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备战2025年高考数学压轴题训练专题13三角函数(全题型压轴题)(学生版+解析)
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这是一份备战2025年高考数学压轴题训练专题13三角函数(全题型压轴题)(学生版+解析)，共59页。
\l "_Tc32438" 二、函数的图象变换 PAGEREF _Tc32438 \h 3
\l "_Tc28995" 三、三角函数零点问题（解答题） PAGEREF _Tc28995 \h 4
\l "_Tc1469" 四、三角函数解答题综合 PAGEREF _Tc1469 \h 8
\l "_Tc9052" 五、三角函数与导数结合 PAGEREF _Tc9052 \h 11
一、三角函数的图象与性质
1．（2024·天津红桥·一模）将函数的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移单位，得到函数的部分图象（如图所示）．对于，，且，若，都有成立，则下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．在上单调递增
D．函数在的零点为，则
2．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上有个实数根，，，，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，它的两个相邻的极值点之间的距离为．若先将函数的图像向左平移个单位长度，再将其图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图像，则在上的零点个数为（ ）
A．4B．5C．6D．8
4．（多选）（23-24高一下·安徽·阶段练习）若函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，则下列四个命题正确的是（ ）
A．函数的单调递增区间是，
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．若当时，，则
D．若在上恰有3个零点，则
5．（多选）（23-24高一下·山东济宁·期中）已知函数，将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象上各点向左平移个单位长度，得到函数的图象，设函数，R则下列说法中正确的是（ ）
A．是函数的一个周期
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．当时，函数在R上的最大值为
D．若函数在上有4个零点，则
6．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上有5个实数根，，，，，则 ．
7．（23-24高一下·上海·期中）设若函数在区间内恰有7个零点，则的取值范围是 .
二、函数的图象变换
1．（23-24高三·全国·阶段练习）设函数在区间上单调，且，当时，取到最大值，若将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍得到函数的图象，则函数零点的个数为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三·湖南·阶段练习）将函数的图象向左平移（）个单位长度后得到函数的图象，若使成立的a、b有，则下列直线中可以是函数图象的对称轴的是
A．B．
C．D．
3．（2024·河南·模拟预测）已知函数对任意的，都有，且存在，，点为曲线的对称中心.若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 .
4．（23-24高三·河南·阶段练习）定义在上的偶函数满足，且，当时，.已知方程在区间上所有的实数根之和为.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 ， .
三、三角函数零点问题（解答题）
1．（23-24高一下·云南昭通·期末）已知的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)求的单调递减区间；
(3)若时，函数有两个零点，求实数的取值范围.
2．（23-24高一下·海南·期末）已知函数的最小正周期为.
(1)求在区间上的单调递减区间；
(2)将的图象先向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围.
3．（23-24高一下·四川成都·期末）已知函数，图象中相邻两条对称轴的距离为.
(1)求函数的解析式和在区间的单调递增区间；
(2)方程在上有2个不相等的实数根，求实数的取值范围.
4．（24-25高一·江苏·假期作业）已知向量，，若函数的最小正周期为．
(1)求的单调递增区间；
(2)若函数在有零点，求实数的取值范围．
5．（23-24高一下·浙江·期中）已知函数
(1)求函数的周期和对称轴方程；
(2)若将的图像上的所有点向右平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像．若方程在上的零点从小到大依次为，，，求的值；
(3)若方程在上的解为，求．
6．（23-24高一下·河北邢台·期中）已知向量，若函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若，求的最值及取得最值时的值；
(3)若函数在内有且只有一个零点，求实数的取值范围．
7．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）已知函数，若的最小正周期为．
(1)求的解析式；
(2)若函数在上有三个不同零点，，，且．
①求实数a取值范围；
②若，求实数a的取值范围．
四、三角函数解答题综合
1．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知函数的一个对称中心为．函数．
(1)当时，求的值域；
(2)若，使恒成立，求实数a的取值范围．
2．（23-24高一下·四川达州·期末）已知函数，其中，．
(1)当时，求的值域；
(2)若存在，使得成立，求t的取值范围．
3．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知向量，，函数，其中.
(1)若，，求函数的对称中心；
(2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（m，且），上恰好有8个零点，求的最小值；
(3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围.
4．（23-24高一下·四川达州·期中）已知向量，，其中，函数，且的图象上两条相邻对称轴的距离为．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的单调递增区间；
(3)若对，关于的不等式成立，求实数的取值范围．
5．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）函数的部分图象如图所示.
(2)，将的图象向右平移个单位后得到函数.若对任意的，都有，求实数的取值范围.
五、三角函数与导数结合
1．（23-24高二下·安徽合肥·期末）函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)已知函数，当函数的切线的斜率为负数时，求在轴上的截距的取值范围；
(3)设，若是函数在上的极值点，求证：.
2．（23-24高二下·安徽·期末）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)，若是的极小值点，求的取值范围.
3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数.
(1)求在区间内的极大值；
(2)令函数，当时，证明：在区间内有且仅有两个零点．
4．（23-24高二下·江西新余·期末）阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰伯努利（Jhann Bernulli，1667~1748）的儿子丹尼尔伯努利提出来的，大意如下：一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封，他把这封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉（Lenhard Euler，1707~1783）给出了解答：记都装错封信的情况为种，可以用全排列!减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公式：，其中.
阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处阶可导，则有：，注表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题：
(1)求出的值；
(2)估算的大小（保留小数点后2位），并给出用和表示的估计公式；
(3)求证：，其中.
5．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知函数
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)讨论在区间上的零点个数.
专题13 三角函数（全题型压轴题）
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc2503" 一、三角函数的图象与性质 PAGEREF _Tc2503 \h 1
\l "_Tc32438" 二、函数的图象变换 PAGEREF _Tc32438 \h 12
\l "_Tc28995" 三、三角函数零点问题（解答题） PAGEREF _Tc28995 \h 16
\l "_Tc1469" 四、三角函数解答题综合 PAGEREF _Tc1469 \h 30
\l "_Tc9052" 五、三角函数与导数结合 PAGEREF _Tc9052 \h 42
一、三角函数的图象与性质
1．（2024·天津红桥·一模）将函数的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移单位，得到函数的部分图象（如图所示）．对于，，且，若，都有成立，则下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．在上单调递增
D．函数在的零点为，则
【答案】C
函数在上有个零点，
则，，，，，
故，
所以，故D正确；
故选：C．
【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：
（1）将函数解析式变形为或的形式；
（2）将看成一个整体；
（3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.
2．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上有个实数根，，，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【优尖升-分析】首先根据函数的平移规则得到的解析式，画出函数图象，结合的对称性计算可得.
【详解】因为函数，将的图象向左平移个单位长度得到，
函数的对称轴为，对称中心为，且为偶函数，
又函数的图象是由的图象将轴下方的部分关于轴对称上去，轴及轴上方部分保持不变而得到，
所以的对称轴为，
又的图象是将的图象向上平移一个单位得到，
所以的图象如下所示：
因为关于的方程在上有个实数根，
即与在上有个交点，
又，，所以，
令与交点的横坐标从小到大依次为，
则关于对称，关于对称，关于对称，关于对称，
所以，
所以
.
故选：D
【点睛】方法点睛：函数零点问题，将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，它的两个相邻的极值点之间的距离为．若先将函数的图像向左平移个单位长度，再将其图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图像，则在上的零点个数为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【优尖升-分析】求出的解析式，将在上的零点个数转化为函数和的图象交点个数，画出图象求解.
由图可知在上单调递减，在上单调递增，且.
又，所以函数在上有6个零点.
故选：C.
［点睛］关键点睛：本题的关键是转化为三角函数与含绝对值的对数函数的图象交点个数问题来解决，对关键地方需要计算大小关系.
4．（多选）（23-24高一下·安徽·阶段练习）若函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，则下列四个命题正确的是（ ）
A．函数的单调递增区间是，
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．若当时，，则
D．若在上恰有3个零点，则
【答案】ACD
【优尖升-分析】根据图象求出的解析式，求出，根据三角函数的单调性求出单调递增区间判断A；代入验证是否为对称轴判断B；当时，利用周期得，结合图象得，求出的取值范围，判断C；根据图象变换求出，根据在上恰有3个零点，结合图象，得到取值范围，判断D.
【详解】的最小正周期为，由题图可得，所以，
，，得，又，所以，
所以，
对于A，，由，，
解得，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，当时，利用周期得，，结合函数图象，可知，
若，，解得，故C正确，
对于D，将的图象向右平移个单位长度后得到的图象,
再将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，得到的图象，
故.
