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四川省资阳市安岳县2023_2024学年高一数学上学期10月月考试题含解析
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这是一份四川省资阳市安岳县2023_2024学年高一数学上学期10月月考试题含解析，共12页。试卷主要包含了 设，则“”是“”， 若，则b的取值范围为， 已知集合，则， 已知集合，，，则， 设,则的最小值为， 下列说法中正确的有， 下列不等式一定成立的是等内容，欢迎下载使用。
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】当时，故充分性成立，
由可得或，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2. 若，则b的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据即可求解.
详解】解：
故选：C.
3. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的交集运算可得答案.
【详解】因为，所以，
故选：A
4. 若a＞0,b＞0,a＋b＝1,则的最小值为
A. B. C. 2D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】利用a+b=1，再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．
【详解】∵a+b=1，
∴=（a+b）（）=2+（）≥4，当且仅当a=，b=时取等号．
∴的最小值4．
故选D．
【点睛】熟练“乘1法”和基本不等式的性质是解题的关键．
5. 已知集合，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合，然后根据补集的概念即可求出结果.
【详解】根据题意，，所以，
故选：C.
6. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式恒成立，只需求（）的最小值即可
【详解】令（），
则，当且仅当=2时，等号成立.
由题意知，所以.
故选：A.
7. 近来猪肉价格起伏较大，假设第一周､第二周的猪肉价格分别为a元/斤､b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲､乙两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D. 的大小无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】分别计算甲､乙购买猪肉的平均单价，作商法，结合基本不等式比较它们的大小.
【详解】甲购买猪肉的平均单价为：，
乙购买猪肉的平均单价为：，
显然，
且，
当且仅当时取“=”，
因为两次购买的单价不同，即，
所以，
即乙的购买方式平均单价较大.
故选：C.
8. 设,则的最小值为（）
A. 0B. 1C. 2D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】首先由等式把转化为，再应用常数分离得到，最后应用基本不等式得到最小值.
【详解】由题意，所以，
得到，
当且仅当，即时，等号成立，则的最小值为．
故选：A.
二、多选题（每小题5分，每小题不答或答错得0分，少选得2分，共20分）
9. 下列说法中正确的有（）
A. “”是“”成立的充分不必要条件
B. 命题：，均有，则的否定：，使得
C. 设是两个数集，则“”是“”的充要条件
D. 设是两个数集，若，则，
【答案】ACD
【解析】
【分析】举反例可判断A选项；由全称例题的否定是特称命题可判断B选项；由集合间的交集运算和集合间的关系可判断C选项；由集合非空和集合与元素间的关系可判断D选项.
【详解】解：对于A，当时，能推出，而由不能推出，如，而，
所以 “”是“”成立的充分不必要条件，故A正确；
对于B，命题：，均有，则命题的否定：，使得，故B不正确；
对于C，是两个数集，则由能推出，反之，由能推出，
所以 “”是“”的充要条件，故C正确；
对于D，是两个数集，若，即集合A、B存在相同的元素，则，，故D正确，
故选：ACD.
10. 下列不等式一定成立的是（）.
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】对于选项A，取特殊值即可判断不等式不恒成立；
对于选项B，利用均值不等式即可判断不等式恒成立；
对于选项C，利用作差法，再配方即可判断不等式恒成立；
对于选项D，由，可判断不等式不成立.
【详解】解：对于选项A，当时，，所以A不一定成立；
对于选项B，当时，不等式成立，所以B一定成立；
对于选项C，不等式，即恒成立，所以C一定成立；
对于选项D，因为，所以，所以D不成立，
即不等式一定成立的是BC，
故选BC.
【点睛】本题考查了均值不等式的应用，重点考查了运算能力，属中档题.
11. 设，，若，则实数的值可以为（）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先将集合表示出来，由可得，则根据集合中的元素讨论即可求出的值.
【详解】集合，由可得，
则分和或或，
当时，满足即可；
当时，满足，解得：；
当时，满足，解得：；
当时，显然不符合条件，
所以的值可以为，
故选：
12. 若，，且，则下列说法正确的是（）
A. 的最大值为B. 的最小值为2
C. 的最小值是D. 的最小值为4
【答案】ABD
【解析】
【分析】直接根据基本不等式即可判断A；结合即可判断B；由题知，，进而结合基本不等式“1”的用法求解即可判断C；根据，结合基本不等式求解即可判断D.
