备战2025高考数学压轴导数大题训练(全国通用版)专题01用导数研究含参函数的单调性(学生版+解析)

这是一份备战2025高考数学压轴导数大题训练(全国通用版)专题01用导数研究含参函数的单调性(学生版+解析)，共50页。试卷主要包含了若在定义域的某个子区间上恒有等内容，欢迎下载使用。
函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题,这是因为单调性是解决后续问题的关键,单调性在研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的作用.函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用更是高考中的热点难点.
（一）研究函数单调性应注意的几个细节问题：
1.单调区间是定义域的子集,故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则,单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示,如有多个单调区间应分开写,不能用并集符号“∪”连接,也不能用“或”连接.
2.若在定义域的某个子区间上恒有（或）,则称在该区间上单调递增（或单调递减）,不说在该区间上是增函数（或减函数）,只有在整个定义域内单调递增（或单调递减）,才说该函数是增函数（或减函数）
（二）连续可导函数单调区间的分界点就是函数的极值点,也就是导函数的零点,即方程的根,所以求解含参函数的单调性问题,一般要根据的根的情况进行分类,分类时先确定导函数是一次型、二次型还是其他类型
1.若导函数是一次型,分类步骤是：
①判断是否有根,若没有根,会出现恒成立的情况；
②若有根,求出导的根,并判断根是否在定义域内；若根不在定义域内会出现恒成立的情况；
③若根在定义域内,会出现两个单调区间,根据导函数的正负,确定单调性；
2. 若导函数是二次型,分类步骤是：
①先判断二次型函数是否有根,若没有根,会出现恒成立的情况；
②判断根是否在定义域内,若仅有一个根在定义域内,会出现两个单调区间,根据导函数的正负,确定单调性；
③若两个根都在定义域内,需要根据两个根的大小进行讨论,当根的大小确定后,再讨论每个单调区间上的单调性.
3.若导函数是三角函数类型,需要借助三角函数的单调性及有界性进行讨论
下面我们根据的根的情况总结出12类题型及解法,帮助同学们掌握这类问题的求解方法.
类型一：定义域不是,可化为单根型一次方程
思路：根据根是否在定义域内进行分类.
【例1】讨论的单调性.
分析：,根的情况转化为根的情况,
根据是否在定义域内进行分类.
答案：
(1),在上单调递增；
(2),在上单调递增,在上单调递减.
类型二：定义域不是,可化为单根型类一次方程
思路：根据方程是否有根及根是否在定义域内进行分类.
【例2】讨论的单调性.
分析：,根的情况转化为在上根的情况..
步骤一：讨论(无实根)；
步骤二：讨论,由得(不在定义域内)；
步骤三：讨论,根据是否在定义域内再分.
答案：
(1),在上单调；
(2),在上单调递减；
(3)
( = 1 \* rman i), ,在上单调递增；
( = 2 \* rman ii),在上单调递减,在上单调递增.
类型三：定义域为, 可化为单根型类二次（或高次）方程
思路：根据的系数符号进行分类.
【例3】讨论的单调性.
分析：,因为,
根的情况转化为根的情况,
步骤一：讨论；
步骤二：讨论,注意此时；
步骤三：讨论,注意不等式两边除以,不等式要改变方向.
答案：
(1)时在上单调递增,在上单调递减；
(2)时在上单调递减；
(3) 时在上单调递减,在上单调递增.
类型四：定义域不是,可化为单根型二次方程
思路：根据方程的根是否在定义域内进行分类.
【例4】讨论的单调性.
分析：,因为,根的情况转化为在上根的情况.
步骤一：讨论(无实根)；
步骤二：讨论,由得；
答案：
(1),在上递增；
(2),, ,在上递增；,,在上递减.
类型五：定义域为, 可化为双根型二次方程
思路：根据根的大小进行分类.
【例5】讨论的单调性.
分析：,根的情况转化为的根的情况,根据与的大小进行讨论.
步骤一：讨论；
步骤二：讨论,注意此时；
步骤三：讨论.
答案：
(1)在上单调递增,在上单调递减；
(2),在上递增；
(3), 在上单调递减,在上单调递增.
类型六：定义域不是,可化为双根型二次方程
思路：根据根是否在定义域内及根的大小进行分类.
【例6】讨论的单调性
分析：,根的情况转化为在上根的情况.
步骤一：讨论(根不在定义域内).
步骤二：讨论(根据的大小再分)
答案：
(1),在上单调递增；
(2)在上单调递增,在上单调递减；
(3),在上单调递增；
(4), 在上单调递增,在上单调递减.