当时，
因为在上恰有3个零点，所以，得号，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：函数中参数的确定：由函数的最值可确定的值；由函数与轴交点的横坐标及最高、最低点的横坐标可得最小正周期，进而可求得的值；由函数图象与轴交点的坐标或最高、最低点的坐标可得的值．函数的单调性利用换元法可解决.
5．（多选）（23-24高一下·山东济宁·期中）已知函数，将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象上各点向左平移个单位长度，得到函数的图象，设函数，R则下列说法中正确的是（ ）
A．是函数的一个周期
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．当时，函数在R上的最大值为
D．若函数在上有4个零点，则
【答案】BCD
【优尖升-分析】首先根据图象的平移伸缩变换得到函数的解析式，再根据选项逐一判断求解.
【详解】将函数图象上所以点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
得到的图象，
再将图象上各点向左平移个单位长度，
得到的图象，
所以.
A选项，由于，
所以不是的周期，故A错误；
B选项，由于
所以关于直线对称，因此B正确；
C选项，时，
所以当时，取最大值为，故C正确；
D选项，，
令，则
对称轴，
①若或，即或时，
在单调，最多只有一个零点，
此时不可能在有四个根，不符合题意，舍去；
②若，即时，
在先增后减，且，只需
，解得，
此时，，使得，
且有4个解，
所以D正确.
故选：BCD.
6．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上有5个实数根，，，，，则 ．
【答案】
【优尖升-分析】首先根据函数的平移规则得到的解析式，画出函数图象，结合的对称性计算可得.
【详解】因为函数，将的图象向左平移个单位长度得到，
函数的对称轴为，对称中心为，且为偶函数，
又函数的图象是由的图象将轴下方的部分关于轴对称上去，轴及轴上方部分保持不变而得到，
所以的对称轴为，
又的图象是将的图象向上平移一个单位得到，
所以的图象如下所示：
因为关于的方程在上有个实数根，
即与在上有个交点，
又，，所以，
令与交点的横坐标从小到大依次为，
则关于对称，关于对称，关于对称，关于对称，
所以，
所以
.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：函数零点问题，将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.
7．（23-24高一下·上海·期中）设若函数在区间内恰有7个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【优尖升-分析】先根据三角函数图象变换判断当时不成立，再分析当时，函数的零点个数分别为0，1，2时，根据三角函数的图象变换，讨论的零点个数即可.
【详解】由题意，当时，在内无零点，又不可能有7个零点，故当时不满足题意；
由基本不等式，
当且仅当，即时取等号，最小值为.
①当时，即时，无零点，则当时，
有7个零点，此时，
即，故零点分别为时取得.
故，解得；
②当，即时，有一个零点.
此时有6个零点，即，
即，故零点分别为时取得.
此时，解得.
又满足，故满足条件题意；
③当，即时，由对勾函数的性质可得在上有1个零点，又，则
1.当，即时，在上有1个零点，
故有2个零点，
此时有5个零点，即，
即，故零点分别为时取得.
此时，解得，综上有
2.当，即时，在上无零点，
故有1个零点，
此时有6个零点，即，不满足；
综上有或或.
故答案为：
二、函数的图象变换
1．（23-24高三·全国·阶段练习）设函数在区间上单调，且，当时，取到最大值，若将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍得到函数的图象，则函数零点的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【优尖升-分析】由已知可得，由得出对称中心及对称轴，得出，再得出的解析式，再有变换得出，再分别画出与图象，得出结论.
【详解】解：设，
，即，
又，
为的一条对称轴，
且，则为的一个对称中心，
由于，所以与为同一周期里相邻的对称轴和对称中心，
则，．
又，且，
解之得，．
故，由图象变换可得，．
因为在处的切线斜率为，在处切线斜率不存在，即切线方程为．
所以右侧图象较缓,如图所示，
同时时，，
所以的零点有个．
故选：D.
【点睛】本题主要考查正弦型函数的图象和性质及零点，转化为两个函数的图象的交点，属于难题.
2．（23-24高三·湖南·阶段练习）将函数的图象向左平移（）个单位长度后得到函数的图象，若使成立的a、b有，则下列直线中可以是函数图象的对称轴的是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据三角函数平移关系求出的解析式，结合成立的有，求出的关系，结合最小值建立方程求出的值即可.
【详解】解：将函数的图象向左平移（）个单位长度后得到函数的图象，
即，
若成立，
即，
即，
则与一个取最大值1，一个取最小值−1，
不妨设，
则，
得，
则，
∵，
∴当时，，
当时，，
，
则或，
即或（舍），
即，
由，
得，
当时，对称轴方程为.
故选：D.
【点睛】本题考查三角函数的图象平移，以及三角函数的图象和性质，结合三角函数的最值性建立方程关系求出的大小，结合最小值求出的值是解决本题的关键.考查分析问题解决问题的能力，有一定难度.
3．（2024·河南·模拟预测）已知函数对任意的，都有，且存在，，点为曲线的对称中心.若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 .
【答案】
【优尖升-分析】根据三角恒等变换得（其中为锐角且），再根据题意得，解得，再根据点为曲线的对称中心，得，从而求出解析式，之后再根据平移变换求解即可.
【详解】解：（其中为锐角且），
因为对任意，，恒有成立，且存在，，
所以，解得（负根舍去），
所以.
又因为点为曲线的对称中心，即，得.
因为，所以，
所以，
所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查三角恒等变换研究三角函数的性质，函数图像平移变换等问题，考查学生分析问题与解决问题的能力，是中档题.
4．（23-24高三·河南·阶段练习）定义在上的偶函数满足，且，当时，.已知方程在区间上所有的实数根之和为.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 ， .
【答案】 2 4
【解析】根据函数为偶函数且，所以的周期为，的实数根是函数和函数的图象的交点的横坐标，在平面直角坐标系中画出函数图象，根据函数的对称性可得所有实数根的和为，从而可得参数的值，最后求出函数的解析式，代入求值即可.
【详解】解：因为为偶函数且，所以的周期为.因为时，，所以可作出在区间上的图象，而方程的实数根是函数和函数的图象的交点的横坐标，结合函数和函数在区间上的简图，可知两个函数的图象在区间上有六个交点.由图象的对称性可知，此六个交点的横坐标之和为，所以，故.
因为，
所以.故.
故答案为：；
【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性的应用，函数方程思想，数形结合思想，属于难题.
三、三角函数零点问题（解答题）
1．（23-24高一下·云南昭通·期末）已知的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)求的单调递减区间；
(3)若时，函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【优尖升-分析】（1）根据函数图象先确定的值，再由和，解得，最后将点代入得，，解得，即；
（2）由得，，再结合的单调性即可求解；
（3）由得，，作出函数在上的图象，函数在上有两个零点，可以转化为与在上有两个交点，结合图象即可求解.
【详解】（1）由图可得，，解得，
又因为，所以，
因为的图象经过，所以，
所以，即，
又因为，所以，
故的解析式为：.
（2）当时，，
因为在和单调递减，
由，得，
由，得，
所以的单调递减区间是和.
（3）当时，，
因为在和上单调递增，在上单调递减，
由，得，
由，得，
由，得，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上的图象如图所示，
因为函数在上有两个零点，
所以与在上有两个交点，
所以，
所以实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用函数图象求出函数的解析式，结合正弦函数的单调性，求解单调区间，以及将零点个数问题转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合来求解.
2．（23-24高一下·海南·期末）已知函数的最小正周期为.
(1)求在区间上的单调递减区间；
(2)将的图象先向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)和
(2)
【优尖升-分析】（1）先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形结合周期可求出，再由结合可求得结果；
（2）利用三角函数图象变换规律求出，则方程转化为，令，则，再变形后，利用换元法可求出答案.
【详解】（1）
，
因为最小正周期为，所以，得，
所以，
由，得，
因为，所以当时，，当时，，
所以在区间上的单调递减区间为和；
（2）将的图象先向右平移个单位长度，得到，
再将图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得，
所以，
方程，
即为方程，
令，
因为，所以，所以，
因为，所以，
所以原方程化为，
所以，
令，则，，
因为在上递减，在上递增，
所以当时，，则，
因为当时，，当时，，所以，
所以实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查三角函数图象变换规律，考查求余弦函数的值域，第（2）问解题的关键是复利用多次换元将问题转化为求对勾函数在闭区间上的值域，考查计算能力和数学转化思想，属于较难题.
