山东省日照市2023_2024学年高三数学上学期开学校际联考试题含解析

这是一份山东省日照市2023_2024学年高三数学上学期开学校际联考试题含解析，共22页。试卷主要包含了 已知，则等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先解不等式求出两集合，再求两集合的并集即可
【详解】由，得，所以，
由，得，所以，
所以.
故选：D
2. 已知角的终边经过点，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式及对应角终边上点求目标式的函数值即可.
【详解】.
故选：D
3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合奇偶性和单调性逐项分析判断.
【详解】对于选项A：因为，即为奇函数，故A错误；
对于选项B：因为是偶函数，
且在区间上单调递增，则在区间上单调递减，故B错误，
对于选项C：偶函数，
且当时，在区间上单调递增，故C正确；
对于选项D：是偶函数，
注意到，可知在区间上单调递减，故D错误；
故选：C.
4. 命题“，”为真命题的充要条件是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把特称命题为真命题转化为对有解，分离参数，求解函数最值即可求解.
【详解】因为命题“，”为真命题，所以对有解，
即对有解，所以，
又函数在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值为，
所以，即，故命题“，”为真命题的充要条件是.
故选：A
5. 垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存､投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似地满足关系（其中为正常数），经过5个月，这种垃圾的分解率为，经过10个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（）个月.（参考数据：）
A. 20B. 27C. 32D. 40
【答案】B
【解析】
【分析】根据和的两组值求出，再根据求出即可得解.
【详解】依题意得，解得，，
则，
这种垃圾完全分解，即分解率为，即，
所以，所以，
所以.
故选：B
6. 已知等差数列中的各项均大于0，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的性质求得，然后用表示，构造函数，利用导函数求出最小值即可.
【详解】设等差数列公差为，
则由得，解得或（舍去），
所以，
因为，所以，
令，则，
令得或（舍去），
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值为，
所以的最小值为.
故选：B
7. 已知函数的图象与函数的图象的对称中心完全相同，且在上有极小值，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题设有，讨论、，结合对称中心求参数，再由余弦函数的性质及极值的定义确定的值.
【详解】由题意，函数与最小正周期相同，则，且.
当时，的一个对称中心为，
也是的一个对称中心，所以，
所以，，又，所以，故，
，，有极大值，无极小值，不合题意，
当时，的一个对称中心为，
也是的一个对称中心，所以，
所以，，又，所以，故，
，，无极大值，有极小值，符合题意.
故选：D.
8. 已知正实数，满足，则的最大值为（）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】由已知得，构造，结合的单调性知，故将化为，利用导数求的最大值即可.
【详解】∵，∴即，
设，则，且，
所以在上，单调递增，
正实数，，∴，即，
所以等价于，即，
∴，
设，
∴，∴，
设，，所以单调递减，且，
所以在上，，，单调递增，
在上，，，单调递减，
所以，即最大值为0，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题求解关键是将变形为，利用同构构造函数，结合的单调性知，即，从而将用表示，将目标函数化为的函数后再求最值.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，则（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据不等式性质及指数函数、幂函数单调性可判断A；举反例可判断B；利用基本不等式可判断C,D.
【详解】根据幂函数，指数函数在定义域内均为单调增函数，
，故A正确；
由，取，可得，故B错误；
由可得，当且仅当即取等号，C错误；
由基本不等式可知，当且仅当取等号，
但，等号取不到，故D正确，
故选：AD.
10. 已知函数，则下列说法正确的是（）．
A. 函数的最小正周期为
B. 为函数图像的一条对称轴
C. 函数在上单调递减
D. 函数在上有3个零点
【答案】BC
【解析】
【分析】利用两角和的余弦展开式，正余弦二倍角公式以及辅助角公式化简函数，然后根据函数的性质及图像逐项分析.
