四川省内江市2023_2024学年高三数学上学期第一次月考理科试题含解析
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这是一份四川省内江市2023_2024学年高三数学上学期第一次月考理科试题含解析,共22页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题,选做题等内容,欢迎下载使用。
一、单选题(本大题共12小题,共60分)
1. 在复平面内,复数对应的点位于()
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】对复数进行化简,根据复数的几何意义即可.
【详解】
对应的点为,在第四象限,
故选:
2. 已知,,则“,”是“”的()
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件,利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】由,,,,得,于是,
由,,取,满足,显然“,”不成立,
所以“,”是“”的充分不必要条件.
故选:A
3. 已知数列是等差数列,为数列的前项和,,,则()
A. 10B. 15C. 20D. 30
【答案】D
【解析】
【分析】利用等差数列性质“若则”和等差数列前项和公式计算可得答案.
【详解】因为,,
所以
,
可得,
则
故选:D.
4. 执行如图所示的程序框图,将输出的看成输入的的函数,得到函数,若,则()
A. B. C. 或D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据程序框图得到函数解析式,再根据函数解析式求出,再分类讨论,结合函数解析式计算可得.
【详解】由程序框图可得,则,
若,即时,,解得(舍去);
若,即时,,解得
故选:B
5. 函数的图象大致为()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性,结合导数的性质判断其单调性进行判断即可.
【详解】函数的定义域为,关于原点对称,且,
所以函数为奇函数,排除A,B;
当时,函数,则,
当时,函数单调递增,
当时,,函数单调递减,排除D.
故选:C
6. 若直线:平分圆:的面积,则的最小值为().
A. 8B. C. 4D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可知:直线:过圆心,进而可得,再利用基本不等式运算求解.
【详解】由题意可知:圆:的圆心为,
若直线:平分圆:的面积,
则直线:过圆心,
可得,即,
则,
当且仅当,即时,等号成立,
所以的最小值为8.
故选:A.
7. 为了提高命题质量,命题组指派5名教师对数学卷的选择题,填空题和解答题这3种题进行改编,则每种题型至少至少指派1名教师的不同分派方法种数为()
A. 144B. 120C. 150D. 180
【答案】C
【解析】
【分析】将5名老师分为和的两种情况,计算得到答案.
【详解】5名老师分为的情况时:共有;
5名老师分为的情况时:共有,
故共有种不同分派方法.
故选:C.
8. 设实数x,y满足,则的取值范围为()
A. B.
C. D. 前三个答案都不对
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角换元,结合辅助角公式即可得解.
【详解】因为x,y满足,
令,
则,其中,且为锐角,
易知,则,
于是的取值范围是.
故选:B.
9. 已知双曲线的左、右焦点分别为,,过点的直线分别交双曲线的左、右两支于A,B两点,且,若,则双曲线离心率为()
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件,利用双曲线的定义、余弦定理求解作答.
【详解】令,则,
在中,,由余弦定理得,
即,解得,于是,
在中,令双曲线半焦距为,由余弦定理得:,解得,
所以双曲线离心率.
故选:A
10. 函数,若有个零点,则的取值范围是()
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由可得出或,数形结合可知直线与函数的图象有两个交点,从而可知直线与函数有两个零点,结合图形可得出实数的取值范围.
【详解】由,可得,
解得或,如下图所示:
由图可知,直线与函数的图象有两个交点,
又因为函数有四个零点,故直线与函数有两个零点,且,
所以,且,
因此,实数的取值范围是.
故选:D.
11. 设正方体的棱长为1,点E是棱的中点,点M在正方体的表面上运动,则下列命题:
①如果,则点M的轨迹所围成图形的面积为;
②如果∥平面,则点M的轨迹所围成图形的周长为;
③如果∥平面,则点M的轨迹所围成图形的周长为;
④如果,则点M的轨迹所围成图形的面积为.
其中正确的命题个数为()
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由正方体性质得面,根据线面垂直的判定定理、性质定理证面,确定轨迹图形判断①;若分别为中点,连接,根据线面平行、面面平行的判定证面面,确定轨迹图形判断②;若分别为的中点,连接,同②方式证面面,确定轨迹图形判断③;若分别是的中点,并依次连接,先证面面,结合①得面,确定轨迹图形判断④.
