安徽省合肥市2023_2024学年高二数学上学期9月月考试题含解析

这是一份安徽省合肥市2023_2024学年高二数学上学期9月月考试题含解析，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则的斜率为（）
A. B. C. D.
2. 已知向量，则向量在向量上的投影向量（）
A. B. C. D.
3. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（）
A. B. C. D.
4. 已知直线与直线，若，则（）
A. B. 2C. 2或D. 5
5. 已知，，，若不能构成空间的一个基底，则实数的值为（）
A. 0B. C. 9D.
6. 已知直线，点，若直线与线段相交，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
7. 美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（）
A. 1.8cmB. 2.5cmC. 3.2cmD. 3.9cm
8. 如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知非零空间向量，则下列说法正确的是（）
A. 若，则B.
C. D. 若，则不共面
10. 在正三棱柱中，点P满足，其中，则（）
A. 棱B. 平面C. D.
11. 已知直线l的一个方向向量为，且l经过点，则下列结论中正确的是（）
A. l倾斜角等于B. l在x轴上的截距等于
Cl与直线垂直D. l与直线平行
12. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（）
A. 直线平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与所成角的取值范围是
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是__________.
14. 若，且，则实数______________.
15. 点2，，3，，4，，若的夹角为锐角，则的取值范围为______．
16. 已知直线的方向向量且过点，则点到直线的距离为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知空间三点．
（1）求以为邻边的平行四边形的面积；
（2）设，若四点共面，求的值．
18. 如图，公路围成的是一块顶角为的角形耕地，其中，在该块土地中处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，现要过点修建一条直线公路，将三条公路围成的区域建成一个工业园.
（1）以为坐标原点建立适当平面直角坐标系，并求出点的坐标；
（2）三条公路围成工业园区的面积恰为，求公路所在直线方程.
19. 如图，在底面为正三角形的三棱柱中，．
（1）求；
（2）求异面直线与所成角的正弦值．
20. 已知四棱锥的底面是直角梯形，，，底面，且，点为的中点．
（1）求证：平面；
（2）在平面内找一点，使平面．
21. 已知梯形中分别是上的点，是的中点．沿将梯形翻折，使平面平面．
（1）若以为顶点三棱锥的体积记为，求的最大值；
（2）当取得最大值时，求二面角的余弦值．
22. 在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，，、分别为、的中点.
（1）证明：；
（2）求点B到平面CMN的距离．
2023-2024学年第一学期高二第一次调研检测
数学试题
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则的斜率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求得直线的斜率以及倾斜角，由此求得直线的倾斜角和斜率.
【详解】因为直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为，
又因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，
所以直线的倾斜角为，
所以的斜率为，
故选：D.
2. 已知向量，则向量在向量上的投影向量（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用投影向量定义结合数量积和模的坐标运算求解即可.
【详解】因为向量，
所以向量在向量上的投影向量.
故选：B
3. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间点关于面的对称点的坐标关系求解.
【详解】由空间直角坐标系中任一点关于平面的对称点为，
可得点关于平面的对称点的坐标为.
故选： B．
4. 已知直线与直线，若，则（）
A. B. 2C. 2或D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】解方程，再检验即得解.
【详解】解：若，则，
所以或．
当时，重合，不符合题意，所以舍去；
当时，符合题意．
故选：A
5. 已知，，，若不能构成空间的一个基底，则实数的值为（）
A. 0B. C. 9D.
【答案】D
【解析】
【分析】依题意可得共面，则，其中，根据空间向量坐标运算得到方程组，解得即可.
【详解】不能构成空间的一个基底，共面，则，其中，
则，
，解得.
故选：D.
6. 已知直线，点，若直线与线段相交，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得直线恒过点，画图可知直线的斜率的取值范围是 或，进而可知的取值范围.
【详解】将直线的方程变形得
由得，∴直线恒过点，
∴，
由图可知直线的斜率的取值范围是 或，
∵
∴或，解得或，
又∵时，直线仍与线段相交，
∴的取值范围为，
故选：．
7. 美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（）
A. 1.8cmB. 2.5cmC. 3.2cmD. 3.9cm
【答案】B
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，求出直线的方程，利用点到直线距离公式进行求解
【详解】解：如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，，
所以，
利用点斜式方程可得到直线：，整理为，
所以原点O到直线距离为，
故选:B
8. 如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由空间向量基本定理，用表示，由D，E，F，M四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，分析即得解.