【详解】解：对于A选项，因为，，，所以，，当且仅当时等号成立，故A选项正确；
对于B选项，由不等式得，所以当且仅当时等号成立，故的最小值为，故B选项正确；
对于C选项，由得，所以，当且仅当，即时等号成立，此时与矛盾，故取不到最小值，故C选项错误；
对于D选项，由题知，当且仅当时等号成立，故的最小值为4，D选项正确.
故选：ABD
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知集合，，则集合的子集个数为__.
【答案】
【解析】
【分析】利用列举法求出集合，再利用集合子集个数的计算公式得出结果.
【详解】，，，
则集合有个元素，其子集个数为，故答案为.
【点睛】本题考查集合子集个数的计算，同时也考查了集合中的新定义，解题的关键就是确定出所求集合的元素的个数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
14. 已知,，则,的大小关系是_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用作差法直接比较大小.
【详解】解：因为,
所以
所以.
故答案为：.
15. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为______．
【答案】8
【解析】
【分析】先将给定函数式表示成已知不等式左边的形式，再利用该不等式求解即可.
【详解】因为，，，，则，当且仅当时，等号成立，
又，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为8.
故答案为：8.
16. 已知，，且，则最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用换元法，设，，所以，再根据基本不等式中“1”的代换，即可求出．
【详解】设，，所以．
故
，
当且仅当时取等号，即时取等号．
故答案为：．
【点睛】本题解题关键是通过换元法设，，转化为常见基本不等式模型，在的条件下求的最小值，从而顺利求解．
四、解答题（17题10分，18､19､20､21､22题每题12分，共170分）
17. 已知全集，集合，或．
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）先出集合A，再求两集合的并集，
（2）先求出集合B的补集，再求出
【小问1详解】
由题，
因为或，
所以或；
【小问2详解】
全集，集合，或，
所以，
所以．
18. 设，已知集合，．
（1）当时，求实数的范围；
（2）设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意知，4是集合B元素，代入可得答案；
（2）由题可得是的真子集，分类讨论为空集和不为空集合两种情况，即可求得m的取值范围.
【小问1详解】
由题可得，则；
【小问2详解】
由题可得是的真子集，
当，则；
当，，则（等号不同时成立），解得
综上：.
19. 已知集合,
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1），（2）或
【解析】
【详解】试题分析：（1）对于字母系数的方程，一般先看最高项的系数是否为零，不要看到最高次数为2，就认为是一元二次方程，要分类讨论其系数；(2)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解
试题解析：
（1） ①当时，
②当时，即且
综上：
（2）①，
②,，或时，a无解，综上：或.
考点：集合的性质及运算.
20. （1）已知，，求的取值范围；
（2）已知x，y，z都是正数，求证：．
【答案】（1）；（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）将表示成，再根据不等式的性质求解即可；
（2）利用基本不等式即可得证．
【详解】（1）令
所以，得
所以
因为，
所以，
所以，即
故的取值范围为．
（2）证明：由x，y，z都是正数，
则，，
相加可得，，当且仅当时，取得等号．
21. （1）若，求的最小值
（2）若且，求的最小值
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）凑项得，然后利用基本不等式求最值；
（2）将目标式变为，展开然后利用基本不等式求最值.
【详解】（1）,，
,
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为；
（2），，
，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
22. 改革开放40年来浙江省始终坚持保护环境和节约资源，坚持推进生态文明建设，金华市政府也越来越重视生态系统的重建和维护，若市财政下拨一项专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数（单位：百万元），处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：.
（1）设分配给植绿护绿项目的资金为x（百万元），则两个生态项目五年内带来的生态收益总和为y，试将y表示成关于x的函数；
（2）生态项目的投资开始利洋薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋，试求出y的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？
【答案】（1），
（2）分配给植绿护绿项目的资金为40百万元，处理污染资金为60百万元时，利润最大为52百万元．
【解析】
【分析】（1）根据已给数学模型直接列出函数解析式；
（2）由（1）中函数解析式，利用基本不等式得最小值．
【小问1详解】
由已知，即，（）；
【小问2详解】
由（1），
当且仅当，即时等号成立．
所以分配给植绿护绿项目的资金为40百万元，处理污染资金为60百万元时，利润最大为52百万元．
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】当时，故充分性成立，
由可得或，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2. 若，则b的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据即可求解.