3．（23-24高一下·四川成都·期末）已知函数，图象中相邻两条对称轴的距离为.
(1)求函数的解析式和在区间的单调递增区间；
(2)方程在上有2个不相等的实数根，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【优尖升-分析】（1）利用三角恒等变换得到，然后根据题意得到周期，代入周期的计算公式可得，然后根据正弦函数单调增区间代入即可求解；
（2）用换元法，由（1）得，转化为关于的一元二次方程根分布问题即可求解.
【详解】（1）
因为图象中相邻两根对称轴的距离为，所以周期，所以，
又因为，所以，所以，
令，解得
所以的单调递增区间为，
当时，当时，
所以在区间的单调递增区间为；
（2）由（1），令，
由，可得，则，
由题意可知，关于的方程有两个不等的实根，
且与在上均有两个不等的实根，
因为的图象如图所示，故，
所以关于的方程在上有两个不等的实根，
令，则，即，
解得
故实数的取值范围.
【点睛】利用辅助角公式将函数化简，考查正弦函数性质的应用，以及函数与方程的综合问题，第二问解题的关键是通过换元将问题转化为二次方程有两个根，再利用根分布问题讨论即可求解，体现了转化的数学思想方法.
4．（24-25高一·江苏·假期作业）已知向量，，若函数的最小正周期为．
(1)求的单调递增区间；
(2)若函数在有零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【优尖升-分析】（1）利用两角和与差的三角函数化简函数解析式，求出函数的周期，得到，然后求得函数解析式；
（2）将函数在闭区间上有零点的问题，转化为关于变量的方程在上有解的问题来处理，需经几次换元，注意范围．
【详解】（1）由，，
可得
因为且函数的最小正周期为，则，解得，
所以，，
当时，单调递减，单调递增，
解得，
所以，函数的单调递增区间为．
（2）由（1）可得：
，，
，
由函数在有零点可知：
方程，
即在上有解，
因为，则，
设，
，
原方程化为，整理得，
方程等价于在,有解，设，
当时，方程化为，解得，故；
当时，在，上有解在,上有解，
问题转化为求函数在上的值域，
设，则，，，
设，则，，
当时，，
当时，，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
即的取值范围是，
由原方程在,上有实数解可得，解得或，
即．
【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查分类思想的应用，转化思想及计算能力，属难题．
5．（23-24高一下·浙江·期中）已知函数
(1)求函数的周期和对称轴方程；
(2)若将的图像上的所有点向右平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像．若方程在上的零点从小到大依次为，，，求的值；
(3)若方程在上的解为，求．
【答案】(1)，对称轴方程，
(2)
(3)
【优尖升-分析】（1）先利用诱导公式及辅助角公式化一，再根据正弦函数的周期性和对称性求解即可；
（2）先根据平移变换和周期变换的原则求出函数的解析式，再根据正弦函数的性质求解即可；
（3）由题意可得为方程在上的两解，不妨设，求出，再根据二倍角的余弦公式即可得解.
【详解】（1），
，
令，得
∴对称轴方程；
（2）由题意可得，
由方程由，可得，
因为，则，
令，则，所以，，
设，
直线与函数在上的图象有四个交点，
点、关于直线对称，点、关于直线对称，
点、关于直线对称，
所以，，，即，
即，解得；
（3）方程在上的解为，
∴为方程在上的两解，不妨设，
当时，，
，，，，
，，，，
，，
，，
∴．
【点睛】方法点睛：给值求值的方法：
（1）直接法：当已知两个角时，所求角一般表示为两个角的和或差的形式；
（2）常值代换：用某些三角函数代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，我们把这种代换称之为常值代换，其中要特别注意的是“”的代换，如，，等，、、、、等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用；
（3）角的代换：将未知角利用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的方法就是角的代换，常见的有：
，，，
，，
，等.
6．（23-24高一下·河北邢台·期中）已知向量，若函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若，求的最值及取得最值时的值；
(3)若函数在内有且只有一个零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)最小值为－1，此时；最大值为2，此时
(3)
【优尖升-分析】（1）根据向量数量积运算公式和三角恒等变换可求出的解析式，再根据正弦型函数周期公式即可计算周期.
（2）根据给定区间求已知函数的最值，可采用换元法等价变换为简单的正弦函数，先判断单调性，进而求出最值和相应的x值.
（3）函数在内有且只有一个零点，等价于其对应的方程在给定区间内只有一个根，进而转化为两个函数在给定区间内只有一个交点的问题，数形结合，即可求出参数的值.
【详解】（1）因为函数
，
所以函数的最小正周期为.
（2）由（1）知，
因为，所以，令，
则在区间上单调递减，在区间单调递增，
所以当，即时，
函数有最小值，最小值为；
当，即时，
函数有最大值，最大值为；
综上，的最小值为－1，此时；最大值为2，此时．
（3）因为函数在内有且只有一个零点，
所以在内有且只有一个实根，
得，即，
即函数在上的图象与直线只有一个交点，
当时，，
画出在上的图象如下，
结合函数图象可知，函数在区间上的图象与直线只有一个交点时，
所以，即的取值范围是．
7．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）已知函数，若的最小正周期为．
(1)求的解析式；
(2)若函数在上有三个不同零点，，，且．
①求实数a取值范围；
②若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)①；②．
【优尖升-分析】（1）根据辅助角公式化简即可.
（2）根据函数零点与二次函数的性质得到关于的方程，再利用韦达定理、三角函数的性质求解即可.
【详解】（1），
因为的最小正周期为，所以，即，
所以．
（2）①由（1）知，
由，可得，
令，则，，
若函数在有三个零点，
即在有三个不相等的实数根，
也就是关于t的方程在区间有一个实根，另一个实根在上，
或一个实根是1，另一个实根在，当一个根在，另一个实根在，
所以，即，解得：，
当一个根为0时，即，所以，此时方程为，所以，不合题意；
当一个根是，即，解得，
此时方程为，所以，不合题意；
当一个根是1，另一个实根在，
由得，此时方程为，解得或，
这两个根都不属于，不合题意，综上a的取值范围是．
②设，为方程的两个不相等的实数根，则，
由①知，，，所以，
即，，
所以，即，
由得，所以，
因为，，
所以，
所以，
所以，
又，且，所以，
所以，整理得，
因为，所以，
解得或，
又，所以．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用换元法，将其转化为二次函数根的分布问题，结合韦达定理从而得到相关不等式组，解出即可.
四、三角函数解答题综合
1．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知函数的一个对称中心为．函数．
(1)当时，求的值域；
(2)若，使恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【优尖升-分析】（1）根据定义域结合三角函数性质求出函数值域；
（2）先应用换元法得出复合函数的最值，恒成立问题转化得出参数.
【详解】（1）∵的对称中心为，,
∴，即，
∵，∴，此时．
（2），
∵，∴，设，，
则有的函数图象开口向下，对称轴为的抛物线，
当时，在区间上单调递增，∴，
∴，解得，∴；
当时，在区间上单调递减，
∴，∴，
解得，故；
当时，，
故，解得，∴，
综上所述，实数a的取值范围为．
2．（23-24高一下·四川达州·期末）已知函数，其中，．
(1)当时，求的值域；
(2)若存在，使得成立，求t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【优尖升-分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及二倍角公式、辅助角公式将函数化简，再根据x的取值范围求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）将所求问题进行等价转化为，当，再对t进行分类讨论并根据正弦函数的性质计算最大值即可.
【详解】（1）由题意得，
，
又因为，所以，由正弦函数性质可知，
，即，
所以的值域为.
（2）若，使得成立，
则等价于时，即可.
①由（1）可知，，
因为，所以，
当时，即时，此时，
所以，即，
根据正弦函数的性质可得，，解得，
所以.
②当时，即时，显然成立.
综上得，，
所以的取值范围是.
3．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知向量，，函数，其中.
(1)若，，求函数的对称中心；
(2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（m，且），上恰好有8个零点，求的最小值；
(3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【优尖升-分析】（1）利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，可得，整体代入法求的对称中心；
（2）由图象平移变换得到函数，结合和，得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值；
（3）根据已知，在上，的值域是值域的子集，求出这两个值域，由包含关
（3）由（2）知，，
设在上的值域为，在上的值域为，
若对任意，存在，使得成立，则，
当， ，，则，
当，，，则，
由可得，又，解得，
所以实数a的取值范围为.
【点睛】方法点睛：
1. 若在上恰好有8个零点，要使最小，则需要恰好为的零点；
2. ，存在，使得，则在定义区间内的值域是值域的子集.
