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江西省九校联盟2025届高三上学期9月考试 数学试卷（含解析）
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这是一份江西省九校联盟2025届高三上学期9月考试 数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（本大题共8小题）
1．命题“ ∀a∈R,a1-a⩽14 ”的否定是（ ）
A. ∀a∈R,a1-a＞14 B. ∃a∈R,a1-a⩽14
C. ∀a∉R,a1-a⩽14 D. ∃a∈R,a1-a＞14
2．双曲线 4x2-y2=4aa≠0 的渐近线方程为（ ）
A. y=±x B. y=±2x C. y=±ax D. y=±ax
3．若 x2+1 可分解因式为 x-z1x-z2 ，且 z1-z2i＞0 ，则复数 z11+z2 的虚部为（ ）
A. 1B. 12 C. -1 D. -12
4．已知函数 fx=1-x-2+x ，则下列函数为奇函数的是（ ）
A. y=fx+1+1 B. y=fx-1+1
C. y=fx+1-1 D. y=fx-1-1
5．已知 O 是 △ABC 所在平面内一点，且 2AO=OB+OC ，若 AO=λAB+μAC ，则 λ+μ= （ ）
A. 23 B. 13 C. 12 D. 14
6．已知异面直线 a 与 b 所成的角为 π3 ， a 与 c 所成的角为 π2 ，则 b 与 c 所成角的范围是（ ）
A. π6,π3 B. π6,π2 C. π4,π3 D. π4,π2
7．如图， A,B 和 C,D 分别为函数 fx=sinωx+φω＞0,-π＜φ＜0 图象上的两个最高点、两个最低点，若四边形 ABCD 的面积为 2π ，直线 AD 过点 -5π12,0 ，则 f2π3= （ ）
A. -22 B. 22 C. -32 D. 32
8．已知 fx 为 R 上的减函数，设函数 gx=fx,x⩾0f-x,x＜0 ，则满足不等式 g4-m＞gm 的 m 的取值范围是（ ）
A. 1,+∞ B. 2,+∞ C. -∞,1∪1,+∞ D. -∞,2∪2,+∞
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（本大题共3小题）
9．2023年央视主持人大赛，在某场比赛中，17位专业评审为某参赛者的打分分别为94.2，94.6，95.8，96.2，96.4，96.8，96.8，97.0，97.0，97.2，97.2，97.6，97.6，98.0，98.2，98.6，98.6，记该组数据为 M ，去掉一个最高分和一个最低分后余下的数据记为 N ，且 N 组数据的平均分为97.0，则（ ）
A. M 组与 N 组数据的极差相等
B. M 组与 N 组数据的中位数相等
C. M 组数据的平均数小于 N 组数据的平均数
D. M 组数据的 70% 分位数小于 N 组数据的 80% 分位数
10．如图，球与棱长为2的正方体的六个面都相切，分别为棱的中点，为正方形的中心，则（ ）
A．球与该正方体的体积之比为
B．球与该正方体的表面积之比为
C．直线被球截得的线段的长度为
D．过三点的正方体的截面与球的球面的交线长为
11．已知 ⊙C:x-22+y2=4 ，直线 l:x=2,O 为原点，点 P 在 ⊙C 上，直线 OP 与 l 交于点 Q,R 在直线 OP 上，且 PQ=OR ，点 R 的轨迹为史留斯蚌线，记为曲线 E ，其中 l 是 E 的渐近线，如图所示．设 Mx0,y0 是 E 上一点，则（ ）
A. -2⩽x0＜2
B. 存在异于原点 O 的点 M ，使得 M 关于点 O 的对称点仍在 E 上
C. 若 M 在第二象限，则 y0 的最大值为 33
D. 若 M 在第一象限，则直线 OM 的斜率大于 ex02
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．（本大题共3小题）
12．tan9π8+12 的值是___________．
13．已知椭圆 C:x24+y23=1 的上顶点为 A ，左焦点为 F1 ，线段 AF1 的中垂线与 C 交于 M,N 两点，则 △AMN 的周长为___________．
