湖北省“腾·云”联盟 2024-2025 学年度高三上学期 10月数学联考试题

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6．解析：，，，，
7．解析：四边形面积，
，单增，
又，，
8．解析： ，则所以有
10．解析：函数的定义域为R，有，即函数是偶函数，又，则是函数的一个周期，也是最小正周期，A正确
当时，，显然函数在上递增，在上递减，时，由偶函数的性质知，函数在上递增，在上递减，即当时，即函数在的取值集合为，
从而函数在的取值集合为，即在上的值域为，因此函数在R上的值域为，B正确；
如图：
不关于直线对称，所以不关于直线对称，故C错
在上单调性同，所以递减，故D对。
11．解析：对两边求导得即，故A对
即恒成立，，故B错。
是奇函数，是偶函数，
，为增函数，为增函数，
又，故C错。
，
，
为增函数，，故D对。
14．解析：如图示，先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AB．
设，则．
过A作AC垂直内侧墙壁于C，B作BD垂直内侧墙壁于D，则．
在直角三角形中，，
所以．
同理：．
所以．
因为
(当且仅当且时等号成立)．
所以．因为走廊的宽度与高度都是3米，
所以把硬管倾斜后能通过的最大长度为
，
15．解析：(1)在中，，
由余弦定理得，
则，有，
又平面平面，
平面平面，
，平面，
则平面，直线两两垂直，(3分)
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设，
则，
由，得，
解得，即，所以当时，点为线段的中点．(6分)
(2)由(1)可得，
设平面的法向量为，
则，取，得，(9分)
平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．(13分)
16．解析：(1)易知函数()的定义域为．所以，(2分)当时，由，得，由，得．所以的单调增区间为，单调减区间为；(4分) 当时，由，得，由，得．所以的单调增区间为，单调减区间为．(6分)
(2)即在上恒成立，(7分)令，易知函数的定义域为．所以．(9分)当时，，故；(11分)当时，，故．(13分)所以在上单调递增，在上单调递减，所以时，在上取得最大值．所以，所以实数的取值范围是．(15分)
17．解析：(1)由可得，，由正弦定理该式化为，整理得：，即：，即，因为为三角形的内角，所以。(5分)
(2)令，由题意：，平方得：，(7分)又由正弦定理
，
则：，代入上式得：
(11分)
因为三角形是锐角三角形，所以，
，，即，，
因此，的取值范围为 。(15分)
18．解析：(1)由题意，有，解得 即椭圆标准方程为：(4分)
(2) 设过点的切线方程为
联立，有
由于想切，令，
即求得(9分)
(3)设，延长线交轴于点，
、两点处切线斜率分别是和,有，
设椭圆上或两点切线方程为联立有，
，有，
，(12分)
要证明，需证明
即要证，
其中，显然，即证(17分)
19．(1) = 1 \* GB3 ① ，， (4分)
= 2 \* GB3 ② 处于位置时，得3分，，
处于位置时，得1分，，
处于位置时，得分1分，，
所以最终得分的分布列为：
得分的期望。(9分)
(2)将棋盘按如图所示编号：
将棋子可以去的区域用箭头连接起来，如从3可以连接4或8，记做：4—3—8；从8可以连接3或1，记做：3—8—1；然后将他们串联起来：4—3—8—1。依次类推，可以串联出环状回路：-4—3—8—1—6—7—2—9—4-，如下图所示：
则棋子等价于在这个环状回路中运动，问题(2)可以转化为将两个棋子放在环形回路中的3号、7号位置，每回合3号、7号棋子有四种运动模式：，，，，发生概率各为
为了转化问题，现规定“两棋子之间的最短节点数”，例如：

特别规定两棋子重合时，。并统计四种运动模式下会如何改变
假设3号棋子顺时针走过个节点可以与7号棋子重合；或逆时针走过个节点也可以与之重合。为了简化问题，不妨假设，于是有下表：
设“回合后，的概率”，
“回合后，的概率”，
“回合后，的概率”，
则有，(13分)
，
显然，，所以，
所以解得： 。 (17分)题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
A
D
A
D
A
B
B
AB
ABD
AD