去，
对于B, ,为偶函数，但是处有意义，但是原函数在处无意义，故B不符合，
对于C，，为奇函数，故C不符合，
故选：D
4．（2024·全国·模拟预测）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【优尖升-分析】根据函数解析式，求函数定义域，奇偶性，特殊值利用排除法逐一判断各个选项.
【详解】由题意得，即，得，且，
所以的定义域为；
又，所以为奇函数，
其图象关于原点对称，排除B，C；
又，所以排除D．
故选：A．
5．（2024·全国·模拟预测）函数的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【优尖升-分析】由奇偶函数的定义可判断A，C；由特值法可判断B，D.
【详解】函数的定义域为，关于原点对称，
又，，
所以函数为奇函数，其图像关于原点对称，排除选项A，C．
因为，排除选项B.
（另解：当时，，所以，排除选项B）．
故选：D．
二、函数切线条数问题
1．（23-24高三上·广东汕头·阶段练习）若过点可作曲线三条切线，则（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】D
【优尖升-分析】设出切点，求导，得到切线方程，将代入切线方程，得到，故有三个实数根，令，求导，得到其单调性和极值点情况，从而得到不等式，求出答案.
【详解】设切点为，则，
，故，且切线方程为，
因为在切线上，故，
整理得，
因为过点可作曲线三条切线，
故有三个实数根，
设，则，
由得，或，
因为，由得或，此时单调递增，
由得，此时单调递减，
所以的极大值点为，极小值点为，
故要有三个实数根的充要条件为，
即，解得.
故选：D
【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：
(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；
(2) 已知斜率求切点即解方程；
(3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.
2．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有三条，则（ ）
A．B．C．D．或
【答案】A
【优尖升-分析】设切点为，再根据导数的几何意义结合两点间的斜率公式可得有3个解，构造函数，求导分析单调性与极值可得的取值范围.
【详解】，设经过点且与曲线相切的切点为，则.又切线经过，故由题意有3个解.
化简有，即有3个解.
设，则，令有或，故当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减.
又，，且，，故要有3个解，则.
故选：A
【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
3．（23-24高二下·安徽安庆·期末）若过点可以作曲线的三条切线，则（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【优尖升-分析】设切点为，利用导数的几何意义及条件可得关于的方程有三个不同的解，构造函数，利用导数研究函数的性质利用数形结合即得.
【详解】由题可得，
设切点，则，整理得，
由题意知关于的方程有三个不同的解，
设，，
由，得或，又，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，单调递增，
当时，
当时，，且，，
函数的大致图像如图所示，
因为的图像与直线有三个交点，
所以，即.
故选：D.
【点睛】利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.
4．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）过直线上一点可以作曲线的两条切线，则点横坐标的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【优尖升-分析】根据导数的几何意义得出切线方程，再将方程的根的个数问题转化为函数与函数的图象的交点个数问题，结合图象，即可得出答案.
【详解】解：由题意得，设切点为，，
，，
则过点的切线方程为，整理得，
由点在切线上，则，即，
因为过直线上一点可以作曲线两条切线，
所以关于的方程有两个不等的实数根，
即函数与函数的图象有两个交点，
，
，
则函数在上单调递增，在上单调递减，且，
时，；时，，
则函数与函数的图象如下图所示：
由图可知，，
故选：C.
三、不等式整数解问题
1．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知函数，若关于的的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【优尖升-分析】根据绝对值的应用寻找方程成立的条件，再利用数形结合求解参数即可.
【详解】若关于的的方程有且仅有两个不同的整数解，
则必有且同时成立，即图象夹在和之间，
易知，函数的图象大致如图，
结合图形可知的整数解只有两个，则其中一个为，另一个为，
所以，且，
解得，
故选：B
2．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【优尖升-分析】画出函数的图像，然后对于不等式，分和以及和进行分析说明得实数的最小值.