14．有甲、乙两个口袋，甲口袋装有2个红球，乙口袋装有1个红球，2个白球，有放回地从两个口袋中各取1个球，并记为1次取球，若取到的2个球均为红球，则停止取球；否则在两个口袋中各加进1个白球，然后再按照以上规则取球，直到取到的2个球均为红球为止．记 Ak= “取了 k 次球后停止取球” k=1,2,3,⋯ ，则 PA1= ___________； PA4= ___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（本大题共5小题）
15．已知 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，且 3asinC=2ccs2A2 ．
（1）求 A ；
（2）若 a=2,b+c=3 ，求 △ABC 的面积 S ．
16．如图，在六棱锥 P-ABCDEF 中，底面 ABCDEF 是边长为1的正六边形， PA=AB ，平面 PAF⊥ 平面 ABCDEF ，平面 PAB⊥ 平面 ABCDEF ．
（1）证明： PA⊥CD ；
（2）求二面角 C-PF-A 的正弦值．
17．已知函数 fx=ax-a2x+a-2a≠0 ．
（1）当 a=2 时，求 fx 的极值；
（2）若 fx 在 x=a 处有极小值，求 a 的取值范围．
18．已知抛物线 C:y2=2pxp＞0 的焦点为 F ，准线为 l,O 为坐标原点， G 是 C 上一点，且 G 到 l 的距离为 4p,△OFG 的面积为 7 ．
（1）求 C 的方程；
（2）已知过点 F 且不与坐标轴垂直的直线与 C 交于 A,B 两点．
（ⅰ）设直线 OA,OB 分别与 l 交于点 M,N ，证明： AN//BM ；
（ⅱ）设 l 与 x 轴的交点为 K ，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于 Q 点，则 A,Q,B,K 四点是否在同一个圆上？并说明理由．
19．设集合 Ak=m,n,km＜n＜k,m+n⩾k,m,n∈N*k∈N* ，记 Ak 中元素的个数为 ak ，数列 ak 的前 k 项和为 Sk ．
（1）求 S4 的值；
（2）当 k⩾4 时，从 Ak 中随机取出一个元素 m,n,k ，求以 m,n,k 为长度的三条线段为边能构成一个三角形的概率；
（3）求 Sk ．
参考公式： 12+22+32+⋯+n2=16nn+12n+1 ．
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.
【详解】命题“ ∀a∈R,a1-a⩽14 ”为全称量词命题，
则其否定为： ∃a∈R,a1-a＞14 .
故选：D
2．【答案】B
【分析】将双曲线方程写成标准形式，再根据渐近线方程公式求解即可.
【详解】双曲线 4x2-y2=4aa≠0 即 x2a-y24a=1 ，故渐近线方程为 y=±4aax=±2x .
故选：B
3．【答案】D
【分析】根据 i2=-1 ，求出 z1 、 z2 ，再根据复数代数形式的除法运算化简 z11+z2 ，即可判断.
【详解】因为 x2+1=x2--1=x2-i2=x+ix-i ，
若 z1=iz2=-i ，则 z1-z2=2i ，所以 z1-z2i=2i2=-2＜0 ，不符合题意；
若 z1=-iz2=i ，则 z1-z2=-2i ，所以 z1-z2i=-2i2=2＞0 ，符合题意；
所以 z1=-i ， z2=i ，
所以 z11+z2=-i1+i=-i1-i1+i1-i=-12-12i ，
所以复数 z11+z2 的虚部为 -12 .
故选：D
4．【答案】C
【分析】根据奇偶性的定义判断即可.
【详解】因为 fx=1-x-2+x ，
所以 fx+1-1=1-x+1-2+x+1-1=-x-1+x+1 ，
令 gx=fx+1-1=-x-1+x+1 ，定义域为 R ，
且 g-x=--x-1+-x+1=--x-1+x+1=-gx ，
所以 gx=fx+1-1 为奇函数，故C正确；
又 y=fx+1+1=-x-1+x+1+2 ，为非奇非偶函数，故A错误；
y=fx-1+1=1-x-1-2+x-1+1=-x-3+x-1+2 ，为非奇非偶函数，故B错误；
y=fx-1-1=1-x-1-2+x-1-1=-x-3+x-1 ，为非奇非偶函数，故D错误.
