四川省兴文县2023_2024学年高三数学上学期开学考试文科试题含解析

这是一份四川省兴文县2023_2024学年高三数学上学期开学考试文科试题含解析，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设为虚数单位，复数满足，则的虚部是()
A. -1B. iC. -2D. -2i
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的运算法则计算并根据复数的基本概念即可求解．
【详解】，
∴z的虚部为-2．
故选：C．
2. 已知，则是的（）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数函数的性质，结合充分必要条件的判断即可得解.
【详解】因为为单调递减函数，
所以当时，，即充分性成立；
当时，，即必要性成立；
所以是的充要条件.
故选：C．
3. 已知袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，从中任取4个，则下列判断错误的是（）
A. 事件“都是红色球”是随机事件
B. 事件“都是白色球”是不可能事件
C. 事件“至少有一个白色球”是必然事件
D. 事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件
【答案】C
【解析】
【分析】对事件分类，利用随机事件的定义直接判断即可．
【详解】因为袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，所以从中任取4个球共有：3白1红，2白2红，1白3红，4红四种情况.
故事件“都是红色球”是随机事件，故A正确；
事件“都是白色球”是不可能事件，故B正确；
事件“至少有一个白色球”是随机事件，故C错误；
事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件，故D正确．
故选：C
4. 执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据程序框图的步骤，运行计算即可求解.
【详解】第一次执行，由，则，又由，则进入循环；
第二次执行，由，则，又由，则进入循环；
第三次执行，由，则，又由，则进入循环；
第四次执行，由，则，又由，则进入循环；
第五次执行，由，则，又由，则输出,
故选：.
5. 若向量，满足且，则（）
A. 4B. 3C. 2D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】先证明，可得，利用数量积运算法则求解即可.
【详解】向量满足且，，
，
，故答案为0.
【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算法则以及向量垂直的性质，属于基础题.
6. 袋中共有10个除了颜色外完全相同球，其中有7个白球，3个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出任取2球的基本事件的总数，以及事件“1个白球，1个红球”含有的基本事件的个数，然后可计算出概率．
【详解】由题意从10个球中任取2个的方法数是，其中一红一白的事件有，所以所求概率为．
故选：C．
【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求得基本事件的个数．
7. 一个体积为的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：因为正方体的体积为，所以棱长为，因为正方体的定点都在球面上，所以正方体的体对角线应该为球的直径，所以球的直径为所以球的半径为，所以球的表面积为
考点：本小题主要考查正方体与其外接球的关系和球的表面积的计算，考查学生的运算求解能力.
点评：正方体外接于球，则正方体的体对角线为球的直径；如果球内切于正方体，则正方体的棱长等于球的直径.
8. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和,利用垂直关系和三角形面积公式，可得：，因此该几何体表面积，故选B．
【考点定位】本小题主要考查的是三棱锥的三视图问题，一般都是求棱锥或棱柱的体积而这道题是求表面积，因此考查学生计算基本功以及空间想象的能力
9. 已知，实数满足对于任意的，都有，若，则实数a的值为（）
A. B. 3
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题得是的一个极大值点，化简即得解.
【详解】解：由题意及正弦函数的图象可知，是的一个极大值点，
由，得.
故选：D.
10. 已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－k有三个不同的零点，则实数k的取值范围是（）
A. (－2，2)B. (－2，1)C. (0，2)D. (1，3)
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数及对数函数的单调性作出函数图像，数形结合判断当函数与直线有三个交点时参数k的取值范围.
【详解】当x<0时，f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3x2－3，
令f′(x)＝0，解得或1(舍去)，
故f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0)上单调递减.
又f(x)＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单调递增.
则函数f(x)的图象如图所示，
f(x)极大值＝f(－1)＝2，且f(0)＝0，
数形结合知当k∈(0，2)时，函数与直线有三个交点，即y＝f(x)－k有三个不同零点.
故选：C
【点睛】本题考查根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.
11. 已知抛物线的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别于抛物线交于点C，D．设直线AB，CD的斜率分别为，则（）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意设直线的方程和直线的方程，分别与抛物线方程联立得到，，，然后求即可.