类型七：定义域是,可化为双根型类二次方程
思路：根据根的个数及根的大小进行分类
【例7】讨论的单调性
分析：,根的情况转化为根的情况.
步骤一：讨论(无实根)；
步骤二：讨论,此时；
步骤三：讨论(根据的大小再分)
答案：
(1),在上单调递增,在上单调递减；
(2) 在上单调递增,在上单调递增；
(3)在上单调递增,在上单调递减；
(4),在上单调递增；
(5), 在上单调递增,在上单调递减.
提醒：对于类二次方程,不要忽略对项的系数为零的讨论.
类型八：定义域不是,可化为双根型类二次方程
思路：根据根是否在定义域内、根的个数及根的大小进行分类
【例8】讨论的单调性
分析：,根的情况转化为根的情况.
步骤一：讨论(有1个根).
步骤二：讨论(不在定义域内)
步骤三：讨论(均在定义域内,根据的大小再分)
答案：
(1),在上单调递增,在上单调递减；(步骤一二合并)
(2)在上单调递增,在上单调递减；
(3),在上单调递增；
(4), 在上单调递增,在上单调递减.
类型九：先化为指数型方程,再通过拟合化为一次（或类一次）或二次（或类二次）方程
【例9】讨论的单调性.
分析：,根的情况转化为根的情况.
步骤一：讨论(有1个根).
步骤二：讨论,的拟合函数为 (根据的大小再分)
答案：
(1),在上单调递增,在上单调递减；
(2)在上单调递增,在上单调递减；
(3),在上单调递增；
(4), 在上单调递增,在上单调递减.
类型十：先化为对数型方程,再通过拟合化为一次（或类一次）或二次（或类二次）方程
【例10】讨论的单调性.
分析：的拟合函数为(根据与0,1大小分类)
步骤一：讨论( ).
步骤二：讨论, (再分)
答案：
(1),在上单调递减,在上单调递增；
(2)在上单调递增,在上单调递减；
(3),在上单调递增；
(4), 在上单调递增,在上单调递减.
类型十一：导函数为三角函数类型
【例11】判断在上的单调性.
分析：借助弦函数的有界性确定的符号.
步骤一：,
步骤二：令,,
步骤三：利用弦函数有界性得,
步骤四：为增函数,．
答案：在上单调递增.
类型十二：通过二次求导研究函数单调性
求函数的递增（递减）区间,通常转化为解不等式（或 ）,但有时该不等式不能直接求解,需要二次求导研究的单调性或符号.
【例12】判断函数的单调性
分析：
步骤一：；
步骤二：,；
步骤三：在上单调递增,在上单调递减,；
步骤四：由,得.
答案：所在上单调递减.
【例1】（2024届山东省烟台招远市高考三模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时,若方程有三个不等的实根,求实数的取值范围.
【解析】（1）.
当时,由可知,在上单调递增；
当时,对有,对有,所以在上单调递增,在上单调递减.
综上,当时,在上单调递增；
当时,在上单调递增,在上单调递减.
（2）当时,,故原方程可化为.
而,所以原方程又等价于.
由于和不能同时为零,故原方程又等价于.
即.
设,则,从而对有,对有.
故在上递增,在上递减,这就得到,且不等号两边相等当且仅当.
然后考虑关于的方程：
①若,由于当时有,而在上递增,故方程至多有一个解；
而,,所以方程恰有一个解；
②若,由于在上递增,在上递减,故方程至多有两个解；
而由有,
再结合,,,即知方程恰有两个解,且这两个解分别属于和；
③若,则.
由于,且不等号两边相等当且仅当,故方程恰有一解.
④若,则,故方程无解.
由刚刚讨论的的解的数量情况可知,方程存在三个不同的实根,当且仅当关于的二次方程有两个不同的根,且,.
一方面,若关于的二次方程有两个不同的根,且,,则首先有,且.
故, ,所以.
而方程的解是,两解符号相反,故只能,.
所以,即.
这就得到,所以,解得.
故我们得到；
另一方面,当时,关于的二次方程有两个不同的根,.
且有,,.
综上,实数的取值范围是.
【例2】（2024届黑龙江省百师联盟高三冲刺卷）已知函数.
(1)若,求在处的切线方程；
(2)者,讨论函数的单调性.
【解析】（1）,则,,
,,
∴在处切线方程为,
即.
（2）函数的定义域为,.
因为,所以,由得或,.