故选：C
5．【答案】C
【分析】根据平面向量线性运算法则及基本定理计算可得.
【详解】因为 2AO=OB+OC ，所以 2AO-2OA=OB-OA+OC-OA ，
即 4AO=AB+AC ，即 AO=14AB+14AC ，
又 AO=λAB+μAC ， AB 、 AC 不共线，所以 λ=14μ=14 ，所以 λ+μ=12 .
故选：C
6．【答案】B
【分析】由异面直线的夹角，结合平面的基本性质，讨论 c 的位置研究异面直线 b 与 c 所成角的范围.
【详解】作 b′//b 交 a 于 O 点，所有与 a 垂直的直线平移到 O 点组成与 a 垂直的平面 α ，故 c⊂α ，
如上图：当 c 为 α 与 a 、 b′ 所成平面的交线或其平行线时， b 与 c 所成角最小为 π6 ；
当 c 为垂直于 a 、 b′ 所成平面的线或其平行线时， b 与 c 所成角最大为 π2 ，
所以 b 与 c 所成角的范围是 π6,π2 .
故选：B
7．【答案】A
【分析】根据四边形 ABCD 的面积为 2π ，结合 fx 的周期与振幅可得 ω=3 ，再根据直线 AD 过点 -5π12,0 ，数形结合可得
【详解】因为四边形 ABCD 的面积为 2π ，且 AB=T=2πω ， CD=2T=4πω ，梯形 ABCD 的高为2，
故 12×2πω+4πω×2=2π ，解得 ω=3 ，即 fx=sin3x+φ .
又直线 AD 过点 -5π12,0 ，由对称性可得 fx 过点 -5π12,0 ，即 3×-5π12+φ=kπ,k∈Z ，即 φ=kπ+5π4,k∈Z .
又 -π＜φ＜0 ，可得 φ=-3π4 ，故 fx=sin3x-3π4 .
故 f2π3=sin3×2π3-3π4=sin5π4=-22 .
故选：A
8．【答案】B
【分析】先判断出 gx 的奇偶性，再根据函数的单调性即可求解.
【详解】解：由题意知： gx 的定义域为 R ，关于原点对称，
当 x＞0 时， -x＜0 ， gx=fx ，
则 g-x=f--x=fx=gx ，
当 x=0 ， g0=f0 ，
当 x＜0 时， -x＞0 ， gx=f-x ，
则 g-x=f-x=gx ，
故 gx 为偶函数，
又 fx 为 R 上的减函数，
∴gx 在 0,+∞ 上单调递减，在 -∞,0 上单调递增，
∵g4-m＞gm ，
∴g4-m＞gm ，即 4-m＜m ，解得： m＞2 .
故选：B.
9．【答案】BCD
【分析】根据极差、中位数、平均数、百分位数定义一一判断即可.
【详解】 M 组数据的极差为 98.6-94.2=4.4 ，
N 组数据为94.6，95.8，96.2，96.4，96.8，96.8，97.0，97.0，97.2，97.2，97.6，97.6，98.0，98.2，98.6，
则 N 组数据的极差为 98.6-94.6=4 ，故A错误；
M 组数据与 N 组数据的中位数 97.0 ，故B正确；
M 组数据的平均数 15×97+98.6+94.217≈96.93＜97 ，所以 M 组数据的平均数小于 N 组数据的平均数，故C正确；
17×70%=11.9 ，所以 M 组数据的 70% 分位数为 97.6 ，
15×80%=12 ，所以 N 组数据的 80% 分位数为 97.6+982=97.8 ，
所以 M 组数据 70% 分位数小于 N 组数据的 80% 分位数，故D正确.
故选：BCD
10．【答案】BC
【分析】根据正方体和球的表面积和体积公式，可判定A错误；B正确；连接，取中点，得到，求得到的距离，结合圆的弦长公式，可判定C正确；以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，求得和平面的法向量，结合距离公式，得到过三点的正方体的截面恰好过球的球心，可判定D错误.