【详解】函数的图像如下：
不等式恰有两个整数解，
①当时，，即，
当时，，
由于恰有两个整数解，又，
则整数解为和，又，
因为求最小值，此时就不用考虑了，的最小值为，
②当时，对于，
则，
只考虑，
则
又时有两个整数解，则不等式的解集中含有多于个整数解，故舍去，
综上，实数的最小值是.
故选：A.
3．（2024·全国·模拟预测）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【优尖升-分析】第一步：将不等式进行合理变形，关于x的不等式恰有一个整数解．
第二步：构造函数，研究新函数的性质，作出函数的图象，根据图象求解；
【详解】设，，则，
当时，，
当时，，
在区间上单调递增，在区间上单调递减．
当时，，当x趋近于时，趋近于0，，
直线过点，在同一坐标系中作出直线和函数的图象如图所示．
由图象知，要使关于x的不等式恰有一个整数解，则
，解得，
故选：D．
4．（23-24高二下·河南郑州·期末）若关于的不等式恰好有个整数解，则实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【优尖升-分析】数形结合可知，进而可得个整数解分别为，，，，所以，即可解得的取值范围.
【详解】
函数与的图像如图所示，
可知当时，两函数的图像有个交点，不等式有无数个整数解，
当，两函数的图像无交点，不等式无整数解，
当时，两函数的图像有个交点，不等式无整数解，
当时，两函数的图像有个交点，不等式有无数个整数解，
所以，则，
所以不等式的个整数解分别为，，，，
，解得，
解得，
故选：C.
5．（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知偶函数满足，，且当时，.若关于的不等式在上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【优尖升-分析】分析可知，函数是周期为的周期函数，由题意可得关于的不等式在上有且只有个整数解，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】因为偶函数满足，则，即，
所以，函数是周期为的周期函数，
当时，，令，可得.
由可得，由可得.
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
因为关于的不等式在上有且只有个整数解，
则关于的不等式在上有且只有个整数解，如下图所示：
因为，且，
又因为，所以，要使得不等式在上有且只有个整数解，
则这五个整数解分别为、、、、，
所以，，即，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用不等式的整数解的个数求参数的取值范围，解题的关键在于作出函数的图象，明确整数解是哪些整数，再结合图形求解.
四、函数零点，方程根，两个函数图象交点问题
1．（23-24高二下·四川乐山·期末）已知函数和有相同的最小值．
(1)求；
(2)若直线与和的图象共有四个不同的交点，试探究：从左到右四个交点横坐标之间的等量关系．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【优尖升-分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a，注意分类讨论.
（2）根据（1）可得，，结合大致图象分两种情况进行分析探究即可.
【详解】（1）因为，所以．
若，则，此时无最小值，故.
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故.
因为的定义域为，而.
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故.
因为和有相同的最小值，
故，整理得到，其中，
设，则，
故为上的减函数，而，
故的唯一解为，故的解为.
综上，.
（2）由（1）知，，故，，
且在上为减函数，在上为增函数，
在上为减函数，在上为增函数，且，
所以直线与和的图象有四个不同的交点，存在以下两种情况：
第一种情况，如图：
设直线与的图象交点横坐标从左到右依次为，
直线与的图象交点横坐标从左到右依次为．
由图可知且．
∵且．
∴．
同理，且．
∴．
∴，，
又∵，即：．
∴．
∴．
第二种情况，如图：
设直线与的图象交点横坐标从左到右依次为，
直线与的图象交点横坐标从左到右依次为．
由图可知，，且，，
∵且．
∴．
同理，且．
∴．
∴，，
又∵，即：．
∴．
∴．
综上所述，若直线与和的图象共有四个不同的交点，从左到右四个交点横坐标之间的等量关系为：.
【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.