4．（23-24高一下·四川达州·期中）已知向量，，其中，函数，且的图象上两条相邻对称轴的距离为．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的单调递增区间；
(3)若对，关于的不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【优尖升-分析】（1）利用向量数量积的坐标公式和三角恒等变换将其化成正弦型函数，依题求出即得；
（2）先求出函数在R上的单调递增区间，再与给定区间求交即得；
【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦型函数的性质应用，属于难题.解决此类题的关键是，根据解析式特点进行三角恒等变换，将其化成正弦型函数，结合正弦函数的图象解决问题；对于恒成立问题，常常寻求参变分离法，将不等式恒成立问题转化为求对应函数的的值域.
5．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)函数的图象与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为且，求的值；
(3)函数，若对于任意，当时，都有成立，求实数的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【优尖升-分析】（1）根据函数图象可得及周期，即可求得，再利用待定系数法求出即可；
（2），令，由题意可得，再根据正弦函数的对称性求出即可得解；
（3）先求出，令，由题意可得函数在上单调递增，再根据正弦函数的单调性求解即可.
【详解】（1）由图象可知则，
则，
又，所以，
所以，
又，所以，
所以的解析式为；
（2），令，
所以的最大值为.
【点睛】方法点睛：根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法：
（1）求、，；
（2）求出函数的最小正周期，进而得出；
（3）取特殊点代入函数可求得的值.
6．（23-24高一下·上海·期中）已知 ，其中.
(1)若对任意的恒成立，且，求的值：
(2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值；
(3)已知函数（），在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【优尖升-分析】（1）由题意可知与是相邻的最小值点和最大值点，从而可求出函数的最小正周期，再利用周期公式可求出；
（2）根据三角函数图象变换规律得到，结合和求得，根据的零点个数得，则要使最小，则恰好是的零点，从而可求出的最小值；
（3）根据题意可得的值域是值域的子集，求出这两个值域，列不等式组可求得结果.
【详解】（1）函数，
因为对任意的恒成立，且，
所以与是相邻的最小值点和最大值点，
所以的最小正周期为，
所以，得；
（2）由题意可得，
因为是的一个零点，
所以，
所以，
所以，或，
得或，
因为，所以，
所以，
所以的最小正周期为，
令，则，
所以或，
得或，
因为函数在（，且）上恰好有8个零点，
所以,
要使最小，则恰好是的零点，
所以的最小值为；
（3）由（2）知，
设在上的值域为，在上的值域为，
因为对任意，存在，使得成立，
所以，
当时，，所以，
所以，所以，
当时，，所以，
所以，所以,
因为，所以，解得，
所以实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查利用正弦函数的性质求函数的解析式，考查三角函数图象变换规律，考查求三角函数的值域，第（3）问解题的关键是利用三角函数的性质求出两函数的值域，然后将问题转化为两个函数值域的包含关系，考查计算能力和数学转化思想，属于较难题.
7．（23-24高一下·广东河源·期中）已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)，将的图象向右平移个单位后得到函数.若对任意的，都有，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【优尖升-分析】（1）由已知可得，求解可得不等式的解集；
（2）求得，因为对任意的，都有成立，可得，由，令，可得，分类讨论可求得实数的取值范围.
【详解】（1）因为，
所以，
解得：，
所以，
所以不等式的解集为.
（2）由题意可得，
因为，所以，
所以.
又因为对任意的，都有成立，
所以，
，
因为，所以，
设，可设，
则的图象为开口向下，对称轴为的抛物线，
当时，在上单调递增，
所以，所以，解得，所以
当时，在上单调递减，
所以，所以，解得，故；
当时，，
故，解得，所以，
综上所述：实数的取值范围为.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，若总有成立，故.
五、三角函数与导数结合
1．（23-24高二下·安徽合肥·期末）函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)已知函数，当函数的切线的斜率为负数时，求在轴上的截距的取值范围；
(3)设，若是函数在上的极值点，求证：.
【答案】(1)在单调递增，在和单调递减
(2)
(3)证明见解析
【优尖升-分析】（1）求导，即可根据导函数的正负求解函数的单调性，
（2）利用点斜式求解切线方程，即可，得，根据斜率为负可得或，即可利用对勾函数的性质求解，
（3）求导，判断函数的单调性，即可确定时取极大值，代入即可求证.
【详解】（1）的定义域为
令得.
令，可得或,
所以在单调递增，在和单调递减.
（2）因为，所以
设切点坐标为，则切线方程为
因为曲线的切线的斜率为负数，所以，解得或.
在切线方程中，令，得，
解得
令，则或，
由对勾函数的性质可知：当时，，当且仅当时取等号，
当时，单调递增，此时
可得.
即在轴上的截距的取值范围为.
（3）因为.则
当时，.故在上单调递减.
当时，令
则
由于，，则，故
所以在上单调递减，因为，
所以在上有唯一零点.即在上有唯一零点
当时，，即，
当时，，即，所以时取极大值.
所以，
即得证.
【点睛】方法点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及函数问题的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.
2．（23-24高二下·安徽·期末）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)，若是的极小值点，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【优尖升-分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）求出函数的导函数，令，再分、两种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可得解.
【详解】（1）函数的定义域为，
又，
对于函数，
当，即时恒成立，
当，即，则对称轴为，开口向下，
且当时，则与轴有两个交点，且交点的横坐标均大于；
①当时，，在上单调递减；
②当时，令得，，则，
所以当时，当时，当时，
在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
综上可得：当时在上单调递减；
当时在上单调递减，
在上单调递增，
在上单调递减.
（2）由题意知，，
，，
令，则，，
①若，因为当时，，均单调递增，
所以在上单调递增，
当时，，
又因为，因此存在，使得，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增.
又因为，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意.
②若，当时，
，
所以在上单调递减，，
在上单调递增，因此不可能是的极小值点.
综上，当是的极小值点时，的取值范围为.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数.
(1)求在区间内的极大值；
(2)令函数，当时，证明：在区间内有且仅有两个零点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【优尖升-分析】（1）利用导数研究函数的单调性，求解极大值.
（2）由可构造，讨论单调性和极值，证明零点个数的结论.
【详解】（1）由题得，
当时，，当时，，
则在区间内单调递增，在区间内单调递减，
所以在区间内的极大值为．
（2），
设，，则，
令，则 ()，所以在区间内单调递减．
又，，故存在，使得，
当时，，即，在区间内单调递增；
当时，，即，在区间内单调递减．
又，，因为，所以，
所以在区间，内各有一个零点，
即在区间内有且仅有两个零点．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
4．（23-24高二下·江西新余·期末）阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰伯努利（Jhann Bernulli，1667~1748）的儿子丹尼尔伯努利提出来的，大意如下：一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封，他把这封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉（Lenhard Euler，1707~1783）给出了解答：记都装错封信的情况为种，可以用全排列!减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公式：，其中.
阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处阶可导，则有：，注表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题：
(1)求出的值；
(2)估算的大小（保留小数点后2位），并给出用和表示的估计公式；
(3)求证：，其中.
【答案】(1)1，2，9；
，即.
又时，
令，当，有，
则，命题得证.
【点睛】本题第三问关键是能根据麦克劳林公式得到当时，得到，再令，裂项证明.
5．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知函数
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)讨论在区间上的零点个数.
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【优尖升-分析】（1）依据给定条件求出切点，利用导数的几何意义得到斜率，求出切线方程即可.
（2）利用分离参数法结合导数求解取值范围即可.
（3）对参数范围分类讨论，结合零点存在性定理求解零点个数即可.