详解】由题意得：
，
所以，。
∴的最小正周期，故A错误；
，故B正确；
∵，∴，
∴函数在上单调递减，故C正确；
令，
即，
因为，所以
令，则，所以选项D的问题转化为
与的交点个数问题，
如图所示：
观察可知，有2个零点，故D错误．
故选：BC．
11. 已知函数，则（）
A. 函数只有两个极值点
B. 若关于的方程有且只有两个实根，则的取值范围为
C. 方程共有4个实根
D. 若关于的不等式的解集内恰有两个正整数，则的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用导数研究的单调性、极值并画出函数图象，利用函数交点、数形结合判断各项正误即可.
【详解】A：对求导得：，
当或时，，当时，，
即在，上单调递减，在上单调递增，
因此，在处取得极小值，在处取得极大值，对；
B：由上分析，曲线及直线，如下图，
由图知：当或时，直线与有2个交点，
所以有且只有两个实根，则的取值范围为或，错；
C：由得：，解得，令且，
由图有两解分别为，，所以或，
而，则，则有两解；又，由图知也有两解，
综上：方程共有4个根，对；
D：因为直线过定点，且，，，
记，，，
所以，对.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：导数研究函数性质并画出图象，利用函数的交点研究方程的根、不等式的解集.
12. 已知函数的定义域为，且，，为偶函数，则（）
A. 为偶函数B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，赋值法得到，进而得到，为奇函数，A错误；B选项，由为偶函数得到关于对称，所以；C选项，由结合函数为奇函数，得到，C正确；D选项，推导出的一个周期为6，利用关系式得到，结合函数周期得到.
【详解】对于A，因为的定义域为R，关于原点对称，
令，则，故，则，
令，则，又不恒为0，故，
所以为奇函数，故A错误；
对于B，因为为偶函数，所以，
所以关于对称，所以，故B正确；
对于C，因为为偶函数，所以，
令，则，故，
令，则，故，又为奇函数，故，
所以，即，故C正确；
对于D，由选项C可知，所以，
故的一个周期为6，因为，所以，
对于，令，得，则，
令，得，则，令，得，
令，得，令，得，
所以，
又，所以由的周期性可得：
，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】设函数，，，．
（1）若，则函数的周期为2a；
（2）若，则函数的周期为2a；
（3）若，则函数的周期为2a；
（4）若，则函数的周期为2a；
（5）若，则函数的周期为；
（6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为；
（7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；
（8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为；
（9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a；
（10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知数列为等比数列，，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据等比数列的下标性质进行求解即可.
【详解】因为数列为等比数列，，
所以由，
故答案为：
14. 已知函数的极小值为2，则______
【答案】
【解析】
【分析】求函数的极小值的表达式，列方程求.
【详解】函数的定义域为，
求导得，令可得，
当时，，函数在单调递减；
当时，，函数在单调递增，
故的极小值为，
由已知可得，
所以．
故答案为：.
15. 若是奇函数，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用奇函数的性质求即可得解.
【详解】因为是奇函数,
定义域关于原点对称,
由,可得,
所以且,
所以,解得,
所以的定义域为,关于原点对称，
且，
又,即,解得,
此时,
则，
所以，符合题意.
所以.
故答案为：.
16. 在中，，为中点，，，则边的长为______.
【答案】
【解析】
【分析】设，，由、，利用正余弦定理、倍角正弦公式得、求出所设参数，结合三角形性质确定的长度.
【详解】设，，
在和中，，，
又，得，
在中，，
由，有，
所以，整理得：，①
又，即，整理得：，②
联立①②得，，即，解得或，
三角形ADC中的三边关系知：，故，所以.
故答案为：
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求B；
（2）若，的面积为，求的周长.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出，进而求出；
（2）根据余弦定理可得到，再根据三角形面积公式得到 ，即可求出 ，进而求出的周长.
【详解】解：（1），
由正弦定理得：，
整理得：，
∵在中，，
∴，
即，
∴，
即；
（2）由余弦定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为.
18. 记为等差数列的前项和，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）数列满足，，求数列的前21项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，即可写出通项公式；
（2）由，应用等差数列前n项和公式求和即可.
【小问1详解】
设公差为，由题设有，解得，，
所以.
【小问2详解】
由题设，
.
