山东省日照市2023_2024学年高二数学上学期8月校际联合考试试题含解析

这是一份山东省日照市2023_2024学年高二数学上学期8月校际联合考试试题含解析，共23页。

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解出N的解集，利用两个集合的交集的定义求解即可.
【详解】因为，故，
故选.
2. 若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】转化存在量词命题的否定为真命题，列式求解.
【详解】命题“，使得”是假命题，即“成立”是真命题，
故，解得.
故选：C.
3. 用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】，判断函数单调性，求出区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可得出答案.
【详解】令，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
，
所以函数在区间上有唯一零点，
所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是.
故选：B.
4. 函数的部分图象大致为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判断的奇偶性，再根据时的函数值的符号判断图象.
【详解】因为，，
所以，故函数的为奇函数，排除BD；
又所以，故A错误.
故选：C
5. 如图，在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（接近点），点为的中点，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知可推得，，，进而根据平面向量数量积的运算求解即可得出结果.
【详解】由已知，，，，
所以.
由已知是的中点，所以，
，.
所以，
，
所以，.
故选：B.
6. 如图，在棱长为a的正方体中，点E为棱的中点，则点A到平面的距离为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据线面垂直可得面面垂直，进而根据面面垂直的性质可得的长即为点A到平面的距离，即可利用等面积法求解.
【详解】在正方体中，平面，而平面，
则平面平面，
在平面内过点A作于F，连接，如图，
因平面平面，平面,于是平面，
则的长即为点A到平面的距离，点E为棱的中点，
在中，，，
即，解得，所以点A到平面的距离为，
故选:C.
7. 已知定义在上的函数满足，且为偶函数，若在上单调递减，则下面结论正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知可知函数具有周期性和对称性，从而可得，，再利用函数单调性比较大小即可.
【详解】由得，所以，
又为偶函数，所以的图象关于对称，
所以，，
又在内单调递减，
，即.
故选：D.
8. 已知，，，，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同角关系，结合三角函数的性质可得，，即可根据和差角公式求解.
【详解】
，
因为，所以，
因为，当在第二象限时，由于，
又在上递减，且，不符合题意．
所以在第三象限，因为，所以．
因为，所以，则．
因为，所以．
所以，
即．
故选：C．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则下列结论中正确的是（）
A. 函数有且仅有一个零点0B.
C. 在上单调递增D. 在上单调递减
【答案】BC
【解析】
【分析】根据分段函数解析式，结合对数函数性质判断单调性和零点．
【详解】由函数，可得有两个零点0、1，故A错误；
由于，故B正确；
当时，所以在上单调递增，故C正确；
当时，所以上单调递减，上单调递增，故D错误．
故选：BC．
10. 下列命题中正确的是（）
A. 是的充分不必要条件
B. 是的既不充分也不必要条件
C. 是幂函数在上是增函数的充分不必要条件
D. 函数在区间上不单调的一个必要不充分条件是
【答案】BD
【解析】
【分析】根据集合间的关系可判断A，由特殊值法可判断不等式求解B，根据幂函数的性质即可判断C，根据二次函数的单调性即可判断D.
【详解】对于A，则，反之，若，则，故是的充要条件，A错误；
对于B，不能得到，比如，而也不能得到，比如，
故是的的既不充分也不必要条件，B正确；
对于C，若幂函数在上是增函数，则需要，
故是幂函数在上是增函数的充要条件，C错误；
对于D，函数在区间上不单调，则需要，
故是的一个必要不充分条件，故D正确.