【详解】（1）当时，，其定义域为，，
，，函数的切点坐标为，切线斜率为，
因此，函数在处的切线方程为，即．
（2）在时恒成立，
则在上恒成立，
设，则，
设，则，当时，
故在上单调递增，所以；
故当时，，当时，
故当时，单调递减，当时，单调递增，
故；
所以，即，
（3）因为，所以
而当时，，此时若，
则恒成立，在上单调递增，
又，所以只有一个零点;
当时，且令,
故恒成立，可得单调递增，
，
当时，，故单调递增，
而，因此只有一个零点，
当时，，而，
故，可得使得
并且当时，令，可得单调递减，
当时，令，可得单调递增，
若时，在上无零点，
又，所以在上只有一个唯一零点，
时，在上有两个零点
综上所述，当或时，在上有唯一的零点；
当时，在上有两个零点．
【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是求解出含参函数的导数，然后对参数范围合理讨论，结合零点存在性定理得到所要求的不同情况零点个数即可．
\l "_Tc32438" 二、函数的图象变换 PAGEREF _Tc32438 \h 3
\l "_Tc28995" 三、三角函数零点问题（解答题） PAGEREF _Tc28995 \h 4
\l "_Tc1469" 四、三角函数解答题综合 PAGEREF _Tc1469 \h 8
\l "_Tc9052" 五、三角函数与导数结合 PAGEREF _Tc9052 \h 11
一、三角函数的图象与性质
1．（2024·天津红桥·一模）将函数的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移单位，得到函数的部分图象（如图所示）．对于，，且，若，都有成立，则下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．在上单调递增
D．函数在的零点为，则
2．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上有个实数根，，，，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，它的两个相邻的极值点之间的距离为．若先将函数的图像向左平移个单位长度，再将其图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图像，则在上的零点个数为（ ）
A．4B．5C．6D．8
4．（多选）（23-24高一下·安徽·阶段练习）若函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，则下列四个命题正确的是（ ）
A．函数的单调递增区间是，
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．若当时，，则
D．若在上恰有3个零点，则
5．（多选）（23-24高一下·山东济宁·期中）已知函数，将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象上各点向左平移个单位长度，得到函数的图象，设函数，R则下列说法中正确的是（ ）
A．是函数的一个周期
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．当时，函数在R上的最大值为
D．若函数在上有4个零点，则
6．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上有5个实数根，，，，，则 ．
7．（23-24高一下·上海·期中）设若函数在区间内恰有7个零点，则的取值范围是 .
二、函数的图象变换
1．（23-24高三·全国·阶段练习）设函数在区间上单调，且，当时，取到最大值，若将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍得到函数的图象，则函数零点的个数为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三·湖南·阶段练习）将函数的图象向左平移（）个单位长度后得到函数的图象，若使成立的a、b有，则下列直线中可以是函数图象的对称轴的是
A．B．
C．D．
3．（2024·河南·模拟预测）已知函数对任意的，都有，且存在，，点为曲线的对称中心.若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 .
4．（23-24高三·河南·阶段练习）定义在上的偶函数满足，且，当时，.已知方程在区间上所有的实数根之和为.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 ， .
三、三角函数零点问题（解答题）
1．（23-24高一下·云南昭通·期末）已知的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)求的单调递减区间；
(3)若时，函数有两个零点，求实数的取值范围.
2．（23-24高一下·海南·期末）已知函数的最小正周期为.
(1)求在区间上的单调递减区间；
(2)将的图象先向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围.
3．（23-24高一下·四川成都·期末）已知函数，图象中相邻两条对称轴的距离为.
(1)求函数的解析式和在区间的单调递增区间；
(2)方程在上有2个不相等的实数根，求实数的取值范围.
4．（24-25高一·江苏·假期作业）已知向量，，若函数的最小正周期为．
(1)求的单调递增区间；
(2)若函数在有零点，求实数的取值范围．
5．（23-24高一下·浙江·期中）已知函数
(1)求函数的周期和对称轴方程；
(2)若将的图像上的所有点向右平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像．若方程在上的零点从小到大依次为，，，求的值；
(3)若方程在上的解为，求．
6．（23-24高一下·河北邢台·期中）已知向量，若函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若，求的最值及取得最值时的值；
(3)若函数在内有且只有一个零点，求实数的取值范围．
7．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）已知函数，若的最小正周期为．
(1)求的解析式；
(2)若函数在上有三个不同零点，，，且．
①求实数a取值范围；
②若，求实数a的取值范围．
四、三角函数解答题综合
1．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知函数的一个对称中心为．函数．
(1)当时，求的值域；
(2)若，使恒成立，求实数a的取值范围．
2．（23-24高一下·四川达州·期末）已知函数，其中，．
(1)当时，求的值域；
(2)若存在，使得成立，求t的取值范围．
3．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知向量，，函数，其中.
(1)若，，求函数的对称中心；
(2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（m，且），上恰好有8个零点，求的最小值；
(3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围.
4．（23-24高一下·四川达州·期中）已知向量，，其中，函数，且的图象上两条相邻对称轴的距离为．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的单调递增区间；
(3)若对，关于的不等式成立，求实数的取值范围．
5．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）函数的部分图象如图所示.
(2)，将的图象向右平移个单位后得到函数.若对任意的，都有，求实数的取值范围.
五、三角函数与导数结合
1．（23-24高二下·安徽合肥·期末）函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)已知函数，当函数的切线的斜率为负数时，求在轴上的截距的取值范围；
(3)设，若是函数在上的极值点，求证：.
2．（23-24高二下·安徽·期末）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)，若是的极小值点，求的取值范围.
3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数.
(1)求在区间内的极大值；
(2)令函数，当时，证明：在区间内有且仅有两个零点．
4．（23-24高二下·江西新余·期末）阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰伯努利（Jhann Bernulli，1667~1748）的儿子丹尼尔伯努利提出来的，大意如下：一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封，他把这封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉（Lenhard Euler，1707~1783）给出了解答：记都装错封信的情况为种，可以用全排列!减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公式：，其中.
阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处阶可导，则有：，注表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题：
(1)求出的值；
(2)估算的大小（保留小数点后2位），并给出用和表示的估计公式；
(3)求证：，其中.
5．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知函数
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)讨论在区间上的零点个数.
专题13 三角函数（全题型压轴题）
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc2503" 一、三角函数的图象与性质 PAGEREF _Tc2503 \h 1
\l "_Tc32438" 二、函数的图象变换 PAGEREF _Tc32438 \h 12
\l "_Tc28995" 三、三角函数零点问题（解答题） PAGEREF _Tc28995 \h 16
\l "_Tc1469" 四、三角函数解答题综合 PAGEREF _Tc1469 \h 30
\l "_Tc9052" 五、三角函数与导数结合 PAGEREF _Tc9052 \h 42
一、三角函数的图象与性质
1．（2024·天津红桥·一模）将函数的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移单位，得到函数的部分图象（如图所示）．对于，，且，若，都有成立，则下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．在上单调递增
D．函数在的零点为，则
【答案】C
函数在上有个零点，
则，，，，，
故，
所以，故D正确；
故选：C．
【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：
（1）将函数解析式变形为或的形式；
（2）将看成一个整体；
（3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.
2．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上有个实数根，，，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【优尖升-分析】首先根据函数的平移规则得到的解析式，画出函数图象，结合的对称性计算可得.
【详解】因为函数，将的图象向左平移个单位长度得到，
函数的对称轴为，对称中心为，且为偶函数，
又函数的图象是由的图象将轴下方的部分关于轴对称上去，轴及轴上方部分保持不变而得到，
所以的对称轴为，
又的图象是将的图象向上平移一个单位得到，
所以的图象如下所示：
因为关于的方程在上有个实数根，
即与在上有个交点，
又，，所以，
令与交点的横坐标从小到大依次为，
则关于对称，关于对称，关于对称，关于对称，
所以，
所以
.
故选：D
【点睛】方法点睛：函数零点问题，将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，它的两个相邻的极值点之间的距离为．若先将函数的图像向左平移个单位长度，再将其图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图像，则在上的零点个数为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【优尖升-分析】求出的解析式，将在上的零点个数转化为函数和的图象交点个数，画出图象求解.
由图可知在上单调递减，在上单调递增，且.
又，所以函数在上有6个零点.
故选：C.
［点睛］关键点睛：本题的关键是转化为三角函数与含绝对值的对数函数的图象交点个数问题来解决，对关键地方需要计算大小关系.
4．（多选）（23-24高一下·安徽·阶段练习）若函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，则下列四个命题正确的是（ ）
A．函数的单调递增区间是，
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．若当时，，则
D．若在上恰有3个零点，则
【答案】ACD
【优尖升-分析】根据图象求出的解析式，求出，根据三角函数的单调性求出单调递增区间判断A；代入验证是否为对称轴判断B；当时，利用周期得，结合图象得，求出的取值范围，判断C；根据图象变换求出，根据在上恰有3个零点，结合图象，得到取值范围，判断D.
【详解】的最小正周期为，由题图可得，所以，
，，得，又，所以，
所以，
对于A，，由，，
解得，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，当时，利用周期得，，结合函数图象，可知，
若，，解得，故C正确，
对于D，将的图象向右平移个单位长度后得到的图象,
再将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，得到的图象，
故.