详解】解：
故选：C.
3. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的交集运算可得答案.
【详解】因为，所以，
故选：A
4. 若a＞0,b＞0,a＋b＝1,则的最小值为
A. B. C. 2D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】利用a+b=1，再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．
【详解】∵a+b=1，
∴=（a+b）（）=2+（）≥4，当且仅当a=，b=时取等号．
∴的最小值4．
故选D．
【点睛】熟练“乘1法”和基本不等式的性质是解题的关键．
5. 已知集合，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合，然后根据补集的概念即可求出结果.
【详解】根据题意，，所以，
故选：C.
6. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式恒成立，只需求（）的最小值即可
【详解】令（），
则，当且仅当=2时，等号成立.
由题意知，所以.
故选：A.
7. 近来猪肉价格起伏较大，假设第一周､第二周的猪肉价格分别为a元/斤､b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲､乙两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D. 的大小无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】分别计算甲､乙购买猪肉的平均单价，作商法，结合基本不等式比较它们的大小.
【详解】甲购买猪肉的平均单价为：，
乙购买猪肉的平均单价为：，
显然，
且，
当且仅当时取“=”，
因为两次购买的单价不同，即，
所以，
即乙的购买方式平均单价较大.
故选：C.
8. 设,则的最小值为（）
A. 0B. 1C. 2D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】首先由等式把转化为，再应用常数分离得到，最后应用基本不等式得到最小值.
【详解】由题意，所以，
得到，
当且仅当，即时，等号成立，则的最小值为．
故选：A.
二、多选题（每小题5分，每小题不答或答错得0分，少选得2分，共20分）
9. 下列说法中正确的有（）
A. “”是“”成立的充分不必要条件
B. 命题：，均有，则的否定：，使得
C. 设是两个数集，则“”是“”的充要条件
D. 设是两个数集，若，则，
【答案】ACD
【解析】
【分析】举反例可判断A选项；由全称例题的否定是特称命题可判断B选项；由集合间的交集运算和集合间的关系可判断C选项；由集合非空和集合与元素间的关系可判断D选项.
【详解】解：对于A，当时，能推出，而由不能推出，如，而，
所以 “”是“”成立的充分不必要条件，故A正确；
对于B，命题：，均有，则命题的否定：，使得，故B不正确；
对于C，是两个数集，则由能推出，反之，由能推出，
所以 “”是“”的充要条件，故C正确；
对于D，是两个数集，若，即集合A、B存在相同的元素，则，，故D正确，
故选：ACD.
10. 下列不等式一定成立的是（）.
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】对于选项A，取特殊值即可判断不等式不恒成立；
对于选项B，利用均值不等式即可判断不等式恒成立；
对于选项C，利用作差法，再配方即可判断不等式恒成立；
对于选项D，由，可判断不等式不成立.
【详解】解：对于选项A，当时，，所以A不一定成立；
对于选项B，当时，不等式成立，所以B一定成立；
对于选项C，不等式，即恒成立，所以C一定成立；
对于选项D，因为，所以，所以D不成立，
即不等式一定成立的是BC，
故选BC.
【点睛】本题考查了均值不等式的应用，重点考查了运算能力，属中档题.
11. 设，，若，则实数的值可以为（）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先将集合表示出来，由可得，则根据集合中的元素讨论即可求出的值.
【详解】集合，由可得，
则分和或或，
当时，满足即可；
当时，满足，解得：；
当时，满足，解得：；
当时，显然不符合条件，
所以的值可以为，
故选：
12. 若，，且，则下列说法正确的是（）
A. 的最大值为B. 的最小值为2
C. 的最小值是D. 的最小值为4
【答案】ABD
【解析】
【分析】直接根据基本不等式即可判断A；结合即可判断B；由题知，，进而结合基本不等式“1”的用法求解即可判断C；根据，结合基本不等式求解即可判断D.