故选：BD
11. 在中，角，，所对的边分别是，，，下列叙述正确的是（）
A. 若，，，则满足条件的三角形有且只有一个
B. 若，则为钝角三角形
C. 若，则为等腰三角形
D. 若不是直角三角形，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】由，又可判断A；由正弦定理边角转化和余弦定理可判断B；由利用正弦边角关系及三角形内角性质可得或可判断C；由三角形内角性质及和角正切公式可判断D．
【详解】对于A，由，则，又，知满足条件的三角形只有一个，故A正确；
对于B，，即，为钝角，故B正确；
对于C，，
即，由正弦定理可得，
则，所以或，故C错误．
对于D，因为不是直角三角形，所以，，均有意义，
又，所以，
所以，故D正确；
故选：ABD．
12. 已知边长为的菱形中，，将沿翻折，下列说法正确的是（）
A. 在翻折的过程中，直线、可能相互垂直
B. 在翻折的过程中，三棱锥体积最大值为
C. 当时，若为线段上一动点，则的最小值为
D. 在翻折的过程中，三棱锥表面积最大时，其内切球表面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】取，取的中点，连接、，证明出平面，再利用线面垂直的性质可判断A选项；求出三棱锥高的最大值，结合锥体体积公式可判断B选项；将、展开在同一平面内，由当、、三点共线时，取最小值，并求之，可判断C选项；求出三棱锥表面积的最大值，利用等体积法求出此时三棱锥的内切球半径，利用球体表面积公式可判断D选项.
【详解】如图，在翻折过程中构成四面体，和是正三角形，
取中点，连接、，
对于A，，则在翻折过程中，的范围是，
当时，是正四面体，取的中点，连接、，
因为、均为等边三角形，则，，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，，则A正确；
对于B，三棱锥的底面积是定值，
因为、均为等边三角形，为的中点，则，，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，则平面平面，
过作在平面内作直线于，
因为平面平面，平面平面，，
平面，所以，平面，则有，
当且仅当点与点重合时取“”，
因此，，B错误；
对于C，当时，三棱锥为正四面体，
将、展开在同一平面内，显然四边形为菱形，，
当、、三点共线时，此时，为、的中点，
此时，，则取得最小值，故C正确；
对于D，三棱锥中，，
而，即三棱锥的表面积，
而在翻折过程中，的范围是，
，
当且仅当时取“”，
因此得三棱锥的表面积的最大值为，
此时，
等腰的底边上的高，
，
从而得，
设三棱锥内切球半径为，设三棱锥的表面积为，
由得取最大值时的，
此球的表面积为，D正确.
故选：ACD．
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，，且，则实数m的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量平行的坐标公式，即可求解.
【详解】因为，所以，得.
故答案为：
14. 若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】利用二倍角的正弦和余弦公式结合弦化切化简所求代数式，可得结果.
【详解】因为，则，
.
故答案为：.
15. 已知、，则使函数有两不相等的零点的概率为________．
【答案】##
【解析】
【分析】比较、、、的大小，分析可知、均为正数，由函数有两不相等的零点，可得出，可得出，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】因，，，，
，
所以，，
因为、，则、均为正数，
以为一个样本点，因为函数有两个不相等的零点，
则，可得，所有基本事件有：
、、、、、
、、、
、、、、
、、、，共个基本事件，
其中，满足函数有两个不等的零点的基本事件有：、、
、、、，共个基本事件，
故所求概率为.
故答案为：.
16. 四边形中，点，分别是，的中点，，，，点满足，则的最大值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】利用向量线性表示、向量数量积公式以及余弦的二倍角公式即可解决问题.
【详解】如图所示：
因为，，又点是的中点，
所以，所以，
，
又，所以，又点是的中点，
所以，
因为，
所以，
即，
设，，则，
所以，
所以，
所以当即时，有最大值1，
即有最大值为1．
故答案为：1
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）若将图象向左平移个单位，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，求在上的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据图象可由周期得，进而代入最低点即可求解，
（2）根据平移和伸缩变换可得，进而由整体法即可求解函数的最值.
【小问1详解】
由图象知，，即，又，
∴，∴，
则，又函数过点，所以，
所以，，解得，，
又，所以，即．
【小问2详解】
若将的图象向左平移个单位，得到，
再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象即，
当，则，，
则当或时，函数取得最大值，最大值，
当时，函数取得最小值，最小值为．
即在上的值域为．
18. 已知函数，.
（1）判断函数的奇偶性并予以证明；
（2）若存在使得不等式成立，求实数的最大值.
【答案】（1）偶函数，证明见解析
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义判断并证明即可；
（2）转化问题为，进而根据函数的单调性求解即可.
【小问1详解】
函数为偶函数，证明如下：
，
由，解得，
的定义域为，关于原点对称，
，
为偶函数.
【小问2详解】
若存在使得不等式成立，
，
而，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在上单调递增，在上单调递减，
，
，即，
实数的最大值为1.
19. 如图，在平面四边形中，，，.
