备战2025年高考数学压轴题训练专题17解三角形(解答题压轴)(学生版+解析)

这是一份备战2025年高考数学压轴题训练专题17解三角形(解答题压轴)(学生版+解析)，共52页。
\l "_Tc29064" 二、三角形角平分线问题 PAGEREF _Tc29064 \h 3
\l "_Tc5980" 三、三角形周长（边长）（定值） PAGEREF _Tc5980 \h 5
\l "_Tc21781" 四、三角形周长（边长）（最值，范围问题） PAGEREF _Tc21781 \h 8
\l "_Tc30843" 五、三角形面积（定值） PAGEREF _Tc30843 \h 10
\l "_Tc31238" 六、三角形面积（最值，范围问题） PAGEREF _Tc31238 \h 13
一、三角形中线问题
1．（23-24高三上·广东中山·阶段练习）已知为的外心，，当最大时，边上的中线长为 ．
2．（23-24高一·全国·课后作业）已知向量，，，且A为的内角.
（1）求角A的大小；
（2）若中，角，，的对边分别为，，，，，求边BC上的中线AD的长.
3．（2024高三·全国·专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若的面积为，求a的最小值；
(2)若，BC边上的中线长为，且的外接圆半径为，求的周长．
4．（2024·四川）在中，角所对的边分别为，且满足
（1）求角;
（2）若外接圆的半径为，且边上的中线长为，求的面积
二、三角形角平分线问题
1．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）．
(1)若，用，表示；
(2)若点为的外心，求、的值；
(3)若点在的角平分线上，当时，求的取值范围．
2．（23-24高一上·湖北咸宁·自主招生）如图所示，在 中，点 在 边上，点 在线段 上．
(1)若．
①如图1，若 ，，过 作 于点 ，直接写出 的值为 ；
②如图2，若 ，求 的值．
(2)如图3，已知 为 的角平分线，，，直接写出线段 的长度．
3．（23-24高一下·河南周口·期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
(1)求C；
(2)若△ABC的三条角平分线相交于点O，AB＝7，OAB的面积为，求OC．
4．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）已知的内角的对边为，且.
(1)求；
(2)若的面积为；
（i）已知为的中点，求底边上中线长的最小值；
（ii）求内角的角平分线长的最大值.
5．（23-24高一下·重庆·期末）在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，，求边上的角平分线长；
(3)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围.
三、三角形周长（边长）（定值）
1．（23-24高一下·河南漯河·期末）已知三角形的内角所对的边分别为，若，且.
(1)若，求；
(2)点在边上且平分，若，求三角形的周长.
2．（23-24高一下·福建南平·期末）已知的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若，且的面积为，求的周长．
3．（23-24高二下·四川凉山·期末）在中，角的对边分别为．
(1)求；
(2)若的面积边上的中线，求的周长．
4．（23-24高一下·四川成都·期末）在中，角所对的边分别为，的外接圆半径为，且．
(1)证明：；
(2)若，的面积为，求的周长．
5．（23-24高一下·广东深圳·期中）已知在中，角所对的边分别为，，，且
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求的周长．
四、三角形周长（边长）（最值，范围问题）
1．（23-24高一下·北京大兴·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求；
(2)若．
（i）再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
（ii）求周长的取值范围．
2．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）如图，已知是边长为的正三角形，点在边上，且，点为线段上一点.
(1)若，求实数的值；
(2)求的最小值；
(3)求周长的取值范围.
3．（2024·云南曲靖·二模）在中，角的对边分别为，且.
(1)求角的取值范围；
(2)已知内切圆的半径等于，求周长的取值范围.
4．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，的角平分线AD交BC于点D．
(1)若，，求AD的长度；
(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
5．（23-24高一下·江苏泰州·期末）在中，角的对边分别为，，，已知.
(1)当时，求的值；
(2)当时，求周长的最大值.
6．（2024·湖南长沙·一模）在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角B的值；
(2)若，求的周长的取值范围．
五、三角形面积（定值）
1．（23-24高一下·山东枣庄·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，为内一点.