当时，
因为在上恰有3个零点，所以，得号，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：函数中参数的确定：由函数的最值可确定的值；由函数与轴交点的横坐标及最高、最低点的横坐标可得最小正周期，进而可求得的值；由函数图象与轴交点的坐标或最高、最低点的坐标可得的值．函数的单调性利用换元法可解决.
5．（多选）（23-24高一下·山东济宁·期中）已知函数，将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象上各点向左平移个单位长度，得到函数的图象，设函数，R则下列说法中正确的是（ ）
A．是函数的一个周期
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．当时，函数在R上的最大值为
D．若函数在上有4个零点，则
【答案】BCD
【优尖升-分析】首先根据图象的平移伸缩变换得到函数的解析式，再根据选项逐一判断求解.
【详解】将函数图象上所以点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
得到的图象，
再将图象上各点向左平移个单位长度，
得到的图象，
所以.
A选项，由于，
所以不是的周期，故A错误；
B选项，由于
所以关于直线对称，因此B正确；
C选项，时，
所以当时，取最大值为，故C正确；
D选项，，
令，则
对称轴，
①若或，即或时，
在单调，最多只有一个零点，
此时不可能在有四个根，不符合题意，舍去；
②若，即时，
在先增后减，且，只需
，解得，
此时，，使得，
且有4个解，
所以D正确.
故选：BCD.
6．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上有5个实数根，，，，，则 ．
【答案】
【优尖升-分析】首先根据函数的平移规则得到的解析式，画出函数图象，结合的对称性计算可得.
【详解】因为函数，将的图象向左平移个单位长度得到，
函数的对称轴为，对称中心为，且为偶函数，
又函数的图象是由的图象将轴下方的部分关于轴对称上去，轴及轴上方部分保持不变而得到，
所以的对称轴为，
又的图象是将的图象向上平移一个单位得到，
所以的图象如下所示：
因为关于的方程在上有个实数根，
即与在上有个交点，
又，，所以，
令与交点的横坐标从小到大依次为，
则关于对称，关于对称，关于对称，关于对称，
所以，
所以
.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：函数零点问题，将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.
7．（23-24高一下·上海·期中）设若函数在区间内恰有7个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【优尖升-分析】先根据三角函数图象变换判断当时不成立，再分析当时，函数的零点个数分别为0，1，2时，根据三角函数的图象变换，讨论的零点个数即可.
【详解】由题意，当时，在内无零点，又不可能有7个零点，故当时不满足题意；
由基本不等式，
当且仅当，即时取等号，最小值为.
①当时，即时，无零点，则当时，
有7个零点，此时，
即，故零点分别为时取得.
故，解得；
②当，即时，有一个零点.
此时有6个零点，即，
即，故零点分别为时取得.
此时，解得.
又满足，故满足条件题意；
③当，即时，由对勾函数的性质可得在上有1个零点，又，则
1.当，即时，在上有1个零点，
故有2个零点，
此时有5个零点，即，
即，故零点分别为时取得.
此时，解得，综上有
2.当，即时，在上无零点，
故有1个零点，
此时有6个零点，即，不满足；
综上有或或.
故答案为：
二、函数的图象变换
1．（23-24高三·全国·阶段练习）设函数在区间上单调，且，当时，取到最大值，若将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍得到函数的图象，则函数零点的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【优尖升-分析】由已知可得，由得出对称中心及对称轴，得出，再得出的解析式，再有变换得出，再分别画出与图象，得出结论.
【详解】解：设，
，即，
又，
为的一条对称轴，
且，则为的一个对称中心，
由于，所以与为同一周期里相邻的对称轴和对称中心，
则，．
又，且，
解之得，．
故，由图象变换可得，．
因为在处的切线斜率为，在处切线斜率不存在，即切线方程为．
所以右侧图象较缓,如图所示，
同时时，，
所以的零点有个．
故选：D.
【点睛】本题主要考查正弦型函数的图象和性质及零点，转化为两个函数的图象的交点，属于难题.
2．（23-24高三·湖南·阶段练习）将函数的图象向左平移（）个单位长度后得到函数的图象，若使成立的a、b有，则下列直线中可以是函数图象的对称轴的是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据三角函数平移关系求出的解析式，结合成立的有，求出的关系，结合最小值建立方程求出的值即可.
【详解】解：将函数的图象向左平移（）个单位长度后得到函数的图象，
即，
若成立，
即，
即，
则与一个取最大值1，一个取最小值−1，
不妨设，
则，
得，
则，
∵，
∴当时，，
当时，，
，
则或，
即或（舍），
即，
由，
得，
当时，对称轴方程为.
故选：D.
【点睛】本题考查三角函数的图象平移，以及三角函数的图象和性质，结合三角函数的最值性建立方程关系求出的大小，结合最小值求出的值是解决本题的关键.考查分析问题解决问题的能力，有一定难度.
3．（2024·河南·模拟预测）已知函数对任意的，都有，且存在，，点为曲线的对称中心.若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 .
【答案】
【优尖升-分析】根据三角恒等变换得（其中为锐角且），再根据题意得，解得，再根据点为曲线的对称中心，得，从而求出解析式，之后再根据平移变换求解即可.
【详解】解：（其中为锐角且），
因为对任意，，恒有成立，且存在，，
所以，解得（负根舍去），
所以.
又因为点为曲线的对称中心，即，得.
因为，所以，
所以，
所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查三角恒等变换研究三角函数的性质，函数图像平移变换等问题，考查学生分析问题与解决问题的能力，是中档题.
4．（23-24高三·河南·阶段练习）定义在上的偶函数满足，且，当时，.已知方程在区间上所有的实数根之和为.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 ， .
【答案】 2 4
【解析】根据函数为偶函数且，所以的周期为，的实数根是函数和函数的图象的交点的横坐标，在平面直角坐标系中画出函数图象，根据函数的对称性可得所有实数根的和为，从而可得参数的值，最后求出函数的解析式，代入求值即可.
【详解】解：因为为偶函数且，所以的周期为.因为时，，所以可作出在区间上的图象，而方程的实数根是函数和函数的图象的交点的横坐标，结合函数和函数在区间上的简图，可知两个函数的图象在区间上有六个交点.由图象的对称性可知，此六个交点的横坐标之和为，所以，故.
因为，
所以.故.
故答案为：；
【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性的应用，函数方程思想，数形结合思想，属于难题.
三、三角函数零点问题（解答题）
1．（23-24高一下·云南昭通·期末）已知的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)求的单调递减区间；
(3)若时，函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【优尖升-分析】（1）根据函数图象先确定的值，再由和，解得，最后将点代入得，，解得，即；
（2）由得，，再结合的单调性即可求解；
（3）由得，，作出函数在上的图象，函数在上有两个零点，可以转化为与在上有两个交点，结合图象即可求解.
【详解】（1）由图可得，，解得，
又因为，所以，
因为的图象经过，所以，
所以，即，
又因为，所以，
故的解析式为：.
（2）当时，，
因为在和单调递减，
由，得，
由，得，
所以的单调递减区间是和.
（3）当时，，
因为在和上单调递增，在上单调递减，
由，得，
由，得，
由，得，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上的图象如图所示，
因为函数在上有两个零点，
所以与在上有两个交点，
所以，
所以实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用函数图象求出函数的解析式，结合正弦函数的单调性，求解单调区间，以及将零点个数问题转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合来求解.
2．（23-24高一下·海南·期末）已知函数的最小正周期为.
(1)求在区间上的单调递减区间；
(2)将的图象先向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)和
(2)
【优尖升-分析】（1）先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形结合周期可求出，再由结合可求得结果；
（2）利用三角函数图象变换规律求出，则方程转化为，令，则，再变形后，利用换元法可求出答案.
【详解】（1）
，
因为最小正周期为，所以，得，
所以，
由，得，
因为，所以当时，，当时，，
所以在区间上的单调递减区间为和；
（2）将的图象先向右平移个单位长度，得到，
再将图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得，
所以，
方程，
即为方程，
令，
因为，所以，所以，
因为，所以，
所以原方程化为，
所以，
令，则，，
因为在上递减，在上递增，
所以当时，，则，
因为当时，，当时，，所以，
所以实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查三角函数图象变换规律，考查求余弦函数的值域，第（2）问解题的关键是复利用多次换元将问题转化为求对勾函数在闭区间上的值域，考查计算能力和数学转化思想，属于较难题.
3．（23-24高一下·四川成都·期末）已知函数，图象中相邻两条对称轴的距离为.