【详解】由题意可知，
因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，使，
所以，
所以，
所以，
所以．
故选：D
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知非零空间向量，则下列说法正确的是（）
A. 若，则B.
C. D. 若，则不共面
【答案】AB
【解析】
【分析】根据向量共线定理判断A；利用数量积的定义判断B；根据平面向量数量积的定义和运算律判断C；利用平面向量基本定理判断D
【详解】对于A，因为，，是非零向量，且满足，，故存在实数使得，故，所以，故正确；
对于B，因为，，是非零向量，所以，故正确；
对于C，，，与未必共线，故不正确；
对于D，由平面向量基本定理可得若，则共面，故不正确
故选：AB
10. 在正三棱柱中，点P满足，其中，则（）
A. 棱B. 平面C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据，即可判断B；得中点为，根据平面向量的线性运算可得，从而可判断AC；证明平面，再根据线面垂直的性质即可判断D.
【详解】解：由，
得共面，
又三个向量共起点，所以共面，
所以平面，故B正确；
则，
得，
得，
设得中点为，
则，所以，
因为，所以，
即在的中垂线上，故棱，故A错误；
则，
又，所以不平行，故C错误；
连接，则，
又平面，
所以平面，
又平面，
所以，故D正确.
故选：BD.
11. 已知直线l的一个方向向量为，且l经过点，则下列结论中正确的是（）
A. l的倾斜角等于B. l在x轴上的截距等于
C. l与直线垂直D. l与直线平行
【答案】CD
【解析】
【分析】由直线的方向向量可求得直线的斜率，从而可求出直线的倾斜角和直线方程，依次判断即可
【详解】因为直线一个方向向量为，
所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角为（），则，所以，所以A错误；
因为经过点，所以直线的方程为，令，则，所以在轴上的截距为，所以B错误；
因为直线的斜率为，直线的斜率为，
所以，所以与直线垂直，所以C正确；
因为直线的斜率为，直线的斜率也为，且两直线截距不等，故两直线平行，所以D正确.
故选：CD
12. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（）
A直线平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与所成角的取值范围是
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理，即可进行判断；对于B，利用线面平行的判定定理，得出∥平面，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断；对于C，利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；对于D，通过建立空间直角坐标系，利用坐标法求出直线与平面所成角的正弦值，然后借助二次函数，即可进行判断.
【详解】
对于A，连接，，，，
平面，，同理，，，直线平面，故A正确；
对于B，∥，平面，平面，∥平面，
点在线段上运动，点到平面的距离为定值，又的面积为定值，利用等体积法知三棱锥的体积为定值，故B正确；
对于C，∥，异面直线与所成的角即为与所成的角，
当点位于点时，与所成的角为，
当点位于的中点时，平面，，，此时，与所成的角为，
异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；
对于D，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，
则，，，，，，
设平面的法向量，则，即，
令，得，所以，直线与平面所成角的正弦值为：
，
当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，最大值为，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题考查线面垂直的判定定理、线面垂直的性质定理、线面平行的判定定理、三棱锥的体积的计算方法、异面直线所成角的计算方法、利用向量法求解直线与平面所成角的正弦值，考查学生对这些知识的掌握能力，属于中档题.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是__________.
【答案】
【解析】
【分析】联立直线方程得交点坐标，再利用垂直关系及点斜式方程求解即可.
【详解】联立，解得，即交点坐标为.
因为所求直线与直线垂直，所以所求直线的斜率为，
所以所求的直线方程是：，即.
故答案为：.
14. 若，且，则实数______________.
【答案】
【解析】
【分析】利用已知条件求出，然后，求出即可.
【详解】，
,
,
,即，解得：.
故答案为：
【点睛】本题考查空间向量的数量积的应用，向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.