【详解】解：对于A选项，因为，，，所以，，当且仅当时等号成立，故A选项正确；
对于B选项，由不等式得，所以当且仅当时等号成立，故的最小值为，故B选项正确；
对于C选项，由得，所以，当且仅当，即时等号成立，此时与矛盾，故取不到最小值，故C选项错误；
对于D选项，由题知，当且仅当时等号成立，故的最小值为4，D选项正确.
故选：ABD
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知集合，，则集合的子集个数为__.
【答案】
【解析】
【分析】利用列举法求出集合，再利用集合子集个数的计算公式得出结果.
【详解】，，，
则集合有个元素，其子集个数为，故答案为.
【点睛】本题考查集合子集个数的计算，同时也考查了集合中的新定义，解题的关键就是确定出所求集合的元素的个数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
14. 已知,，则,的大小关系是_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用作差法直接比较大小.
【详解】解：因为,
所以
所以.
故答案为：.
15. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为______．
【答案】8
【解析】
【分析】先将给定函数式表示成已知不等式左边的形式，再利用该不等式求解即可.
【详解】因为，，，，则，当且仅当时，等号成立，
又，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为8.
故答案为：8.
16. 已知，，且，则最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用换元法，设，，所以，再根据基本不等式中“1”的代换，即可求出．
【详解】设，，所以．
故
，
当且仅当时取等号，即时取等号．
故答案为：．
【点睛】本题解题关键是通过换元法设，，转化为常见基本不等式模型，在的条件下求的最小值，从而顺利求解．
四、解答题（17题10分，18､19､20､21､22题每题12分，共170分）
17. 已知全集，集合，或．
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）先出集合A，再求两集合的并集，
（2）先求出集合B的补集，再求出
【小问1详解】
由题，
因为或，
所以或；
【小问2详解】
全集，集合，或，
所以，
所以．
18. 设，已知集合，．
（1）当时，求实数的范围；
（2）设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意知，4是集合B元素，代入可得答案；
（2）由题可得是的真子集，分类讨论为空集和不为空集合两种情况，即可求得m的取值范围.
【小问1详解】
由题可得，则；
【小问2详解】
由题可得是的真子集，
当，则；
当，，则（等号不同时成立），解得
综上：.
19. 已知集合,
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1），（2）或
【解析】
【详解】试题分析：（1）对于字母系数的方程，一般先看最高项的系数是否为零，不要看到最高次数为2，就认为是一元二次方程，要分类讨论其系数；(2)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解
试题解析：
（1） ①当时，
②当时，即且
综上：
（2）①，
②,，或时，a无解，综上：或.
考点：集合的性质及运算.
20. （1）已知，，求的取值范围；
（2）已知x，y，z都是正数，求证：．
【答案】（1）；（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）将表示成，再根据不等式的性质求解即可；
（2）利用基本不等式即可得证．
【详解】（1）令
所以，得
所以
因为，
所以，
所以，即
故的取值范围为．
（2）证明：由x，y，z都是正数，
则，，
相加可得，，当且仅当时，取得等号．
21. （1）若，求的最小值
（2）若且，求的最小值
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）凑项得，然后利用基本不等式求最值；
（2）将目标式变为，展开然后利用基本不等式求最值.
【详解】（1）,，
,
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为；
（2），，
，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
22. 改革开放40年来浙江省始终坚持保护环境和节约资源，坚持推进生态文明建设，金华市政府也越来越重视生态系统的重建和维护，若市财政下拨一项专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数（单位：百万元），处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：.
（1）设分配给植绿护绿项目的资金为x（百万元），则两个生态项目五年内带来的生态收益总和为y，试将y表示成关于x的函数；
（2）生态项目的投资开始利洋薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋，试求出y的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？
【答案】（1），
（2）分配给植绿护绿项目的资金为40百万元，处理污染资金为60百万元时，利润最大为52百万元．
【解析】
【分析】（1）根据已给数学模型直接列出函数解析式；
（2）由（1）中函数解析式，利用基本不等式得最小值．
【小问1详解】
由已知，即，（）；
【小问2详解】
由（1），
当且仅当，即时等号成立．
所以分配给植绿护绿项目的资金为40百万元，处理污染资金为60百万元时，利润最大为52百万元．
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