①当时,,
所以或,,
则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增；
②当时,,则在上单调递增；
③当时,,
所以或,,
则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
综上,当时,
在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增；
当时,在上单调递增；
当时,在上单调递增,在上单调递减,
在上单调递增.
【例3】（2024届黑龙江省哈尔滨市三中高三下学期第五次模拟）已知函数（）.
(1)讨论的单调性；
(2)当时,求证：.
【解析】（1）由题意可知,函数的定义域为,
导数,
当时,,；
当时,,；；
综上所述,当时,函数在区间上单调递减；当时,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.
（2）由（1）可知,当时,
函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.
所以函数,
要证,
需证,
即需证恒成立.
令,
则,
所以函数在区间单调递减,
故,
所以恒成立,
所以当时,.
【例4】（2024届河南省创新发展联盟5月月考）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时,证明：.
【解析】（1）函数的定义域为,
求导得,
若,则,且当时,,当时,,
即函数在上递增,在上递减；
若,令,解得,
若,即,则恒成立,当时,,当时,,
即函数在上递减,在上递增；
若,即,则当时,,当时,,
即函数在上递增,在上递减；
若,即,则在上恒成立,函数在上递增；
若,即,则当时,,当时,,
即函数在上递增,在上递减,
所以当时,的递增区间为,递减区间为；
当时,的递增区间为和,递减区间为；
当时,的递增区间为,无递减区间；
当时,的递增区间为和,递减区间为；
当时,的递增区间为,递减区间为.
（2）要证,需证,
而,即有,
则只需证明,即证,即证,
令,则,当时,,当时,,
即函数在上单调递减,在上单调递增,则,
令,则,当时,,当时,,
函数在上单调递增,在上单调递减,则,
从而,即成立.
【例5】（2023届湖北省新高三摸底联考）已知,函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)如果我们用表示区间的长度,试证明：对任意实数,关于的不等式的解集的区间长度小于．
【解析】 (1),定义域为,
若恒成立,所以在上单调递减；
若,
当时,；当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增．
综上,时,在上单调递减；时,在上单调递减,在上单调递增．
(2)令,则,因为,
由（1）知,在上单调递减,在上单调递增,
(2)若存在两个极值点．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）证明：时,．
4．（2024届河南省名师联盟5月高三考前押题卷）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2),,求的取值范围.
5．（2024届山东省日照市高三下学期三模）已知函数,,.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时,对,,求正整数的最大值.
6．（2024届四川省南充高中高三下学期月考）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)当时,函数与函数有相同的最大值,求的值.
7．（2024届安徽省合肥市第六中学高三最后一卷）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若,为函数的两个零点,求证：．
8．（2024广东省东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学高三下学期第五次六校联考）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时,求函数在区间上的最大值．
9．（2024届山东省临沂市兰山区等四县区高三第三次模拟）已知函数．
(1)若曲线在处的切线与直线垂直,求的值；
(2)讨论的单调性．
10．（2024届天津市和平区高三三模）已知函数,,．
(1)若,函数存在斜率为3的切线,求实数的取值范围；
(2)若,试讨论函数的单调性；
(3)若,设函数的图象与函数的图象交于两点,过线段的中点作轴的垂线分别交于点,问是否存在点,使在处的切线与在处的切线平行？若存在,求出点的横坐标；若不存在,请说明理由．
11．（2024届山西省晋城调研）函数.
(1)求的单调区间；
(2)若只有一个解,则当时,求使成立的最大整数k.
12．（2024届北京市西城区北京师范大学附属实验中学高三下学期6月热身练）已知函数,其中a为常数且.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调区间；
(3)当时,若过点的切线l分别与x轴和y轴于,A,B两点,O为坐标原点,记的面积为S,求S的最小值.
13．（2024届山西省吕梁市高三三模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对任意的,使恒成立,则实数的取值范围.
14．（2024届江苏省苏州市高三下学期第三次模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时,证明：．
15．（2024届湖北省襄阳市第五中学高三第五次适应性测试）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时,,数列满足,且
①比较,,1的大小
②证明：.
16．（2024届湖南省岳阳市岳汨联考高三下学期5月月考）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数在上有零点,且,求实数m的取值范围．
专题1 用导数研究含参函数的单调性
函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题,这是因为单调性是解决后续问题的关键,单调性在研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的作用.函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用更是高考中的热点难点.
（一）研究函数单调性应注意的几个细节问题：
1.单调区间是定义域的子集,故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则,单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示,如有多个单调区间应分开写,不能用并集符号“∪”连接,也不能用“或”连接.