【详解】
由题意得，设直线的方程为，，，，,
联立得，，
设直线的方程为，联立得，，同理可得，
所以.
故选：B.
12. 已知关于的不等式在恒成立，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将条件变形为，然后由的单调性可得，然后可得，然后利用导数求出的最小值即可.
【详解】由得
即，
构造，即
因为在上单调递增，所以，所以
所以，令，则
所以在上单调递减，在上单调递增
所以，所以，即
又，即
所以的取值范围是
故选：B
第Ⅱ卷非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 某校1200名学生中，型血有450人，型血有350人，型血有250人，型血有150人，从中抽取容量为48的样本，按照分层抽样的方法抽取样本，则要抽取的型血的人数为_________.
【答案】10
【解析】
【分析】根据分层比可求型血的人数.
【详解】因为用分层抽样的方法抽取样本，故要抽取的型血的人数为.
故答案为：.
【点睛】本题考查分层抽样，注意按分层比计算所取的人数，本题属于容易题.
14. 实数满足条件，则的最大值为_______________
【答案】
【解析】
【分析】画出可行域，向下平移基准直线到可行域边界位置，由此求得目标函数的最大值.
【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值为.
【点睛】本小题主要考查线性规划求线性目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
15. 圆：和圆：交于两点，则直线的方程是____．
【答案】
【解析】
【分析】直接用两个圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程．
【详解】由
得
故答案为．
【点睛】本题考查了与圆与圆的位置关系相关的问题，考查了公共弦所在直线的求法，属于基础题．
16. 已知、两所大学的专业设置都相同（专业数均不小于），数据显示，大学的各专业的男女生比例均高于大学的相应专业的男女生比例（男女比例是指男生人数与女生人数比）．据此，
甲同学说：“大学的男女比例一定高于大学的男女生比例”；
乙同学说：“大学的男女比例不一定高于大学的男女生比例”；
丙同学说：“两所大学的全体学生的男女比例一定高于大学的男女生比例”．
其中，说法正确的同学是__________．
【答案】乙
【解析】
【分析】结合特例可得说法正确的为乙.
【详解】设A大学有专业1，男女比例为，人数为人，
有专业2，男女比例，人数为3人；
设B大学有专业1，男女比例为，人数为人，
有专业2，男女比例为，人数为人；
则上述比例满足题设要求，
则大学的男女比例为，而大学的男女比例为，
故答案为：乙
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分.
17. 在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城镇居民140人，农村居民60人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人.
（1）填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？
（2）调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人，参加一次阅读交流活动，若活动主办方从这7位居民中随机选取2人作交流发言，求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率.
附：，其中.
【答案】（1）见解析，有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题中数据得到列联表，然后计算出，与临界值表中的数据对照后可得结论；（2）由题意得概率为古典概型，根据古典概型概率公式计算可得所求.
【详解】（1）由题意可得：
则，
所以有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.
（2）在城镇居民140人中，经常阅读的有100人，不经常阅读的有40人.
采取分层抽样抽取7人，则其中经常阅读的有5人，记为、、、、；
不经常阅读的有2人，记为、.
从这7人中随机选取2人作交流发言，所有可能的情况为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种，
被选中的位居民都是经常阅读居民的情况有种，
所求概率为.
【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键，考查学生的计算能力.对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可，属于中档题.
18. 设函数（）．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若对任意及任意，恒有成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）当时，在上是减函数；当时，在和单调递减，在上单调递增；当时，在和单调递减，在上单调递增；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求导可得，因为，所以，讨论与的大小，化情况讨论的单调性即可；
（2）任意，恒有成立，所以求出在区间上的最值，再求的取值范围即可.
【详解】（1），
当，即时，在定义域上是减函数；
当，即时，令得或令得
当，即时，令得或令得
综上，当时，在上是减函数；
当时，和单调递减，在上单调递增；
当时，在和单调递减，在上单调递增，
（2）由（1）知，当时，在上单调递减，是最大值，是最小值；
，
，而，经整理得，
因为时，由对勾函数知单调递减，
所以时，单调递增，故得，所以
19. 如图所示，平面平面是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，，，，分别为的中点.