(1)求函数的解析式和在区间的单调递增区间；
(2)方程在上有2个不相等的实数根，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【优尖升-分析】（1）利用三角恒等变换得到，然后根据题意得到周期，代入周期的计算公式可得，然后根据正弦函数单调增区间代入即可求解；
（2）用换元法，由（1）得，转化为关于的一元二次方程根分布问题即可求解.
【详解】（1）
因为图象中相邻两根对称轴的距离为，所以周期，所以，
又因为，所以，所以，
令，解得
所以的单调递增区间为，
当时，当时，
所以在区间的单调递增区间为；
（2）由（1），令，
由，可得，则，
由题意可知，关于的方程有两个不等的实根，
且与在上均有两个不等的实根，
因为的图象如图所示，故，
所以关于的方程在上有两个不等的实根，
令，则，即，
解得
故实数的取值范围.
【点睛】利用辅助角公式将函数化简，考查正弦函数性质的应用，以及函数与方程的综合问题，第二问解题的关键是通过换元将问题转化为二次方程有两个根，再利用根分布问题讨论即可求解，体现了转化的数学思想方法.
4．（24-25高一·江苏·假期作业）已知向量，，若函数的最小正周期为．
(1)求的单调递增区间；
(2)若函数在有零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【优尖升-分析】（1）利用两角和与差的三角函数化简函数解析式，求出函数的周期，得到，然后求得函数解析式；
（2）将函数在闭区间上有零点的问题，转化为关于变量的方程在上有解的问题来处理，需经几次换元，注意范围．
【详解】（1）由，，
可得
因为且函数的最小正周期为，则，解得，
所以，，
当时，单调递减，单调递增，
解得，
所以，函数的单调递增区间为．
（2）由（1）可得：
，，
，
由函数在有零点可知：
方程，
即在上有解，
因为，则，
设，
，
原方程化为，整理得，
方程等价于在,有解，设，
当时，方程化为，解得，故；
当时，在，上有解在,上有解，
问题转化为求函数在上的值域，
设，则，，，
设，则，，
当时，，
当时，，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
即的取值范围是，
由原方程在,上有实数解可得，解得或，
即．
【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查分类思想的应用，转化思想及计算能力，属难题．
5．（23-24高一下·浙江·期中）已知函数
(1)求函数的周期和对称轴方程；
(2)若将的图像上的所有点向右平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像．若方程在上的零点从小到大依次为，，，求的值；
(3)若方程在上的解为，求．
【答案】(1)，对称轴方程，
(2)
(3)
【优尖升-分析】（1）先利用诱导公式及辅助角公式化一，再根据正弦函数的周期性和对称性求解即可；
（2）先根据平移变换和周期变换的原则求出函数的解析式，再根据正弦函数的性质求解即可；
（3）由题意可得为方程在上的两解，不妨设，求出，再根据二倍角的余弦公式即可得解.
【详解】（1），
，
令，得
∴对称轴方程；
（2）由题意可得，
由方程由，可得，
因为，则，
令，则，所以，，
设，
直线与函数在上的图象有四个交点，
点、关于直线对称，点、关于直线对称，
点、关于直线对称，
所以，，，即，
即，解得；
（3）方程在上的解为，
∴为方程在上的两解，不妨设，
当时，，
，，，，
，，，，
，，
，，
∴．
【点睛】方法点睛：给值求值的方法：
（1）直接法：当已知两个角时，所求角一般表示为两个角的和或差的形式；
（2）常值代换：用某些三角函数代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，我们把这种代换称之为常值代换，其中要特别注意的是“”的代换，如，，等，、、、、等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用；
（3）角的代换：将未知角利用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的方法就是角的代换，常见的有：
，，，
，，
，等.
6．（23-24高一下·河北邢台·期中）已知向量，若函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若，求的最值及取得最值时的值；
(3)若函数在内有且只有一个零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)最小值为－1，此时；最大值为2，此时
(3)
【优尖升-分析】（1）根据向量数量积运算公式和三角恒等变换可求出的解析式，再根据正弦型函数周期公式即可计算周期.
（2）根据给定区间求已知函数的最值，可采用换元法等价变换为简单的正弦函数，先判断单调性，进而求出最值和相应的x值.
（3）函数在内有且只有一个零点，等价于其对应的方程在给定区间内只有一个根，进而转化为两个函数在给定区间内只有一个交点的问题，数形结合，即可求出参数的值.
【详解】（1）因为函数
，
所以函数的最小正周期为.
（2）由（1）知，
因为，所以，令，
则在区间上单调递减，在区间单调递增，
所以当，即时，
函数有最小值，最小值为；
当，即时，
函数有最大值，最大值为；
综上，的最小值为－1，此时；最大值为2，此时．
（3）因为函数在内有且只有一个零点，
所以在内有且只有一个实根，
得，即，
即函数在上的图象与直线只有一个交点，
当时，，
画出在上的图象如下，
结合函数图象可知，函数在区间上的图象与直线只有一个交点时，
所以，即的取值范围是．
7．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）已知函数，若的最小正周期为．
(1)求的解析式；
(2)若函数在上有三个不同零点，，，且．
①求实数a取值范围；
②若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)①；②．
【优尖升-分析】（1）根据辅助角公式化简即可.
（2）根据函数零点与二次函数的性质得到关于的方程，再利用韦达定理、三角函数的性质求解即可.
【详解】（1），
因为的最小正周期为，所以，即，
所以．
（2）①由（1）知，
由，可得，
令，则，，
若函数在有三个零点，
即在有三个不相等的实数根，
也就是关于t的方程在区间有一个实根，另一个实根在上，
或一个实根是1，另一个实根在，当一个根在，另一个实根在，
所以，即，解得：，
当一个根为0时，即，所以，此时方程为，所以，不合题意；
当一个根是，即，解得，
此时方程为，所以，不合题意；
当一个根是1，另一个实根在，
由得，此时方程为，解得或，
这两个根都不属于，不合题意，综上a的取值范围是．
②设，为方程的两个不相等的实数根，则，
由①知，，，所以，
即，，
所以，即，
由得，所以，
因为，，
所以，
所以，
所以，
又，且，所以，
所以，整理得，
因为，所以，
解得或，
又，所以．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用换元法，将其转化为二次函数根的分布问题，结合韦达定理从而得到相关不等式组，解出即可.
四、三角函数解答题综合
1．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知函数的一个对称中心为．函数．
(1)当时，求的值域；
(2)若，使恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【优尖升-分析】（1）根据定义域结合三角函数性质求出函数值域；
（2）先应用换元法得出复合函数的最值，恒成立问题转化得出参数.
【详解】（1）∵的对称中心为，,
∴，即，
∵，∴，此时．
（2），
∵，∴，设，，
则有的函数图象开口向下，对称轴为的抛物线，
当时，在区间上单调递增，∴，
∴，解得，∴；
当时，在区间上单调递减，
∴，∴，
解得，故；
当时，，
故，解得，∴，
综上所述，实数a的取值范围为．
2．（23-24高一下·四川达州·期末）已知函数，其中，．
(1)当时，求的值域；
(2)若存在，使得成立，求t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【优尖升-分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及二倍角公式、辅助角公式将函数化简，再根据x的取值范围求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）将所求问题进行等价转化为，当，再对t进行分类讨论并根据正弦函数的性质计算最大值即可.
【详解】（1）由题意得，
，
又因为，所以，由正弦函数性质可知，
，即，
所以的值域为.
（2）若，使得成立，
则等价于时，即可.
①由（1）可知，，
因为，所以，
当时，即时，此时，
所以，即，
根据正弦函数的性质可得，，解得，
所以.
②当时，即时，显然成立.
综上得，，
所以的取值范围是.
3．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知向量，，函数，其中.
(1)若，，求函数的对称中心；
(2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（m，且），上恰好有8个零点，求的最小值；
(3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【优尖升-分析】（1）利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，可得，整体代入法求的对称中心；
（2）由图象平移变换得到函数，结合和，得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值；
（3）根据已知，在上，的值域是值域的子集，求出这两个值域，由包含关
（3）由（2）知，，
设在上的值域为，在上的值域为，
若对任意，存在，使得成立，则，
当， ，，则，
当，，，则，
由可得，又，解得，
所以实数a的取值范围为.
【点睛】方法点睛：
1. 若在上恰好有8个零点，要使最小，则需要恰好为的零点；
2. ，存在，使得，则在定义区间内的值域是值域的子集.