2.若在定义域的某个子区间上恒有（或）,则称在该区间上单调递增（或单调递减）,不说在该区间上是增函数（或减函数）,只有在整个定义域内单调递增（或单调递减）,才说该函数是增函数（或减函数）
（二）连续可导函数单调区间的分界点就是函数的极值点,也就是导函数的零点,即方程的根,所以求解含参函数的单调性问题,一般要根据的根的情况进行分类,分类时先确定导函数是一次型、二次型还是其他类型
1.若导函数是一次型,分类步骤是：
①判断是否有根,若没有根,会出现恒成立的情况；
②若有根,求出导的根,并判断根是否在定义域内；若根不在定义域内会出现恒成立的情况；
③若根在定义域内,会出现两个单调区间,根据导函数的正负,确定单调性；
2. 若导函数是二次型,分类步骤是：
①先判断二次型函数是否有根,若没有根,会出现恒成立的情况；
②判断根是否在定义域内,若仅有一个根在定义域内,会出现两个单调区间,根据导函数的正负,确定单调性；
③若两个根都在定义域内,需要根据两个根的大小进行讨论,当根的大小确定后,再讨论每个单调区间上的单调性.
3.若导函数是三角函数类型,需要借助三角函数的单调性及有界性进行讨论
下面我们根据的根的情况总结出12类题型及解法,帮助同学们掌握这类问题的求解方法.
类型一：定义域不是,可化为单根型一次方程
思路：根据根是否在定义域内进行分类.
【例1】讨论的单调性.
分析：,根的情况转化为根的情况,
根据是否在定义域内进行分类.
答案：
(1),在上单调递增；
(2),在上单调递增,在上单调递减.
类型二：定义域不是,可化为单根型类一次方程
思路：根据方程是否有根及根是否在定义域内进行分类.
【例2】讨论的单调性.
分析：,根的情况转化为在上根的情况..
步骤一：讨论(无实根)；
步骤二：讨论,由得(不在定义域内)；
步骤三：讨论,根据是否在定义域内再分.
答案：
(1),在上单调；
(2),在上单调递减；
(3)
( = 1 \* rman i), ,在上单调递增；
( = 2 \* rman ii),在上单调递减,在上单调递增.
类型三：定义域为, 可化为单根型类二次（或高次）方程
思路：根据的系数符号进行分类.
【例3】讨论的单调性.
分析：,因为,
根的情况转化为根的情况,
步骤一：讨论；
步骤二：讨论,注意此时；
步骤三：讨论,注意不等式两边除以,不等式要改变方向.
答案：
(1)时在上单调递增,在上单调递减；
(2)时在上单调递减；
(3) 时在上单调递减,在上单调递增.
类型四：定义域不是,可化为单根型二次方程
思路：根据方程的根是否在定义域内进行分类.
【例4】讨论的单调性.
分析：,因为,根的情况转化为在上根的情况.
步骤一：讨论(无实根)；
步骤二：讨论,由得；
答案：
(1),在上递增；
(2),, ,在上递增；,,在上递减.
类型五：定义域为, 可化为双根型二次方程
思路：根据根的大小进行分类.
【例5】讨论的单调性.
分析：,根的情况转化为的根的情况,根据与的大小进行讨论.
步骤一：讨论；
步骤二：讨论,注意此时；
步骤三：讨论.
答案：
(1)在上单调递增,在上单调递减；
(2),在上递增；
(3), 在上单调递减,在上单调递增.
类型六：定义域不是,可化为双根型二次方程
思路：根据根是否在定义域内及根的大小进行分类.
【例6】讨论的单调性
分析：,根的情况转化为在上根的情况.
步骤一：讨论(根不在定义域内).
步骤二：讨论(根据的大小再分)
答案：
(1),在上单调递增；
(2)在上单调递增,在上单调递减；
(3),在上单调递增；
(4), 在上单调递增,在上单调递减.
类型七：定义域是,可化为双根型类二次方程
思路：根据根的个数及根的大小进行分类
【例7】讨论的单调性
分析：,根的情况转化为根的情况.
步骤一：讨论(无实根)；
步骤二：讨论,此时；
步骤三：讨论(根据的大小再分)
答案：
(1),在上单调递增,在上单调递减；
(2) 在上单调递增,在上单调递增；
(3)在上单调递增,在上单调递减；
(4),在上单调递增；
(5), 在上单调递增,在上单调递减.
提醒：对于类二次方程,不要忽略对项的系数为零的讨论.