【详解】由面,而面,则,又,
又,面,则面,
由面,则,同理,
,面,则面,
所以垂直于面所有直线,且面,
若,则在边长为的正△的边上,
故轨迹图形面积为,①对;
若分别为中点,连接,
由正方体的性质易得,,
所以共面,且为平行四边形,故面即为面,
由面,面,则面,
同理可得面,,面,
所以面面,要使∥平面,则在△边上,
所以轨迹长为,②错;
若分别为的中点,连接,显然,
所以共面,即面,
由,面,面,则面,
又,同理可得面,,面,
所以面面,故面内任意直线都与面平行,
要使∥平面,则在四边形的边上运动,
此时轨迹长为,③对;
若分别是的中点,并依次连接,
易知为正六边形,显然,,
由面,面,则面,同理可得面,
,面,所以面面,
由面,则面,故垂直于面所有直线,
要使,则在边长为的正六边形边上运动,
所以轨迹图形面积为,④对;
故选:C
12. 已知函数是奇函数的导函数,且满足时,,则不等式的解集为()
AB. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件构造函数,求导后可判断当时,函数单调递减,再由,可得当时,,再由为奇函数,得时,,从而可求得不等式的解集.
【详解】令函数,则,即当时,函数单调递减,
因为,所以当时,,当时,.
因为当时,,当时,,所以当时,.
又,,所以当时,;
又为奇函数,所以当时,,
所以不等式可化为或,解得,
所以不等式的解集为,
故选:D.
【点睛】关键点点睛:此题考查导数的应用,考查利用导数解决函数单调性问题,解题的关键是根据题意构造函数,然后求导后可判断函数的单调性,从而利用函数的单调性解不等式,考查数学转化思想,属于较难题.
二、填空题(本大题共4小题,共20分)
13. 展开式中的系数是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据通项公式可求出结果.
【详解】,
的通项公式为,,
所以展开式中的系数是.
故答案为:.
14. 已知向量,,且,则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由,得到,然后由求解.
【详解】解:因为,
所以,
所以,
所以.
故答案为:
15. 已知双曲线的左、右焦点分别为,,双曲线上一点A关于原点O对称的点为B,且满足,,则该双曲线的渐近线方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据垂直关系以及双曲线的对称性可得四边形为矩形,即可结合双曲线的定义求解,进而可求.
【详解】由可得,
由于关于原点对称,,关于原点对称,
所以四边形为矩形,故,
由于又,
所以,因此,
故,进而可得,
所以渐近线方程为:
故答案为:
16. 如图,在直角梯形中,,将沿翻折成,使二面角为,则三棱锥外接球的表面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】外接球的球心为,半径为为中点,为中点,由二面角的定义可得为二面角的平面角,所以有,作于,由题意可求得,进而可得,即可得答案.
【详解】解:如图,设外接球的球心为,半径为为中点,为中点,
因为,所以,∥,
又因为,,
所以,
所以,,
所以,,
所以为二面角的平面角,
所以,
作于,
因为,,,
所以平面,
又因为平面,
所以,
又因为,,
则平面,所以∥,
则有,
即,
由题意可求得:,
设,
由题上式可得:,
求得:,从而求得:,
故三棱锥外接球的表面积为.
故答案为:
三、解答题(本大题共5小题,共60分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. 在中,是,B,所对应的分边别为,,,且满足.
(1)求;
(2)若,的面积为,求的周长.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由正弦定理化边为角,结合正弦的二倍角公式变形可得;
(2)由面积公式求得,再由余弦定理求出,从而可得周长.
【小问1详解】
因为,
所以由正弦定理得,
因为,所以,则,
因为,所以,
又因为,所以;
【小问2详解】
因为,所以,
又由余弦定理得,,所以,
则,
所以的周长为:.
18. 如图,在直三棱柱中,,是的中点,.
(1)求证:若为中点,求证:平面;
(2)点为中点时,求二面角余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)根据线面平行的判定定理证得平面.
(2)建立空间直角坐标系,利用向量法求得二面角余弦值.
【小问1详解】
由于是的中点,是的中点,
所以,所以四边形是平行四边形,
所以,由于平面,平面,
所以平面.
【小问2详解】
以为原点建立如图所示空间直角坐标系,
由于,所以,
平面的法向量为.
设平面的法向量为,
所以,令可得,故.
设二面角为,由图可知为锐角,
.
