山东省枣庄市2023_2024学年高二数学上学期10月月考试题含解析

这是一份山东省枣庄市2023_2024学年高二数学上学期10月月考试题含解析，共25页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线的倾斜角是（）
A. B. C. D.
2. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（）
A. B. C. D.
3. 已知⊙O的圆心是坐标原点O，且被直线截得的弦长为6，则⊙O的方程为（）
AB. C. D.
4. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，，则直线与平面（）
A. 垂直B. 平行C. 相交但不垂直D. 平行或在平面内
5. 对于圆上任意一点，的值与，无关，则当时，的最大值是（）
AB. 1C. 2D. 4
6. 如图，在三棱锥中，是边长为3的正三角形，是上一点，，为的中点，为上一点且，则（）
A. 5B. 3C. D.
7. 美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（）
A. 1.8cmB. 2.5cmC. 3.2cmD. 3.9cm
8. 阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（）
AB. C. D.
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9. 已知直线过点，下列说法正确的是（）
A. 若直线的倾斜角为，则方程为
B. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则方程为
C. 直线与圆：始终相交
D. 若直线和以为端点的线段有公共点，则直线的斜率
10. 已知圆，下列说法正确的是（）
A. 若圆的半径为1，则
B. 若圆不经过第二象限，则
C. 若直线恒经过的定点在圆内，则当被圆截得的弦最短时，其方程为
D. 若，过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为
11. 已知，，是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（）
A. 若，，则
B. 若，，两两共面，则，，共面
C. 对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得
D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底
12. 在正方体中，分别为线段上的动点，则下列结论正确的是（）
A. 平面B. 直线与平面所成角正弦值为定值
C. 平面平面D. 点到平面的距离为定值
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13. 试写出一个点的坐标：__________，使之与点，三点共线．
14. 已知､是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是___________.
15. 瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，若直线与的欧拉线平行，则实数的值为________．
16. 一曲线族的包络线（Envelpe）是这样的曲线：该曲线不包含于曲线族中，但过该曲线上的每一点，都有曲线族中的一条曲线与它在这一点处相切，若圆：是直线族的包络线，则，满足的关系式为___________；若曲线是直线族的包络线，则的长为___________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知向量，，.
（Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值；
（Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值.
18. 已知直线经过点，且与轴､轴的正半轴交于两点，是坐标原点，若满足__________.
（1）求直线的一般式方程；
（2）已知点为直线上一动点，求最小值.
试从①直线的方向向量为；②直线经过与的交点；③的面积是4，这三个条件中，任选一个补充在上面问题的横线中，并解答.注：若选择两个或两个以上选项分别解答，则按第一个解答计分.
19. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD正方形，PD⊥平面ABCD，，E、F分别是PC、AD中点．
（1）求直线DE和PF夹角的余弦值；
（2）求点E到平面PBF的距离．
20. 在平面直角坐标系中，已知圆心在直线上的圆经过点，但不经过坐标原点，并且直线与圆相交所得的弦长为4.
（1）求圆的一般方程；
（2）若从点发出的光线经过轴反射，反射光线刚好通过圆的圆心，求反射光线所在的直线方程（用一般式表达）.
21. 如图，直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值．
22. 已知的三个顶点分别为，，，动点满足．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若，为（1）中曲线上的两个动点，为曲线上的动点，且，试问直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
枣庄八中东校高二年级10月月考
数学试题
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
2023.10
一、单项选择题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线的倾斜角是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过直线方程求出斜率，进而求出直线的倾斜角.
【详解】由题意，直线的斜率为，设直线的倾斜角为，即.
故选：D.
2. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据投影向量的定义求解即可.
【详解】依题意，向量在向量方向上的投影向量为：，
故选：D
3. 已知⊙O的圆心是坐标原点O，且被直线截得的弦长为6，则⊙O的方程为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合点到直线距离公式求出弦心距，再由勾股定理求出半径，即可得解.