（1）求；
（2）若，，，四点共圆，求四边形面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理可求得，进而得解；
（2）由题意知，利用余弦定理结合基本不等式可知，进而利用面积公式求解即可.
【小问1详解】
在中，由正弦定理得，
所以.
又，所以，
则
【小问2详解】
因为，，，四点共圆，所以，.
在中，由余弦定理得，
即，
化简得，当且仅当时取等号.
所以的面积.
又，
则四边形的面积.
故四边形面积的最大值为.
20. 为了加强居民对电信诈骗的认识，提升自我防范的意识和能力，某社区开展了“远离电信诈骗，保护财产安全”宣传讲座．已知每位居民是否被骗相互独立，宣传前该社区每位居民每次接到诈骗电话被骗的概率为0.1．
（1）假设在宣传前某一天，该社区有3位居民各接到一次诈骗电话，求该社区这一天有人被电信诈骗的概率；
（2）根据调查发现，居民每接受一次“防电诈”宣传，其被骗概率降低为原来的10%，假设该社区每天有10位居民接到诈骗电话，请问至少要进行多少次“防电诈”宣传，才能保证这10位居民都不会被骗？（我们把概率不超过0.01的事件称为小概率事件，认为在一次试验中小概率事件不会发生）
（参考数据：，，，）
【答案】（1）0.271
（2）2次
【解析】
【分析】（1）用概率乘法即可得出被电信诈骗的概率；
（2）求出宣传次之后每个人每次接到电话被骗的概率为，10位居民有人被骗，则，解不等式可得，再由函数的单调性即可得出结论.
【小问1详解】
记事件：该社区这一天有人被骗，则，
∴该社区这一天有人被电信诈骗的概率为0.271．
【小问2详解】
设宣传次之后每个人每次接到电话被骗的概率为，
事件：10位居民有人被骗，则．
即，∴
∴
∴∴
又函数在上单调递减，当时，；当时，，
∴，即至少要宣传2次才能保证这10位居民都不会被骗．
21. 已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点，点在线段上．
（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意得，取的中点，则，因为平面平面，所以平面，，又，所以平面，从而，利用线面垂直的判定定理可得结论；
（2）由平面，故为与平面所成的角，可求得，由题意可得为线段的中点，取的中点为，则，所以平面，则，过点作，垂足为，则，所以为二面角的平面角，求解即可．
【小问1详解】
因为，，所以为等边三角形，
因为为的中点，所以．
取的中点，连接，，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
因为，，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，，平面，所以平面．
【小问2详解】
由（1）知，平面，故为与平面所成的角，
∴，∴，
又平面，平面，所以，
，，∴，
∴，即为线段的中点．
取的中点为，连接，因为为线段的中点，
所以，，
又平面，所以平面，平面．
所以，过点作，垂足为，连接，
，，平面，所以平面．
平面，所以，
所以为二面角的平面角．
在等边三角形中，，
由（1）知，平面，平面．所以，
在中，，
由，即，解得．
因为平面，平面，所以，
在中，，
所以，
即二面角的平面角的余弦值为．
22. 已知．
（1）若，求函数在上的最小值；
（2）若对于任意的实数恒成立，求a的取值范围；
（3）当时，求函数在上的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）详见解析.
【解析】
【分析】（1）将代入后，利用基本不等式可求得其最小值；
（2）将问题转化为对于任意的实数恒成立，然后利用绝对值三角不等式求出的最大值，使其最大值小于等于1，从而可求出a的取值范围；
（3）先求出的表达式，利用零点分段法，分和两种情况讨论求解函数的最小值
【小问1详解】
，且时，，
当且仅当时，等号成立，
即函数的最小值为；
【小问2详解】
对于任意的实数恒成立，
即对于任意的实数恒成立，
即对于任意的实数恒成立，
即对于任意的实数恒成立，
，
当且仅当与同号时取等号，
∴，则，
∴取值范围是；
【小问3详解】
的范围是．
，
①当时，由（2）得，
故当，即时，；
当，即时，．
当时，的范围不符合．
②当时，；．
画出和的大致图象如下图所示：
故当，即时，．
当，即时，
（ⅰ）时，．
（ⅱ），
．
综上所述：时，；
时，；
时，；
时，．