2．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为
(1)已知函数，
①求函数在点处的曲率的平方；
②求函数的曲率的最大值．
(2)函数，若在两个不同的点处曲率为0，求实数的取值范围．
【答案】(1)① ；②
(2)
【优尖升-分析】（1）首先求得，，①代入得，结合曲率公式即可求解；②首先得曲率表达式，进一步通过换元法，构造函数求导即可得解；
（2）通过计算得，从而在两个不同的点处曲率为0，等价于有两个大于0的实数解，进一步证明在上单调递增，从而原问题等价于有两个实数解，利用导数研究函数零点即可求解．
【详解】（1），，，
①由题意，，
②由定义知为非负数，由题意得
，，
∴，令，
∴，令，
则在上恒成立，
在上单调递增，即，
，当且仅当时取到，所以曲率的最大值为．
（2），
，
，
因为在两个不同的点处曲率为0，
有两个大于0的实数解，
有两个大于0的实数解．
令，
在上单调递增，且值域为，
有两个大于0的实数解有两个实数解．
令，则，
令得，时，，即单调递增；
时，，即单调递减；
，
又时，；时，；
图象如下图所示：
有两个实数解，．
所以的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：解决（2）的关键是通过同构将原问题转换为有两个实数解，由此即可顺利得解.
3．（2024·北京房山·一模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设，求函数的极大值；
(3)若，求函数的零点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【优尖升-分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；
（2）求导，分，和三种情况讨论，再结合极大值的定义即可得解；
（3）令，则，再分的正负讨论，当时，分离参数可得，则函数零点的个数即为函数图象交点的个数，构造函数，利用导数求出其单调区间和极值，作出函数的大致图象，结合图象即可得解.
【详解】（1）当时，，，
则，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2），则，
则，
当时，，此时函数无极值；
当时，令，则或，令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为；
当时，令，则或，令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
而函数的定义域为，
所以此时函数无极值.
综上所述，当时，函数无极大值；
当时，的极大值为；
（3）令，则，
当时，，
所以时，函数无零点；
当时，由，得，所以，
则时，函数零点的个数即为函数图象交点的个数，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又当时，且，当时，，
如图，作出函数的大致图象，
又，由图可知，所以函数的图象只有个交点，
即当时，函数只有个零点；
综上所述，若，函数有个零点．
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
4．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数和
(1)若函数是定义域上的严格减函数，求的取值范围.
(2)若函数和有相同的最小值，求的值
(3)若，是否存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列
【答案】(1)
(2)1
(3)存在
【优尖升-分析】
（1）求导，然后根据导函数不大于零恒成立，转化为最值求解即可；
（2）分别求出两函数的最值，根据最值相等构造函数，求导研究函数单调性，进而可得的值；
（3）求导研究函数和的单调性，及最值，设出其交点，进而求出三个不同的交点，根据等式可证明等差数列.
【详解】（1）
恒成立，
因为，
所以，
则的取值范围为；
（2）
定义域为，
，，
若，则，单调递增，无最小值，
故，
当时，，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
故，
的定义域为，
，，
令，解得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
故，
函数和有相同的最小值
，
，
化为，
令，，
则，
，
恒成立，
在上单调递增，
又，仅有此一解，
；
（3）
（2）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在上单调递减，在上单调递增，
设，
则，当时，，
所以函数在上单调递增，因为，
所以当时，恒成立，即在时恒成立，
所以时，，
因为，函数在上单调递增，，函数在上单调递减，
所以函数与函数的图象在上存在唯一交点，设该交点为,，
此时可作出函数和的大致图象，
由图象知当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，
直线必经过点,，即，
因为，所以，即，
令得，
解得或，由，得，
令得，解得或，由，得，
所以当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，
从左到右的三个交点的横坐标依次为，，，
因为，所以，
所以，，成等差数列．
存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【点睛】关键点点睛：本题第三问关键点是找到两函数的交点对应的相关等式，才能求出3个交点时的横坐标.