【详解】∵⊙O的圆心是坐标原点O，且被直线截得的弦长为6，设⊙O的方程为x2+y2=r2，则弦心距为，解得r2=12，可得圆的标准方程为x2+y2=12.
故选：C.
4. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，，则直线与平面（）
A. 垂直B. 平行C. 相交但不垂直D. 平行或在平面内
【答案】D
【解析】
【分析】计算结果，从而可判断.
【详解】因为，所以，
所以直线与平面平行或在平面内.
故选：D.
5. 对于圆上任意一点，的值与，无关，则当时，的最大值是（）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据点到直线的距离公式可得到表示点到直线和直线的距离和的倍，从而可得出当时，的最大值是两平行线间距离的一半.
【详解】因为，
所以表示点到直线和直线的距离和的倍.
所以要使的值与，无关，需圆心到两直线的距离都大于等于半径，
又因为，
所以两平行线和之间的距离为，
所以的最大值是.
故选：C.
6. 如图，在三棱锥中，是边长为3的正三角形，是上一点，，为的中点，为上一点且，则（）
A. 5B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以为一组基底，表示求解.
【详解】解：以为一组基底，
则，
，
，
，
，
，
，
所以.
故选：D
7. 美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（）
A. 1.8cmB. 2.5cmC. 3.2cmD. 3.9cm
【答案】B
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，求出直线的方程，利用点到直线距离公式进行求解
【详解】解：如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，，
所以，
利用点斜式方程可得到直线：，整理为，
所以原点O到直线距离为，
故选:B
8. 阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点的轨迹方程可得，结合条件可得，即得.
【详解】设，，所以，
又，所以．
因为且，所以，
整理可得，
又动点M的轨迹是，
所以，解得，
所以，又，
所以，因为，
所以的最小值为．
故选：C．
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9. 已知直线过点，下列说法正确的是（）
A. 若直线的倾斜角为，则方程为
B. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则方程为
C. 直线与圆：始终相交
D. 若直线和以为端点的线段有公共点，则直线的斜率
【答案】AC
【解析】
【分析】根据直线方程的形式，可判定A正确，截距的定义，分类讨论，可判定B错误；根据点与圆的位置关系，可判定C正确；根据直线的位置关系和斜率公式，可判定D错误.
【详解】对于A中，当直线的倾斜角为，则过点的直线方程为，所以A正确；
对于B中，当直线过原点时，过点直线方程为，此时在坐标轴上的截距相等；
当直线不过原点时，设所求直线方程为，将点代入方程，求得，此时直线方程为，所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为或，所以B错误；
对于C中，由，可得点在圆内，所以直线与圆：始终相交，所以 C正确；
对于D中，根据题意，设，可得，
要使得直线和以为端点的线段有公共点，
如图所示，则满足，所以D错误.
故选：AC.
10. 已知圆，下列说法正确的是（）
A. 若圆的半径为1，则
B. 若圆不经过第二象限，则
C. 若直线恒经过的定点在圆内，则当被圆截得的弦最短时，其方程为
D. 若，过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为
【答案】AD
【解析】
【分析】圆的方程化为标准方程可判断A，根据点到圆心的距离判断B，由直线所过定点及定点与圆心连线与直线垂直判断C，根据切点写出切线方程，再由曲线与方程的关系得出切点弦所在直线方程判断D.
【详解】圆的标准方程为.
对于A，若圆的半径为1，则，即，故A正确；
对于，因为圆心在第四象限，所以若圆不经过第二象限，则原点不在圆内，则，即，故B错误；
对于，直线恒经过定点，当被圆截得的弦最短时，，因为的斜率为1，所以的斜率为，其方程为，故C错误；
对于D，当时，圆的方程为，其半径，
设切点，则直线的方程分别为，因为点在切线上，所以，即，所以直线的方程为，故D正确.
故选：AD
11. 已知，，是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（）
A. 若，，则
B. 若，，两两共面，则，，共面
C. 对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得
D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底
【答案】AD
【解析】
【详解】根据空间向量共面的判定定理及空间向量基底的概念逐项判断即可.