类型八：定义域不是,可化为双根型类二次方程
思路：根据根是否在定义域内、根的个数及根的大小进行分类
【例8】讨论的单调性
分析：,根的情况转化为根的情况.
步骤一：讨论(有1个根).
步骤二：讨论(不在定义域内)
步骤三：讨论(均在定义域内,根据的大小再分)
答案：
(1),在上单调递增,在上单调递减；(步骤一二合并)
(2)在上单调递增,在上单调递减；
(3),在上单调递增；
(4), 在上单调递增,在上单调递减.
类型九：先化为指数型方程,再通过拟合化为一次（或类一次）或二次（或类二次）方程
【例9】讨论的单调性.
分析：,根的情况转化为根的情况.
步骤一：讨论(有1个根).
步骤二：讨论,的拟合函数为 (根据的大小再分)
答案：
(1),在上单调递增,在上单调递减；
(2)在上单调递增,在上单调递减；
(3),在上单调递增；
(4), 在上单调递增,在上单调递减.
类型十：先化为对数型方程,再通过拟合化为一次（或类一次）或二次（或类二次）方程
【例10】讨论的单调性.
分析：的拟合函数为(根据与0,1大小分类)
步骤一：讨论( ).
步骤二：讨论, (再分)
答案：
(1),在上单调递减,在上单调递增；
(2)在上单调递增,在上单调递减；
(3),在上单调递增；
(4), 在上单调递增,在上单调递减.
类型十一：导函数为三角函数类型
【例11】判断在上的单调性.
分析：借助弦函数的有界性确定的符号.
步骤一：,
步骤二：令,,
步骤三：利用弦函数有界性得,
步骤四：为增函数,．
答案：在上单调递增.
类型十二：通过二次求导研究函数单调性
求函数的递增（递减）区间,通常转化为解不等式（或 ）,但有时该不等式不能直接求解,需要二次求导研究的单调性或符号.
【例12】判断函数的单调性
分析：
步骤一：；
步骤二：,；
步骤三：在上单调递增,在上单调递减,；
步骤四：由,得.
答案：所在上单调递减.
【例1】（2024届山东省烟台招远市高考三模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时,若方程有三个不等的实根,求实数的取值范围.
【解析】（1）.
当时,由可知,在上单调递增；
当时,对有,对有,所以在上单调递增,在上单调递减.
综上,当时,在上单调递增；
当时,在上单调递增,在上单调递减.
（2）当时,,故原方程可化为.
而,所以原方程又等价于.
由于和不能同时为零,故原方程又等价于.
即.
设,则,从而对有,对有.
故在上递增,在上递减,这就得到,且不等号两边相等当且仅当.
然后考虑关于的方程：
①若,由于当时有,而在上递增,故方程至多有一个解；
而,,所以方程恰有一个解；
②若,由于在上递增,在上递减,故方程至多有两个解；
而由有,
再结合,,,即知方程恰有两个解,且这两个解分别属于和；
③若,则.
由于,且不等号两边相等当且仅当,故方程恰有一解.
④若,则,故方程无解.
由刚刚讨论的的解的数量情况可知,方程存在三个不同的实根,当且仅当关于的二次方程有两个不同的根,且,.
一方面,若关于的二次方程有两个不同的根,且,,则首先有,且.
故, ,所以.
而方程的解是,两解符号相反,故只能,.
所以,即.
这就得到,所以,解得.
故我们得到；
另一方面,当时,关于的二次方程有两个不同的根,.
且有,,.
综上,实数的取值范围是.
【例2】（2024届黑龙江省百师联盟高三冲刺卷）已知函数.
(1)若,求在处的切线方程；
(2)者,讨论函数的单调性.
【解析】（1）,则,,
,,
∴在处切线方程为,
即.
（2）函数的定义域为,.
因为,所以,由得或,.
①当时,,
所以或,,
则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增；
②当时,,则在上单调递增；
③当时,,
所以或,,
则在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
综上,当时,
在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增；
当时,在上单调递增；
当时,在上单调递增,在上单调递减,
在上单调递增.
【例3】（2024届黑龙江省哈尔滨市三中高三下学期第五次模拟）已知函数（）.
(1)讨论的单调性；
(2)当时,求证：.
【解析】（1）由题意可知,函数的定义域为,
导数,
当时,,；
当时,,；；
综上所述,当时,函数在区间上单调递减；当时,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.
（2）由（1）可知,当时,
函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.
所以函数,
要证,
需证,
即需证恒成立.
令,
则,
所以函数在区间单调递减,
故,
所以恒成立,
所以当时,.