5．（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数．
(1)求函数单调区间；
(2)若过点可以作曲线的3条切线，求实数的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间是；单调递减区间是
(2)
【优尖升-分析】（1）求出函数的导数，解不等式，即可求得函数单调区间；
（2）设切点坐标为，利用导数的几何意义求出切线方程，推出方程有三个不等实数根，构造函数，将方程根的问题转化为函数图像的交点问题，利用导数判断函数的性质，作出函数图像，数形结合，即可求解.
【详解】（1）函数的定义域为，，
令，解得，所以函数的单调递增区间是；
令，解得，所以函数的单调递减区间是
（2）由题意可得，
设切点坐标为，则切线斜率，
所以切线方程为，
将代入得．
因为存在三条切线，即方程有三个不等实数根，
方程有三个不等实数根等价于函数的图像有三个交点，
设，则，
当时，在上单调递增；
在和上，在和上单调递减，
，；
当或时，，时，，
当时，；当时，，
画出的图象如图，
要使函数的图像有三个交点，需，
即，即实数的取值范围.
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于根据过点可以作曲线的3条切线，求解参数的范围，解答时要利用导数的几何意义求出切线方程，即要使得方程有三个不等实数根，构造函数，转化为函数的图像的交点问题，利用导数判断函数性质，数形结合，即可求解.
五、不等式恒成立问题
1．（2024·湖南·一模）若不等式对恒成立，其中，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【优尖升-分析】先讨论的范围，当时，利用导数求最值，根据最小值大于等于0可得，然后将二元化一元，令，利用导数求最值可解.
【详解】令，即，
当时，由函数与的图象可知，两函数图象有一个交点，记为，
则当时，，即，不满足题意；
当时，令，则，
令，则，因为单调递增，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以时，有最小值，
又对恒成立，
所以，即，
所以，当且仅当时等号成立.
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，，
所以，即，当且仅当，时等号成立，
所以的取值范围为.
故选：A
【点睛】方法点睛：本题属于恒成立问题，难点在于将恒成立转化为最值问题，以及利用的不等关系将二元化一元，此处应注意保证任何时候都能取到等号.
2．（2024·山东菏泽·一模）关于的不等式恒成立，则的最小值为 ．
【答案】
【优尖升-分析】由，得，利用导数证明，则问题转化为恒成立，即可得解.
分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
3．（23-24高三上·山东临沂·期末）已知函数，若关于x的不等式（e是自然对数的底数）在R上恒成立，则a的取值范围 ．
【答案】
【优尖升-分析】
首先画出函数的图象，再利用数形结合，通过直线与的图象相切时的临界值，即可求解的取值范围.
【详解】在上恒成立，等价于的图象恒在直线的上方，
，两边平方后得，
所以的图象是以为圆心，半径为1，并且在轴的下半部分的半圆，
，，得，
当时，，函数在单调递减，
当时，，函数在单调递增，
当时，函数取得最小值，
如图，画出函数的图象：
直线恒过定点，当直线与相切时，
设切点，
，可得，由，解得：，
则切线的斜率为2，
当直线与，相切时，直线与半圆相切，由，解得：，
由图可知，的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是正确画出函数的图象，并会根据直线与曲线相切，求直线的斜率.
4．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数
(1)当时，求的单调区间；
(2)若恒成立，求的最小值.
【答案】(1)递增区间为，递减区间为
(2)
【优尖升-分析】（1）代入，直接求导然后确定单调性；
（2）先令求出的范围，然后证明当时等号成立即可，构造函数，求导，确定单调性求最值即可.
【详解】（1）当时，，，
令，得，令，得，
故的递增区间为，递减区间为；
（2）由，且恒成立，则，即，
结合目标式，令，则有（必要性探路），
下面验证等号成立条件，由，令，其图象如下，
要使上述不等式等号成立，只需在处的切线为的公切线，
而，则，结合，
所以时，等号成立；
下面证明当时不等式的等号成立.
令，，
令，
因为，且对称轴，
故时，，递增；时，，递减；
所以成立，故的最小值为.
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