15. 点2，，3，，4，，若的夹角为锐角，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据的夹角为锐角，可得，且不能同向共线解出即可得出．
【详解】1，，2，，
的夹角为锐角，，且不能同向共线．
解得，．则的取值范围为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了向量夹角公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16. 已知直线的方向向量且过点，则点到直线的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】由空间中点到直线的距离的向量公式，计算即得解
【详解】由题意，
故，
又，故
故
故点到直线的距离为：
故答案为：
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知空间三点．
（1）求以为邻边的平行四边形的面积；
（2）设，若四点共面，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的夹角公式求出的余弦，再得出正弦，利用面积公式得解；
（2）根据共面向量基本定理的坐标运算求解.
【小问1详解】
因为，
所以，，
，
.
．
【小问2详解】
，
四点共面，
存在唯一一对实数，使得，
，解得，
．
18. 如图，公路围成的是一块顶角为的角形耕地，其中，在该块土地中处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，现要过点修建一条直线公路，将三条公路围成的区域建成一个工业园.
（1）以为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出点的坐标；
（2）三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路所在直线方程.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
【分析】(1)以为坐标原点, 所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系.根据条件求出直线的方程，设出点坐标，代点到直线的距离公式即可求出所求；
(2)由(1)及题意设出直线方程后，即可求得点的横坐标，与点的纵坐标，由
求得后，即可求解.
【详解】(1)以为坐标原点, 所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，
建立如图所示的平面直角坐标系
由题意可设点，且直线的斜率为，并经过点，
故直线的方程为：，
又因点到的距离为，所以，解得或(舍去)
所以点坐标为.
(2)由题意可知直线的斜率一定存在，故设其直线方程为：，
与直线的方程：，联立后解得:，
对直线方程：，令，得，
所以，解得，
所以直线方程为：，即:.
【点睛】本题以直线方程的相关知识为背景，旨在考查学生分析和解决问题的能力，属于中档题.
19. 如图，在底面为正三角形的三棱柱中，．
（1）求；
（2）求异面直线与所成角的正弦值．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）取定空间的一个基底，利用空间向量数量积定义及运算律求解作答.
（2）利用（1）中空间向量，求出向量与的夹角余弦即可求解作答.
【小问1详解】
设．
，
因为，同理，
所以.
【小问2详解】
由，得，
因为，
则，因此，
所以异面直线与所成角的正弦值为.
20. 已知四棱锥的底面是直角梯形，，，底面，且，点为的中点．
（1）求证：平面；
（2）在平面内找一点，使平面．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证明出平面；
（2）设是平面内一点，由平面得出，可求得、的值，进而可确定点的坐标.
【详解】（1）证明：底面，，．
以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
由于．
所以，，，，，，
易知，平面的一个法向量为，
又，，则.
又平面，平面；
（2）设是平面内一点，
则，，，
若平面，则，，即.
因此，在平面内存在点，使平面．
【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法求解动点问题，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
21. 已知梯形中分别是上的点，是的中点．沿将梯形翻折，使平面平面．
（1）若以为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；
（2）当取得最大值时，求二面角的余弦值．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由平面，，可得，进而由面面垂直的性质定理得到平面，进而建立空间坐标系，可得的解析式，根据二次函数的性质，易求出有最大值；
（2）根据（1）的结论平面的一个法向量为，利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面的法向量，代入向量夹角公式即可得到二面角的余弦值.
【小问1详解】
∵平面平面，，平面平面，
平面，∴平面.
连接，因为，平面，平面，
故面，故到平面的距离即为到平面的距离，
而，
所以，
即时有最大值为．
【小问2详解】
由（1）的证明可知平面，而平面，故，
在梯形中，因，，
故，故，故在几何体中，有，
故可如图建立空间坐标系，
当取最大值时，，
则，
∴，，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，∴，
而面的一个法向量为，则，
由于所求二面角的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为.
22. 在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，，、分别为、的中点.
（1）证明：；
（2）求点B到平面CMN的距离．
【答案】（1）详见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）取中点，根据线面垂直的判定定理可得平面，进而即得；
（2）利用坐标法，根据点到平面距离的向量求法即得.
【小问1详解】
取中点，连结，，
因为，则，
又是正三角形，
所以，又平面，
所以平面，又平面，
所以．
【小问2详解】
由题可知，又∵平面平面，平面平面，
∴平面，又，
如图所示，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，则，，，，，
∴，，，
设为平面的一个法向量，
则，取，则，，
∴，
∴点到平面的距离.