【例4】（2024届河南省创新发展联盟5月月考）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时,证明：.
【解析】（1）函数的定义域为,
求导得,
若,则,且当时,,当时,,
即函数在上递增,在上递减；
若,令,解得,
若,即,则恒成立,当时,,当时,,
即函数在上递减,在上递增；
若,即,则当时,,当时,,
即函数在上递增,在上递减；
若,即,则在上恒成立,函数在上递增；
若,即,则当时,,当时,,
即函数在上递增,在上递减,
所以当时,的递增区间为,递减区间为；
当时,的递增区间为和,递减区间为；
当时,的递增区间为,无递减区间；
当时,的递增区间为和,递减区间为；
当时,的递增区间为,递减区间为.
（2）要证,需证,
而,即有,
则只需证明,即证,即证,
令,则,当时,,当时,,
即函数在上单调递减,在上单调递增,则,
令,则,当时,,当时,,
函数在上单调递增,在上单调递减,则,
从而,即成立.
【例5】（2023届湖北省新高三摸底联考）已知,函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)如果我们用表示区间的长度,试证明：对任意实数,关于的不等式的解集的区间长度小于．
【解析】 (1),定义域为,
若恒成立,所以在上单调递减；
若,
当时,；当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增．
综上,时,在上单调递减；时,在上单调递减,在上单调递增．
(2)令,则,因为,
由（1）知,在上单调递减,在上单调递增,
又,所以,
令,
由恒成立,
所以在上单调递增．
又,所以,即．从而,
所以,即．
因为,所以,
所以存在唯一,使得,所以的解集为,
即的解集为,又的区间长度为,
原命题得证．

1．（2024届北京市十一学校高三下学期三模）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若恒成立,求实数的取值范围；
(3)求证：．（且）
【解析】（1）函数的定义域为．
．
①时,,的递增区间为,无递减区间；
③时,令得；令得,
所以的递增区间为,递减区间为．
（2）由（1）知,时,在上递增,,不合题意,
故只考虑的情况,由（1）知
即
综上,的取值范围为．
（3）由（2）知：当时,恒成立,所以,
所以当恒成立,令,
进而,
即,．
所以．（且）
即．（且）
2．（2025届河北省“五个一”名校联盟高三第一次联考）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时,.
【解析】（1）由题函数定义域为,,
故当时,恒成立,所以函数在上单调递减；
当时,在上单调递减,令,
则时,；时,,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,
综上,当时,函数在上单调递减；当时,函数在上单调递增,在上单调递减.
（2）由（1）当时,函数在上单调递增,在上单调递减,
故在上恒成立,
故证证,
即,
令,则,
故当时,；时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以在上恒成立,故,
所以当时,.
3．（2024届山东省智慧上进高三下学期5月大联考）已知函数,其中．
(1)当时,判断的单调性；
(2)若存在两个极值点．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）证明：时,．
【解析】（1）函数的定义域为,
则,
令,,则,
所以当时,当时,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以在处取得极小值,即最小值,所以,
所以在上恒成立,
所以在上单调递增；
（2）（ⅰ）由（1）可知在上的最小值为,
当时,当时,
若存在两个极值点,则有两个不相等的实数根,
所以,解得,
又,所以,
且当时,即,则单调递增,
当时,即,则单调递减,
当时,即,则单调递增,
所以为的极大值点,为的极小值点,
因为,所以,
要证,即证,又,
只需证,
即证,即证,
令,则,
所以在上单调递增,
所以,即成立,
所以；
（ⅱ）由（ⅰ）知,,
且当时,当时,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以
,
令,则,
所以在上单调递增,
所以,即,
所以,
所以.
4．（2024届河南省名师联盟5月高三考前押题卷）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2),,求的取值范围.
【解析】（1）的定义域为,,
当时,,所以在上单调递增；
当时,当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增.
（2）当时,显然成立,此时可为任意实数；
当时,由,在上恒成立,得,
令,,
则,
设,由（1）可知,在上单调递增,所以,
当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减；
则,所以,
综上,实数的取值范围为.
5．（2024届山东省日照市高三下学期三模）已知函数,,.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时,对,,求正整数的最大值.
【解析】（1）函数的定义域为,求导得,
①当时,有,此时函数在区间上单调递减；
②当时,当时,,此时函数在区间上单调递增；
当时,,此时函数在区间上单调递减.
所以当时,函数在区间上单调递减；
当时,函数在区间上单调递增,在区间上单调递减.
