湖北省黄冈市2023_2024学年高三数学上学期9月调研考试试题含解析

这是一份湖北省黄冈市2023_2024学年高三数学上学期9月调研考试试题含解析，共21页。试卷主要包含了 柯西不等式， 已知，则， 在中，，，，则的面积为， 以下说法正确的有， 已知，则下列选项正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1. 已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意作出Venn图，再由集合的运算逐一判断即可
【详解】全集，集合，满足，绘制Venn图，如下：
对于A：，A错误；
对于B：，B错误；
对于C：，C错误；
对于D：，D正确.
故选：D.
2. 若复数，则（）
A. 0B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据等比数列的求和公式以及的周期性即可求解.
【详解】，
故选：A
3. 已知数列是正项等比数列，数列满足.若，（）
A. 24B. 32C. 36D. 40
【答案】C
【解析】
【分析】利用等比数列的性质，结合对数的运算法则即可得解.
【详解】因为是正项等比数列，，
所以，则，
所以
.
故选：C.
4. 柯西不等式（Cauchy—SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时即时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用柯西不等式直接求解即可.
【详解】该函数的定义域为，由柯西不等式可得：
，
当且仅当时取等号，即当时取等号，
故选：A
5. 已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，结合诱导公式、二倍角余弦公式可得，即可求值.
【详解】由题意有：，
∴，又，
∴.
故选：A.
6. 已知函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦型函数的对称性、奇偶性、单调性进行求解即可.
【详解】因为函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，
所以有，
所以，
因为是奇函数，
所以，由可得：，
而，所以，
当时，，
因为，所以，
即，
当时，，显然此时函数单调递减，符合题意，
所以；
当时，，
因为，所以，
即，
当时，，显然此时函数不是单调递减函数，不符合题意，
故选：D
7. 在中，，，，则的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理求出，进而得到，，从而求出，利用三角形面积公式求出答案.
【详解】由正弦定理得，
因为，，，
所以，故，
则，
因为，
所以，，
故，
故.
故选：D
8. 已知函数及其导函数定义域均为，记，且，为偶函数，则（）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】对两边同时求导，结合函数的周期和偶函数的性质进行求解即可.
【详解】因为为偶函数，，
所以，
对两边同时求导，得，所以有
所以函数的周期为，
在中，令，所以，
因此，
因为为偶函数，
所以有，
，
由可得：，
所以，
故选：C
【点睛】关键点睛：本题的关键是对两边同时求导，再利用赋值法进行求解.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 以下说法正确的有（）
A. “”是“”的必要不充分条件
B. 命题“，”的否定是“，”
C. “”是“”的充分不必要条件
D. 设，，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】CD
【解析】
【分析】根据充分、必要条件、存在量词命题的否定等知识确定正确答案.
【详解】A选项，，解得，
所以“”是“”的充分不必要条件，A选项错误.
B选项，因为由，得，即，
命题“，”的否定是“，”，所以B选项错误.
C选项，；
所以，所以“”是“”的充分不必要条件，
所以C选项正确.
D选项，由于，所以“”是“”的必要不充分条件，
所以D选项正确.
故选：CD
10. 已知，则下列选项正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据对数运算、基本不等式等知识确定正确答案.
【详解】依题意，，则，，
所以，
所以，所以A选项正确.
，所以B选项正确.
，
则，所以，所以C选项正确.
，
所以
，所以D选项错误.
故选：ABC
11. 设数列前项和为，满足，且，则下列选项正确的是（）
A.
B. 数列为等差数列
C. 当时有最大值
D. 设，则当或时数列的前项和取最大值
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，根据求出为等差数列，公差为，首项为，得到通项公式；B选项，计算出，得到，从而得到，得到B正确；C选项，根据及二次函数的最值得到C错误；D选项，先得到时，，，，当时，，且，得到结论.
【详解】A选项，当时，，
又，解得，
当时，①，
②，①-②得，
，
即，故，
因为，所以不能对任意的恒成立，
故，
所以，
故为等差数列，公差为，首项为，
所以通项公式为，A正确；
B选项，，
故，则当时，，
故为等差数列，B正确；
C选项，，
故当时，取得最大值，C错误；
D选项，令得，令得，
则当时，，
当时，，当时，，
当时，，
又，，
则当或时数列的前项和取最大值，D正确.
故选：ABD
12. 点，分别是的外心､垂心，则下列选项正确的是（）
A若且，则
B. 若，且，则
C. 若，，则的取值范围为
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】A.根据向量的运算以及基本定理的推理，确定点的位置，即可判断A；B.根据条件，确定的形状，即可判断B；C.建立坐标系，将利用三角函数表示，根据三角函数的性质，即可判断C；根据垂心的性质，得，再结合数量积公式，即可求解.