(1)证明：为等腰三角形；
(2)若，，，求的最小值；
(3)若，，，求的面积.
2．（23-24高一下·重庆·期末）平面四边形中，，，，．
(1)求；
(2)求四边形周长的取值范围；
(3)若为边上一点，且满足，，求的面积．
3．（23-24高一下·浙江温州·期末）在中，，，.
(1)求A；
(2)D为边的中点，E为边上一点，交于P.
（i）若E为的中点，求的余弦值；
（ii）当时，求的面积.
4．（23-24高三上·山东青岛·期中）在，中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求角B；
(2)已知点D在AC边上，且，求的面积.
六、三角形面积（最值，范围问题）
1．（2024·四川达州·二模）在中，角、、所对的边分别为、、，.
(1)求；
(2)若，求面积的最小值.
2．（23-24高二上·云南玉溪·期中）为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知，，，．
(1)若，求护栏的长度（的周长）；
(2)若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求；
(3)当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？
3．（23-24高二上·云南玉溪·期中）为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养鸡地，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知 m， m，，﹒
(1)若 m，求护栏的长度(的周长)；
(2)若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求AM的长；
(3)鱼塘的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由．
4．（23-24高二上·江西景德镇·期中）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求A的大小；
（2）若，求面积的取值范围.
5．（2024高三上·全国·专题练习）中，的面积为.
（1）求
（2）若为的中点，分别为边上的点（不包括端点），且，求面积的最小值.
备战2025年高考数学压轴题训练（新高考版）
专题17 解三角形（解答题压轴）
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc23112" 一、三角形中线问题 PAGEREF _Tc23112 \h 1
\l "_Tc29064" 二、三角形角平分线问题 PAGEREF _Tc29064 \h 5
\l "_Tc5980" 三、三角形周长（边长）（定值） PAGEREF _Tc5980 \h 13
\l "_Tc21781" 四、三角形周长（边长）（最值，范围问题） PAGEREF _Tc21781 \h 18
\l "_Tc30843" 五、三角形面积（定值） PAGEREF _Tc30843 \h 29
\l "_Tc31238" 六、三角形面积（最值，范围问题） PAGEREF _Tc31238 \h 38
一、三角形中线问题
1．（23-24高三上·广东中山·阶段练习）已知O为△ABC的外心，BC=6,BO⋅AC=4，当∠C最大时，AB边上的中线长为 ．
【答案】15
【分析】作出图形，利用平面向量的运算得到a2−c2=8，再利用余弦定理与基本不等式求得∠C最大时b的值，从而得解.
【详解】取AC中点D，连接OD、BD，则DO⊥AC，
则BO⋅AC=BD+DO⋅AC=BD⋅AC=12BC+BA⋅BC−BA=4，
所以BC2−BA2=8，即a2−c2=8，又BC=6，所以a=6，c=27，
则csC=a2+b2−c22ab=b2+812b≥2b2×812b=23，
当且仅当b2=8，即b=22时取等号，此时角C最大，
同时a2=b2+c2，所以A=90°，
所以AB边上中线长为CE=AE2+AC2=7+8=15.
故答案为：15.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用面向量的运算转化BO⋅AC，得到BC2−BA2=8，从而得解.
2．（23-24高一·全国·课后作业）已知向量a=−3,sinA，b=1,csA，a//b，且A为△ABC的内角.
（1）求角A的大小；
（2）若ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=14，b=10，求边BC上的中线AD的长.
【答案】（1）A=2π3；（2）AD=19
【解析】（1）根据向量共线坐标所满足的关系可得−3csA=sinA，从而求得tanA=−3，结合三角形内角的范围，可以确定A=2π3；
（2）根据A=2π3，可以求得sinA=32，根据题中所给的三角形的边长，以及正弦定理可得sinB=bsinAa=5314，进而求得csB=1114，利用三角形内角和以及余弦差角公式，求得csC=1314，利用余弦定理求得c=6，之后应用余弦定理求得AD=19，得到结果.
【详解】（1）因为a//b，所以−3csA=sinA，所以tanA=−3.
因为0