（2）当,时,恒成立,等价于恒成立,
设,,则,
当时,有,
函数在上单调递增,且,,
则存在唯一的,使得,即,
当时,,；当时,,,
函数在上单调递减,在上单调递增,
设,则当时,,函数在上单调递减,
又因为,所以.
所以正整数的最大值是3.
6．（2024届四川省南充高中高三下学期月考）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)当时,函数与函数有相同的最大值,求的值.
【解析】（1）解
①当时,当 时, 单调递增；当 时,单调递减.
②当时,在单调递增. .
综上所述,当时,在单调递增,在单调递减.
当时,在单调递增.
（2）由（1）得当时,当 时,取得最大值,
,易知单调递减 ,令,,
当时, 0,单调递增; 当时,单调递减,所以,当时,取得最大值
依题意,有,所以
令 则
由的单调性可知,当时,在时取得最大值0,即,从而可得 因此在上单调递减,又,
所以,.
7．（2024届安徽省合肥市第六中学高三最后一卷）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若,为函数的两个零点,求证：．
【解析】（1）,．
当时,,则在上单调递增．
当时,令,得,解得．
当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增．
综上：当时,在上单调递增；
当时,在上单调递减,在上单调递增．
（2）设,则,,
所以,
所以,,
记,要证,只需证,
只需证,只需证．
记,,则,
记,,
由（1）可知,取,则,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,
所以,即,所以在上单调递增,
又,所以,所以成立．
8．（2024广东省东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学高三下学期第五次六校联考）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时,求函数在区间上的最大值．
【解析】（1）的定义域为 ,
求导数,得 ,
若,则,此时在上单调递增,
若,则由得,当时,,在上单调递减,
当时, ,在上单调递增,
综上,当,的增区间为,无减区间,
若,减区间为,增区间为.
（2）由（1）知,当时,在区间上为增函数,
函数的最大值为,
当时,在区间上为减函数,
函数的最大值为,
当时,在区间上为减函数,在上为增函数,
函数的最大值为,
由,得,
若时,函数的最大值为,
若时,函数的最大值为,
综上,当时,函数的最大值为,
当时,函数的最大值为.
9．（2024届山东省临沂市兰山区等四县区高三第三次模拟）已知函数．
(1)若曲线在处的切线与直线垂直,求的值；
(2)讨论的单调性．
【解析】（1）因为,, 所以,
曲线在处的切线与垂直,
所以, 得；
（2）由得,
当时,的定义域为,
令得,
当时,,当时,
所以在上单调递增,在上单调递减；
当时,的定义域为,
令得
当时,,当时,
所以在上单调递减,在上单调递增．
综上所述：当时,在上单调递增,在上单调递减；
当时,在上单调递减,在上单调递增.
10．（2024届天津市和平区高三三模）已知函数,,．
(1)若,函数存在斜率为3的切线,求实数的取值范围；
(2)若,试讨论函数的单调性；
(3)若,设函数的图象与函数的图象交于两点,过线段的中点作轴的垂线分别交于点,问是否存在点,使在处的切线与在处的切线平行？若存在,求出点的横坐标；若不存在,请说明理由．
【解析】（1）因为,所以,,
因为函数存在斜率为3的切线,所以在有解,
所以,得,所以实数的取值范围为.
（2）因为,所以,,
令,即,,
（ⅰ）当时,即,,在上单调递增．
（ⅱ）当时,即,或,
有两根,,,
①当时,,时,,在上单调递增．
②当时,,时,,时,, 时,,
在,上单调递增,在上单调递减．
综上,当时,函数在上单调递增；
当时,函数在,上单调递增,在上单调递减．
（3）
设点,的坐标为,且,
,,
则点与点的横坐标均为,,,
所以在点处的切线斜率为,在点处的切线斜率为,
假设在点处的切线与在点处的切线平行,则有,
即,则有下式成立：
,即,
设,有,设,
则,所以在上单调递增,
故,即,与矛盾,所以假设不成立,
所以不存在点使在点处的切线与在点处的切线平行．
11．（2024届山西省晋城调研）函数.
(1)求的单调区间；
(2)若只有一个解,则当时,求使成立的最大整数k.
【解析】（1）函数,定义域为,则,
因为,设,,
则令得,,,
当时,,,单调递增,
当时,,,
单调递减,
当时,,,单调递增,
综上所述：的单调递增区间为,,
单调递减区间为；
（2）若即只有一个解,
因为使方程成立,所以只有0是的解,
当时,无非零解,
设,则,
当,,单调递减,当,,单调递增,
所以最小值为,
当时,,当时,,
故定有零点,又因为无非零解,有零点应还是0,
所以,所以,则,
,得,,,
所以,得,
设,则,
令,则,
因为时,,所以,则在单调递增,
又,
所以使得,所以,且,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以最小值,且,
得,
又因为,所以,因为,
所以,故整数的最大值为2.