19. 下表为某班学生理科综合能力测试成绩(百分制)的频率分布表,已知在分数段内的学生人数为21.`
(1)求测试成绩在分数段内的人数;
(2)现欲从分数段内的学生中抽出2人参加物理兴趣小组,若其中至少有一名男生的概率为,求分数段内男生的人数;
(3)若在分数段内的女生为4人,现欲从分数段内的学生中抽出3人参加培优小组,为分配到此组的3名学生中男生的人数.求的分布列及期望
【答案】(1)6(2)2
(3)分布列见解析,
【解析】
【分析】(1)利用在分数段内的学生数为21人求出高二年级某班学生总数,再利用频率和为1求出,两数相乘可得答案;
(2)设男生有人,根据抽出2人这2人都是男生的概率为,解得可得答案;
(3)求出在分数段内的学生人数及男生人数,可得的取值及对应的概率,可得分布列和期望.
【小问1详解】
某班学生共有人,
因为,所以,
所以测试成绩在分数段内的人数为人.
【小问2详解】
由(1)知在分数段内的学生有6人,设男生有人,
若抽出2人至少有一名男生的概率为,
则,解得,所以在分数段内男生有2人.
【小问3详解】
在分数段内的学生有人,所以男生有2人,
X的取值有,
,
,
,
X的分布列为
.
20. 已知抛物线的焦点为,过点的直线与抛物线交于两点,点在第一象限,为坐标原点.
(1)设为抛物线上的动点,求的取值范围;
(2)记的面积为的面积为,求的最小值.
【答案】(1);
(2).
【解析】
【分析】(1)求出抛物线的焦点坐标,准线方程,设点,求出关于的函数关系,再利用二次函数性质求解作答.
(2)设出直线的方程,与抛物线方程联立,利用韦达定理、三角形面积公式结合均值不等式求解作答.
【小问1详解】
依题意,抛物线的焦点,准线方程,设,
则,
因此,
而,即有,则当,即时,,
当,即时,,
所以的取值范围是.
【小问2详解】
显然直线不垂直于轴,设直线的方程为,
由消去并整理得,显然,
设,,则,即,
令为点,于是的面积为,的面积为,
因此,当且仅当,即时取等号,
所以的最小值为.
21. 已知函数在处取得极小值.
(1)求实数的值;
(2)当时,证明:.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据函数极值点与极值,求导数代入计算,即可得的值;
(2)设,求,确定导函数的单调性与取值情况,即可得的取值情况,从而得结论.
【小问1详解】
,
由题意知,则,即,
由,知,即.
故,经检验符合题意;
【小问2详解】
由(1)得,设,
则.
设,则在上单调递增,
且,所以存在唯一,
使得,即.
当时,单调递减;当时,单调递增.
.
设,则,
当时,单调递减,所以,所以,
故当时,.
【点睛】方法点睛:证明函数不等式的常用的方法:
(1)构造差函数法:构造差函数,求导,判断函数单调性,从而得函数最值,让最值与比较大小即可得答案;
(2)分离函数法:确定中间函数,利用导数分别证明,,即可证明结论;
(3)放缩法:利用不等式对所证不等式进行放缩,证明放缩后的不等式成立,即可得结论.
四、选做题(总分10分,只需要从中选择1个题目完成)
22. 在直角坐标系中,直线经过点,倾斜角为,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
(1)求直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)设直线与曲线C相交于A,B两点,弦AB的中点为N,求的值.
【答案】(1)的参数方程为(为参数),的直角坐标方程为
(2)
【解析】
【分析】(1)根据直线过点及倾斜角即可写出参数方程,根据极坐标与直角坐标的转化公式写出曲线C的直角坐标方程;
(2)将直线参数方程代入圆的方程,得到关于参数t的一元二次方程,根据根与系数的关系及参数的几何意义求解即可.
【小问1详解】
的参数方程为,即(为参数),
因为曲线的极坐标方程为,即,
所以化简得,
所以的直角坐标方程为;
【小问2详解】
将的参数方程代入的直角坐标方程,得,
整理,得,
此时,
设两点对应的参数分别为,,则,,
所以,异号,,
所以.
23. 已知函数,.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若对任意,都有成立,求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)分类讨论去绝对值符号解不等式即可;
(2)利用三角不等式化简条件式得,解不等式即可.
小问1详解】
当时,,
∴,即为,
当时,,解得;
当时,,恒成立;
当时,,解得.
综上,不等式的解集是.
【小问2详解】
对任意实数x都成立,即恒成立,
∵,
∴,
当,则,
当,则,无解;
综上,解得,
分数段
频率
0.1
0.15
0.2
0.2
0.15
0.1
*
0
1
2
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