【详解】A.由，可知，点共线，
又可知，点在的角平分线上，
所以为的角平分线，与不一定相等，故A错误；
B.若，则点是的中点，点又是的外心，
所以，，故B正确；
C. 因为，所以，如图，建立平面直角坐标系，
设，，，
因为，所以，
得，，
，，
，，则，故C正确；
D.因为，所以，
即，则，
同理，，所以，
设，
因为，所以，
即，则，
，即，
则，
，，故D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题考查向量数量积公式的应用，以及垂心，外心的综合应用问题，本题的C选项的关键是转化为三角函数表示点的坐标，利用三角函数即可求解，D选项的关键是公式的应用.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若向量，满足，，且，则与的夹角为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.
【详解】由，
由，
因为，所以
故答案为：
14. 若“使”为假命题，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】将问题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解.
【详解】因为“使”为假命题，
所以“，”为真命题，
其等价于上恒成立，
又因对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
而，所以，
所以，即实数的取值范围为.
故答案为：.
15. 设矩形的周长为12，把沿向折叠，折后交于点，则的面积最大值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】作图，令折叠后对应为，且()，易得，再设且，勾股定理列方程得，最后应用三角形面积公式、基本不等式求面积最大值，注意取值条件.
【详解】如下图，折叠后对应为，令且，则，
由图知：，，，则，
所以，而，
令且，则，
所以，则，
则，
当且仅当时等号成立，
所以的面积最大值为.
故答案为：
16. 若存在两个不等的正实数，，使得成立，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】对已知等式进行变形，构造新函数，利用导数判断函数的单调性，结合题意进行求解即可.
【详解】，
构造函数，
所以原问题等价于存在两个不等正实数，，使得，
显然函数不是正实数集上的单调函数，
，
设，
当时，单调递增，
当时，单调递减，故，
当时，即时，单调递增，所以不符合题意；
当时，即时，显然存在，使得，
因此一定存在区间，使得在上异号，因此函数在上单调性不同，
因此一定存在两个不等的正实数，，使得成立，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是由构造函数.
四､解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 设等差数列前项和，，满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，设数列的前项和为，求证.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可；
（2）利用等差数列前项和公式，结合裂项相消法进行求解即可.
【小问1详解】
依题意有，
，，
又为等差数列，设公差为，
，.
【小问2详解】
由（1）可得，
，，，，，
.
18. 已知函数
（1）若其图象在点处的切线方程为，求，的值；
（2）若1是函数的一个极值点，且函数在上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，且，由此即可得解.
（2）一方面：由题意，且至少有两个零点（否则单调递增没有极值点）；另一方面：由题意在上恒成立，分离变量即可；结合两方面即可得解.
【小问1详解】
点在切线上，
，①
，，②
联立①②解得，.
【小问2详解】
依题意有，，，
且，；
又，，
则时，，即，
令，，求导得，所以单调递增，
；
又，所以的取值范围为.
19. 设，，函数.
（1）求关于的不等式解集；
（2）若在上的最小值为，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题可得，然后分类讨论即得；
（2）根据二次函数的性质结合条件可得，进而即得.
【小问1详解】
因为，又，，
的解集等价于的解集，
当即时，不等式的解集为，
当即时，不等式的解集为，
当即时，不等式的解集为；
综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为；
【小问2详解】
因为，，，函数的对称轴为，抛物线开口向下，
又在上的最小值为，
，即，
，即的取值范围为.
20. 已知向量，，设，且的图象关于点对称.
（1）若，求的值；
（2）若函数的图象与函数的图象关于直线对称，且在区间上的值域为，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合正弦的二倍角公式、正弦型函数的对称性、同角的三角函数关系式、两角差的正弦公式进行求解即可；
（2）根据函数对称性，结合正弦型函数的性质进行求解即可.
【小问1详解】
若的图象关于点对称，则，
，.
，.
若，则，同理可得.
；
【小问2详解】
若函数的图象与的图象关于直线对称，则
.
因为，所以，
而在上的值域为，
则，即，
因为，所以，
，故的取值范围为
21. 在中，，，分别为角，，所对的边，为边上的高，设，且.
（1）若，求的值；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先根据余弦定理，并结合三角形面积公式，求得，再代入二倍角的正切公式，即可求解；（2）首先通过辅助线，构造可得，结合（1）的结果可得的范围，再根据二倍角公式，求得的取值范围.
【小问1详解】
在中，，若.
又，
【小问2详解】
由（1）知.
如图，在中，过作的垂线，且使，则，
，即，得，
，
,
设，，在区间单调递减，
，即,
22. 已知函数.
（1）讨论函数的极值点个数；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数极值的定义，结合一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可；
（2）利用换元法构造函数，根据导数的性质进行求解即可.
【小问1详解】
，，.
令，方程的判别式为，
①：当即时，，单调递增，无极值点；
②：当即时，函数有两个零点，，
（i）当时.，，当时，单调递减，
当时，单调递增，有一个极小值点；
（ii）当时，，
当与时，单调递增，
当时，单调递减，有两个极值点.
综上：当时无极值点；当时有两个极值点；
当时有一个极小值点.
【小问2详解】
不等式恒成立，即.
令，，
.
令，，
当时，，单调递增，又，
时，不合题意，.
当时，单调递减，当时单调递增，.
而，.
令，，当时单调递增，
当时单调递减，
，即.
..