12．（2024届北京市西城区北京师范大学附属实验中学高三下学期6月热身练）已知函数,其中a为常数且.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调区间；
(3)当时,若过点的切线l分别与x轴和y轴于,A,B两点,O为坐标原点,记的面积为S,求S的最小值.
【解析】（1）,.
因为,,
所以切线方程为.
（2）定义域为,
,令,解得.
当时,
,的减区间为；
,的增区间为.
当时,
,的增区间为；
,的减区间为.
（3）当时,,.
切线l：,
令,；
令,.
.
设,.
.
,在单调递减；
,在单调递增.
所以.
所以当时,S的最小值为.
13．（2024届山西省吕梁市高三三模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对任意的,使恒成立,则实数的取值范围.
【解析】（1）的定义域为,
令,又,
,当,即时,,此时在上单调递增
,当,即时,
令,解得
其中,当时,
所以在单调递增,在单调递减；
当时,,
故在单调递减,单调递增.
综上：在上单调递增；
在上单调递增；
在上单调递减,在上单调递增.
（2）法一：不妨设,则,同除以得,
所以令,
当时,恒成立,
,若恒成立,符合题意,
,当恒成立,
令则,
所以在单调递增,在单调递减,
所以,所以,
,若,同理恒成立,由知,当
所以不存在满足条件的.
综上所述：.
法二：.
令,则只需在单调递增,
即恒成立,
,令,则恒成立；
又,
①当时,在单调递增成立；
②当时,在单调递增,又,故不恒成立.不满足题意；
③当时,由得在单调递减,在单调递增,
因为恒成立,所以,
解得,
综上,.
14．（2024届江苏省苏州市高三下学期第三次模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时,证明：．
【解析】（1）函数的定义域为,且．
当时,恒成立,
所以在区间上单调递增；
当时,令,解得,
当时,在区间上单调递增,
当时,在区间上单调递减．
综上所述,当时,在区间上单调递增；
当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减．
（2）当时,因为,所以要证,只要证明即可,
即要证,等价于（*）．
令,则,
在区间上,单调递减；
在区间上,单调递增,
所以,所以（当且仅当时等号成立）,
所以（*）成立,当且仅当时,等号成立．
又在上单调递增,,
所以存在,使得成立．
综上所述,原不等式成立．
15．（2024届湖北省襄阳市第五中学高三第五次适应性测试）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时,,数列满足,且
①比较,,1的大小
②证明：.
【解析】（1）由题意知的单调性为,
.
当时,令,解得,令,解得,
在上单调递减,在上单调递增；
所以,即,
所以成立,
故.
16．（2024届湖南省岳阳市岳汨联考高三下学期5月月考）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数在上有零点,且,求实数m的取值范围．
【解析】（1）已知,函数定义域为R,
可得,
当时,,所以在R上单调递减；
当时,因为是开口向上的二次函数,且,
若,即时,,所以；所以在R上单调递减；
若,即时,此时方程有两个根,
所以当或者时,即,
当时,即,
所以在和上为减函数,
在上为增函数；
当时,因为是开口向下的二次函数,且,
此时方程有两个根,
所以当或者时,即,
当时,即,
所以在和上为增函数,
在上为减函数；
综上所述,当时,函数在R上单调递减；
当时,函数在和上为减函数,
在上为增函数；
当时,函数在和上为增函数,
在上为减函数；
（2）令,解得,
不妨设,函数定义域为,则在内有零点；
不妨设为在内的一个零点,因为,,
所以在区间和上不可能单调；
不妨设,函数定义域为,
此时在区间和上均存在零点,即在上至少有两个零点,
易知, ,
当时,,在上单调递增,不可能有两个及以上零点；
当时,,在上单调递减,不可能有两个及以上零点；
当时,令,解得,
当时,,单调递减；
当时,,单调递增,
所以在处取得最小值,
若有两个零点,需满足,,,
不妨设,函数定义域为 ,可得,
当时,,单调递增；当时,,单调递减,
所以,此时恒成立,
又,,可得,
当时,不妨设的两个零点分别为,（）,
可得在上单调递增；在上单调递减,在上单调递增,
所以, 则在区间内有零点,
综上所述,实数m的取值范围为．