【解答】解：，，是空间的三个单位向量，
由，，则，故A正确；
，，两两共面，但是，，不一定共面，，，可能两两垂直，故B错误；
由空间向量基本定理，可知只有当，，不共面，才能作为基底，才能得到，故C错误；
若是空间一组基底，则，，不共面，可知也不共面，所以也是空间的一组基底，故D正确．
故选：AD.
12. 在正方体中，分别为线段上的动点，则下列结论正确的是（）
A. 平面B. 直线与平面所成角的正弦值为定值
C. 平面平面D. 点到平面的距离为定值
【答案】ACD
【解析】
【分析】设正方体边长为，以为坐标原点，为轴建立坐标系，利用空间向量法对各选项逐一判断即可.
【详解】设正方体边长为，
以为坐标原点，为轴建立如图所示坐标系，
选项A：，，，，
则，，，
设平面的法向量，则，
取可得平面的一个法向量，
因为，所以平面，A正确；
选项B：设，则，
由正方体的性质可知为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则不是定值，B错误；
选项C：，，，
则，，
设平面的法向量，则，
取可得平面的一个法向量，
因为，所以平面平面，C正确；
选项D：设，则，
则点到平面的距离是定值，D正确；
故选：ACD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13. 试写出一个点的坐标：__________，使之与点，三点共线．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】设出点的坐标，利用空间向量共线得到，求出，写出一个符合要求的即可.
【详解】根据题意可得，设，则设，
即
故，不妨令，则，故．
故答案为：
14. 已知､是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是___________.
【答案】3
【解析】
【分析】利用空间向量的数量积计算公式得到，求出最小值，进而求出答案.
【详解】因为互相垂直，所以，
，
当且仅当时，取得最小值，最小值为9，
则的最小值为3.
故答案为：3
15. 瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，若直线与的欧拉线平行，则实数的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，求得的重心和外心，进而求得的欧拉线的方程，结合两直线平行，即可求解.
【详解】由的顶点为，
可得的重心为，即为，
由为直角三角形，所以外心在斜边的中点，即，
可得三角形的欧拉线方程为，
因为直线与平行，可得，
解得.
故答案为：.
16. 一曲线族的包络线（Envelpe）是这样的曲线：该曲线不包含于曲线族中，但过该曲线上的每一点，都有曲线族中的一条曲线与它在这一点处相切，若圆：是直线族的包络线，则，满足的关系式为___________；若曲线是直线族的包络线，则的长为___________.
【答案】 ①. ②. .
【解析】
【分析】根据题意，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，列出方程，分析方程，即可求解.
【详解】由题意，若圆：是直线族的包络线，
可得，可得；
又由曲线是直线族的包络线，
可得为定值，则，可得，此时，
所以曲线的方程为，所以曲线的周长为.
故答案为：；.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知向量，，.
（Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值；
（Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值.
【答案】（Ⅰ）实数和的值分别为和.（Ⅱ）
【解析】
【分析】(Ⅰ)根据可求得,再根据垂直的数量积为0求解即可.
(Ⅱ)根据共面有,再求解对应的系数相等关系求解即可.
【详解】解：(Ⅰ)因为,所以.
且.
因为向量与垂直,
所以
即.
所以实数和的值分别为和.
(Ⅱ)因为向量与向量，共面,所以设（）.
因为,
所以
所以实数的值为.
【点睛】本题主要考查了空间向量的基本求解方法,包括模长的运算以及垂直的数量积表达与共面向量的关系等.属于基础题.
18. 已知直线经过点，且与轴､轴的正半轴交于两点，是坐标原点，若满足__________.
（1）求直线的一般式方程；
（2）已知点为直线上一动点，求最小值.
试从①直线的方向向量为；②直线经过与的交点；③的面积是4，这三个条件中，任选一个补充在上面问题的横线中，并解答.注：若选择两个或两个以上选项分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三种不同的条件，求出直线的斜率，得出直线的点斜式方程，在转化为一般式即可.