所以数列的前21项和为211.
19. 设区间是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点，例如的“不动点”满足，即的“不动点”是.设函数，.
（1）若，求函数的不动点；
（2）若函数在上不存在不动点，求实数的取值范围.
【答案】（1）不动点为1
（2）
【解析】
【分析】（1）根据“不动点”定义，令，结合指数方程的解法求不动点；
（2）问题化为在上无解，令，，进一步有在区间上无解，右侧构造函数求值域，结合对数函数性质列不等式组求参数范围.
【小问1详解】
由“不动点”定义知：当时，，
所以，则或（舍去），所以，
所以函数在上的不动点为1.
【小问2详解】
根据已知，得在上无解，
所以在上无解，令，，
所以，即在上无解，
所以在上无解，
设，在上单调递增，故
所以或，可得或，
又在上恒成立，
所以在上恒成立，则，则.
综上，实数的取值范围是.
20. 为美化校园，某学校将一个半圆形的空地改造为花园.如图所示，为圆心，半径为米，点，，都在半圆弧上，设，，且.
（1）若在花园内铺设一条参观线路，由线段，，三部分组成，则当取何值时，参观线路最长？
（2）若在花园内的扇形和四边形内种满杜鹃花，则当取何值时，杜鹃花的种植总面积最大？
【答案】（1）当时，参观路线最长
（2）当时，杜鹃花的种植总面积最大
【解析】
【分析】（1）根据题设用表示出，，，应用倍角余弦公式、换元法及二次函数性质求参观路线的最大长度对应的取值；
（2）利用扇形、三角形面积公式用表示出扇形、、的面积，再应用导数求种植总面积最大对应的取值.
【小问1详解】
如下图，连接，则，
在中，，即，
同理可得，且，
所以参观路线的长度，
令，即.
当时取得最大值，此时，即时，参观路线最长.
【小问2详解】
由题知：扇形的面积，
的面积，
的面积，
所以杜鹃花的种植总面积，
，
令得或（舍），因为，所以，，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以时，杜鹃花的种植总面积最大.
21. 已知数列和满足，，，.
（1）求的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知可得、，结合等比数列定义写出通项公式即可；
（2）由题设得，根据等比数列定义写出的通项公式，综合应用分组求和及等比数列前n项和公式求和即可.
【小问1详解】
由题设得，，所以.
又，，
故，，，，
所以，，得，
所以数列是首项为16，公比为8的等比数列，故.
【小问2详解】
由题设，又，，
，
，
故，
所以数列是首项为2，公比为8的等比数列，故，
因为
，
所以.
22. 已知函数．
（1）讨论函数零点个数；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）将零点问题转化为函数图象交点问题，设，求出函数的导数，判断单调性，作出其大致图象，数形结合，即可求得答案.
（2）分三种情况分类讨论，利用导数判断函数的单调性，结合不等式恒成立考虑函数最值情况或利用单调性求解不等式，从而求得参数范围.
【小问1详解】
由，得,
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增；在上单调递减，
所以，
据此可画出大致图象如图，
所以（i）当或时，无零点：
（ii）当或时，有一个零点；
（iii)当时，有两个零点；
【小问2详解】
①当时，即恒成立，符合题意；
②当时，由可得，则，
则，即，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，当时，，
即恒成立，即符合题意；
③当时，由（1）可知，，在上单调递增．
又，，
所以，使.
i）当时，，即，
设，
则，所以在上单调递减，
所以时，；
ii）当时，，即，
设，
因为，
令，则，
又令，
则，得在上单调递增，
有，
得在上单调递增，有，
则，得在上单调递增，
则时，，
又时，，
得当时，时，，
由上可知，在上单调递增，则此时，
综上可知，a的范围是.
【点睛】难点点睛：第二问解答不等式恒成立求解参数范围时，需要讨论a的正负，看能否保证不等式恒成立，特别是当时，要结合函数的零点情况，反复构造函数，判断函数单调性，由此求得参数a的范围，计算过程十分复杂，计算量较大，难度很大.