4．（23-24高一下·四川达州·期中）已知向量，，其中，函数，且的图象上两条相邻对称轴的距离为．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的单调递增区间；
(3)若对，关于的不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【优尖升-分析】（1）利用向量数量积的坐标公式和三角恒等变换将其化成正弦型函数，依题求出即得；
（2）先求出函数在R上的单调递增区间，再与给定区间求交即得；
【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦型函数的性质应用，属于难题.解决此类题的关键是，根据解析式特点进行三角恒等变换，将其化成正弦型函数，结合正弦函数的图象解决问题；对于恒成立问题，常常寻求参变分离法，将不等式恒成立问题转化为求对应函数的的值域.
5．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)函数的图象与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为且，求的值；
(3)函数，若对于任意，当时，都有成立，求实数的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【优尖升-分析】（1）根据函数图象可得及周期，即可求得，再利用待定系数法求出即可；
（2），令，由题意可得，再根据正弦函数的对称性求出即可得解；
（3）先求出，令，由题意可得函数在上单调递增，再根据正弦函数的单调性求解即可.
【详解】（1）由图象可知则，
则，
又，所以，
所以，
又，所以，
所以的解析式为；
（2），令，
所以的最大值为.
【点睛】方法点睛：根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法：
（1）求、，；
（2）求出函数的最小正周期，进而得出；
（3）取特殊点代入函数可求得的值.
6．（23-24高一下·上海·期中）已知 ，其中.
(1)若对任意的恒成立，且，求的值：
(2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值；
(3)已知函数（），在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【优尖升-分析】（1）由题意可知与是相邻的最小值点和最大值点，从而可求出函数的最小正周期，再利用周期公式可求出；
（2）根据三角函数图象变换规律得到，结合和求得，根据的零点个数得，则要使最小，则恰好是的零点，从而可求出的最小值；
（3）根据题意可得的值域是值域的子集，求出这两个值域，列不等式组可求得结果.
【详解】（1）函数，
因为对任意的恒成立，且，
所以与是相邻的最小值点和最大值点，
所以的最小正周期为，
所以，得；
（2）由题意可得，
因为是的一个零点，
所以，
所以，
所以，或，
得或，
因为，所以，
所以，
所以的最小正周期为，
令，则，
所以或，
得或，
因为函数在（，且）上恰好有8个零点，
所以,
要使最小，则恰好是的零点，
所以的最小值为；
（3）由（2）知，
设在上的值域为，在上的值域为，
因为对任意，存在，使得成立，
所以，
当时，，所以，
所以，所以，
当时，，所以，
所以，所以,
因为，所以，解得，
所以实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查利用正弦函数的性质求函数的解析式，考查三角函数图象变换规律，考查求三角函数的值域，第（3）问解题的关键是利用三角函数的性质求出两函数的值域，然后将问题转化为两个函数值域的包含关系，考查计算能力和数学转化思想，属于较难题.
7．（23-24高一下·广东河源·期中）已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)，将的图象向右平移个单位后得到函数.若对任意的，都有，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【优尖升-分析】（1）由已知可得，求解可得不等式的解集；
（2）求得，因为对任意的，都有成立，可得，由，令，可得，分类讨论可求得实数的取值范围.
【详解】（1）因为，
所以，
解得：，
所以，
所以不等式的解集为.
（2）由题意可得，
因为，所以，
所以.
又因为对任意的，都有成立，
所以，
，
因为，所以，
设，可设，
则的图象为开口向下，对称轴为的抛物线，
当时，在上单调递增，
所以，所以，解得，所以
当时，在上单调递减，
所以，所以，解得，故；
当时，，
故，解得，所以，
综上所述：实数的取值范围为.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，若总有成立，故.
五、三角函数与导数结合
1．（23-24高二下·安徽合肥·期末）函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)已知函数，当函数的切线的斜率为负数时，求在轴上的截距的取值范围；
(3)设，若是函数在上的极值点，求证：.
【答案】(1)在单调递增，在和单调递减
(2)
(3)证明见解析
【优尖升-分析】（1）求导，即可根据导函数的正负求解函数的单调性，
（2）利用点斜式求解切线方程，即可，得，根据斜率为负可得或，即可利用对勾函数的性质求解，
（3）求导，判断函数的单调性，即可确定时取极大值，代入即可求证.
【详解】（1）的定义域为
令得.
令，可得或,
所以在单调递增，在和单调递减.
（2）因为，所以
设切点坐标为，则切线方程为
因为曲线的切线的斜率为负数，所以，解得或.
在切线方程中，令，得，
解得
令，则或，
由对勾函数的性质可知：当时，，当且仅当时取等号，
当时，单调递增，此时
可得.
即在轴上的截距的取值范围为.
（3）因为.则
当时，.故在上单调递减.
当时，令
则
由于，，则，故
所以在上单调递减，因为，
所以在上有唯一零点.即在上有唯一零点
当时，，即，
当时，，即，所以时取极大值.
所以，
即得证.
【点睛】方法点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及函数问题的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.
2．（23-24高二下·安徽·期末）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)，若是的极小值点，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【优尖升-分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）求出函数的导函数，令，再分、两种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可得解.
【详解】（1）函数的定义域为，
又，
对于函数，
当，即时恒成立，
当，即，则对称轴为，开口向下，
且当时，则与轴有两个交点，且交点的横坐标均大于；
①当时，，在上单调递减；
②当时，令得，，则，
所以当时，当时，当时，
在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
综上可得：当时在上单调递减；
当时在上单调递减，
在上单调递增，
在上单调递减.
（2）由题意知，，
，，
令，则，，
①若，因为当时，，均单调递增，
所以在上单调递增，
当时，，
又因为，因此存在，使得，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增.
又因为，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意.
②若，当时，
，
所以在上单调递减，，
在上单调递增，因此不可能是的极小值点.
综上，当是的极小值点时，的取值范围为.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数.
(1)求在区间内的极大值；
(2)令函数，当时，证明：在区间内有且仅有两个零点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【优尖升-分析】（1）利用导数研究函数的单调性，求解极大值.
（2）由可构造，讨论单调性和极值，证明零点个数的结论.
【详解】（1）由题得，
当时，，当时，，
则在区间内单调递增，在区间内单调递减，
所以在区间内的极大值为．
（2），
设，，则，
令，则 ()，所以在区间内单调递减．
又，，故存在，使得，
当时，，即，在区间内单调递增；
当时，，即，在区间内单调递减．
又，，因为，所以，
所以在区间，内各有一个零点，
即在区间内有且仅有两个零点．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
4．（23-24高二下·江西新余·期末）阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰伯努利（Jhann Bernulli，1667~1748）的儿子丹尼尔伯努利提出来的，大意如下：一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封，他把这封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉（Lenhard Euler，1707~1783）给出了解答：记都装错封信的情况为种，可以用全排列!减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公式：，其中.
阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处阶可导，则有：，注表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题：
(1)求出的值；
(2)估算的大小（保留小数点后2位），并给出用和表示的估计公式；
(3)求证：，其中.
【答案】(1)1，2，9；
，即.
又时，
令，当，有，
则，命题得证.
【点睛】本题第三问关键是能根据麦克劳林公式得到当时，得到，再令，裂项证明.
5．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知函数
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)讨论在区间上的零点个数.
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【优尖升-分析】（1）依据给定条件求出切点，利用导数的几何意义得到斜率，求出切线方程即可.
（2）利用分离参数法结合导数求解取值范围即可.
（3）对参数范围分类讨论，结合零点存在性定理求解零点个数即可.
【详解】（1）当时，，其定义域为，，
，，函数的切点坐标为，切线斜率为，
因此，函数在处的切线方程为，即．
（2）在时恒成立，
则在上恒成立，
设，则，
设，则，当时，
故在上单调递增，所以；
故当时，，当时，
故当时，单调递减，当时，单调递增，
故；
所以，即，
（3）因为，所以
而当时，，此时若，
则恒成立，在上单调递增，
又，所以只有一个零点;
当时，且令,
故恒成立，可得单调递增，
，
当时，，故单调递增，
而，因此只有一个零点，
当时，，而，
故，可得使得
并且当时，令，可得单调递减，
当时，令，可得单调递增，
若时，在上无零点，
又，所以在上只有一个唯一零点，
时，在上有两个零点
综上所述，当或时，在上有唯一的零点；
当时，在上有两个零点．
【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是求解出含参函数的导数，然后对参数范围合理讨论，结合零点存在性定理得到所要求的不同情况零点个数即可．
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