（2）设点关于直线的对称点为，利用中点坐标在直线上和两直线垂直斜率之积为，列出方程组求出对称点的坐标，利用对称即可求得最短距离.
【小问1详解】
解：若选①，由直线的方向向量为得，直线的斜率为，
所以直线的方程为，
所以直线的一般式方程为.
若选②，直线经过与的交点，
联立，解得，
所以交点坐标为，
直线的斜率为，
所以直线的方程为，
所以直线的一般式方程为.
若选③，由题意设直线的方程为，则
所以直线的一般式方程为.
【小问2详解】
解：设点关于直线的对称点为，
由题意得，，解得，
所以，
19. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，，E、F分别是PC、AD中点．
（1）求直线DE和PF夹角余弦值；
（2）求点E到平面PBF的距离．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，以点D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.
（2）由（1）求出平面PBF的法向量，利用空间向量即可求出点E到平面PBF的距离.
【小问1详解】
因PD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，则PD、DA、DC三线两两互相垂直，
如图，以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系D-xyz，
则，
则直线DE的方向向量，直线PF的方向向量，
，
所以直线DE和PF夹角的余弦值为.
【小问2详解】
由（1）知，，，，
设平面PBF的法向量，则，令，得，
所以点E到平面PBF的距离为.
20. 在平面直角坐标系中，已知圆心在直线上的圆经过点，但不经过坐标原点，并且直线与圆相交所得的弦长为4.
（1）求圆的一般方程；
（2）若从点发出的光线经过轴反射，反射光线刚好通过圆的圆心，求反射光线所在的直线方程（用一般式表达）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设圆，根据圆心在直线上，圆经过点，并且直线与圆相交所得的弦长为，列出关于的方程组，解出的值，可得圆的标准方程，再化为一般方程即可；
（2）点关于轴的对称点，反射光线所在的直线即为，又因为，利用两点式可得反射光线所在的直线方程，再化为一般式即可.
【小问1详解】
设圆，
因为圆心在直线上，所以有：，
又因为圆经过点，所以有：，
而圆心到直线的距离为，
由弦长为4，我们有弦心距，所以有，
联立成方程组解得：或，
又因为通过了坐标原点，所以舍去.
所以所求圆的方程为：，
化为一般方程为： .
【小问2详解】
点关于轴的对称点，
反射光线所在的直线即为，又因为，
所以反射光线所在的直线方程为：，
所以反射光线所在的直线方程的一般式为： .
21. 如图，直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）连接，由（1）知⊥平面，又直线与平面所成的角的正切值为，可得，以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用二面角的坐标公式计算大小可得答案．
【详解】（1）是正三角形，为的中点，
．
又是直三棱柱，
平面ABC，
．
又，
平面．
（2）连接，由（1）知平面，
∴直线与平面所成的角为，
．
是边长为2的正三角形，则，
．
在直角中，，，
．
建立如图所示坐标系，则，，，，．
，，设平面的法向量为，则，即，解得平面的法向量为．
，，设平面的法向量为，则，即，解得平面的法向量为．
设平面与平面夹角为，则
．
平面与平面夹角的余弦值为．
22. 已知的三个顶点分别为，，，动点满足．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若，为（1）中曲线上的两个动点，为曲线上的动点，且，试问直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】（1）
（2）是，-5
【解析】
【分析】（1）设，利用距离公式得到方程，整理即可得解；
（2）设直线和直线的斜率之积为，设，，，即可得到，再由，为圆：上及，消去参数得到关于的方程，解得即可.
【小问1详解】
设，由则，
化简得动点的轨迹的方程为．
【小问2详解】
设直线和直线的斜率之积为，
事实上，若，则直线必过原点，从而的坐标为，不合题意，舍去．
设，，，则，①，
则，
又，在圆：上，则，，
所以化简得：，
整理得②，
因为，所以，
从而，又为曲线的动点，
所以展开得，
将①代入：，
化简得：，
将②代入：，整理得：，
因为，所以，从而，所以．