（1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；
（2）求四面体的体积.
【答案】（1）平面，理由见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件及三角形的中位线定理，再利用平行的传递性及平行四边形的判定，再结合线面平行的判定即可求解；
（2）根据已知条件得出点到平面的距离，进而得到点到平面的距离，再求出面积，结合三棱锥的体积公式即可求解.
【小问1详解】
直线与平面平行，理由如下
如图所示，
取中点为，连接，
因为为的中点，为的中点，
所以.
又，，所以，
所以，
所以四边形为平行四边形.则.
又平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
因为是等腰直角三角形，，为的中点.
所以,，，
因为平面平面，，
平面平面，
所以平面，平面，所以，，
又，所以平面，
所以点到平面的距离为，因为为的中点.
即点到平面的距离为，
因为为的中点，所以，
又因为四边形是直角梯形，，，，
所以
，
所以四面体ODME的体积为
.
20. 函数．
（1）若函数有2个零点，求实数a的取值范围；
（2）若在上的值域为，求实数a的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数求出函数的单调性和最小值，由最小值小于即可解得结果；
（2）根据得到，得到函数在上为减函数，进而求出最小值和最大值，结合已知的值域列式可求出的值.
【小问1详解】
的定义域为，
，
当时，，当时，，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以当时，取得最小值，为，
因为当趋近于时，趋近于，当趋近于正无穷时，也趋近于正无穷，
所以若函数有2个零点，则，解得.
【小问2详解】
由（1）可知，函数在上为减函数，在上为增函数，且的最小值，为，
若在上的值域为，则，即，所以，
所以函数在上为减函数，
所以，，解得符合题意；
综上所述：
【点睛】关键点点睛：第二问中，利用函数在上的最小值小于等于在上的最小值，求出的范围，这样避免分类讨论是解题关键.
21. 已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，且满足，椭圆上的点到焦点距离的最大值为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围；
（3）已知直线与椭圆相交于不同的两点M，N(均不是长轴的端点)，AH⊥MN，垂足为H且，求证：直线l恒过定点．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意列方程组，解得参数，即可得到椭圆的标准方程；
（2）把条件转化成关于的横坐标的代数式，以抛物线在给定区间求值域的方法解之即可；
（3）把条件转化成，极大简化了运算量，是数形结合的的一个范例，得到参数关系后，即可求得直线l所过定点.
【小问1详解】
由已知，解得，，则，
故椭圆的标准方程为．
【小问2详解】
设，则，又，．
∴．
由于在椭圆上，∴．
由在区间上单调递增，可知
当时，取最小值为0；当时，取最大值为12．
故的取值范围是
【小问3详解】
由消去得：．
设，，则，
，．
由得．
，即，
可得，则，
即
化简得．
∴或，均适合．
当时，直线过，舍去；
当时，直线过定点．
故直线l恒过定点.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率等问题．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．
（选修4-4 极坐标与参数方程）
22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于点A，B，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据直角坐标与极坐标的互化，结合余弦二倍角公式即可求解，
（2）联立直线与曲线的方程，由直线参数方程的几何意义即可求解.
小问1详解】
由得，将代入可得，即
【小问2详解】
将曲线的参数方程带入曲线得：，即
设A，B两点对应的参数分别为，，则，
所以异号，
∴
（选修4-5 不等式选讲）
23. 已知函数，且不等式的解集为．
（1）求实数的值；
（2）若正实数满足，证明：．
【答案】（1），
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，可得，然后列出方程求解，即可得到结果；
（2）根据题意，结合柯西不等式代入计算即可得到证明.
【小问1详解】
，且，
，解得．
．
．
（i）当时，由，解得（不合题意，舍去）；
（ii）当时，由，解得，经检验满足题意．
综上所述，．
【小问2详解】
由（1）得．．
，
城镇居民
农村居民
合计
经常阅读
100
30
不经常阅读
合计
200
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
城镇居民
农村居民
合计
经常阅读
100
30
130
不经常阅读
40
30
70
合计
140
60
200