【详解】因为球与棱长为2的正方体的六个面都相切，
对于A中，可得正方体的体积为，
球的半径为，体积为，
球与该正方体的体积之比为，所以A不正确；
对于B中，正方体的表面积为，球的表面积为，
所以球与该正方体的表面积之比为，所以B正确；
对于C中，连接，可得，
再连接，在直角中，可得，
取中点，连接，则，可得，
即点到的距离为，
所以直线被球截得的线段的长度为，
所以C正确；
对于D中，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得，
则，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
所以点到平面的距离为，
可得过三点的正方体的截面恰好过球的球心，
所以截面交线的周长为，所以D错误.
故选：BC.
11．【答案】AD
【分析】设 Rx,y ， Px1,y1 ， Qx2,y2 ，设 OR=λOP λ≠0 得到 x1=xλy1=yλ ，即可得到 1λ=4xx2+y2 ，设 OR=μOP μ≠0 ，则 1μ=2x ，再由 PQ=OR ，则 1μ-1λ=1 ，从而求出曲线 E 的方程，即可判断A、B；利用特殊值判断C，设 fx=2-x2+xex0＜x＜2 ，利用导数说明函数的单调性，即可得到 2+x2-x＞ex ，从而判断D.
【详解】设 Rx,y ， Px1,y1 ， Qx2,y2 ，由 OP 与 l 相交，则 P 不与 O 重合，即 x1≠0 ，
设 OR=λOP λ≠0 ，则 x,y=λx1,y1 ，所以 x1=xλy1=yλ ，代入 x-22+y2=4 ，可得 xλ2+yλ2-4xλ=0 ，
即 1λ=4xx2+y2 ，
设 OR=μOQ μ≠0 ，则 x,y=μx2,y2 ，即 x2=xμ ，代入 x=2 ，即 xμ=2 ，即 1μ=2x ，
由 PQ=OR ，即 OQ-OP=OR ，所以 1μOR-1λOR=OR ，
当 OR≠0 时 1μ-1λ=1 ，从而 2x-4xx2+y2=1 ，整理得 y2=2+x2-x⋅x2 ；
当 OR=0 时 OQ=OP ，即 P 和 Q 重合， R0,0 ，此时方程 y2=2+x2-x⋅x2 成立；
所以曲线 E 的方程为 y2=2+x2-x⋅x2 ；
由 y02=2+x02-x0⋅x02⩾0 ，所以 2+x02-x0⩾0 ，解得 -2⩽x0＜2 ，故A正确；
E 在第一象限的部分对应的方程为 y=2+x2-x⋅x0＜x＜2 ①，
E 在第三象限的部分对应的方程为 y=2+x2-x⋅x-2＜x＜0 ，
它关于原点成中心对称的部分对应的方程为 -y=2-x2+x⋅-x-2＜-x＜0 ，
即 y=2-x2+x⋅x0＜x＜2 ②，
联立①②解得 x=0 ，这样 0＜x＜2 矛盾，所以不存在异于原点 O 的点 M ，使得 M 关于点 O 的对称点仍在 E 上，
由对称性可知，二、四象限也不存在关于点 O 的对称点仍在 E 上，故B错误；
当 x=-1 时 y2=13 ，当 x=-1.2 时 y2=0.36＞13 ，故C错误；
设 fx=2-x2+xex0＜x＜2 ，则 f′x=-x22+x2ex＜0 ，
所以 fx 在 0,2 上单调递减，
从而 fx＜f0=1 ，所以 2-x2+xex＜1 ，即 2+x2-x＞ex ，
所以 y2=2+x2-x⋅x2＞exx2 ，即 y2x2＞ex ，即 yx＞ex2 ，
所以若 M 在第一象限，则直线 OM 的斜率大于 ex02 ，故D正确.
故选：AD
12．【答案】2
【分析】根据 tan94π=2tan98π1-tan298π=1 求解即可.
【详解】因为 tan94π=2tan98π1-tan298π=tan14π=1 ，故 2tan98π=1-tan298π ，即 2tan98π+tan298π=1 ，故 tan9π8+12=tan29π8+2tan9π8+1=2 .
故答案为：2
13．【答案】 8
【分析】设椭圆的右焦点为 F2 ，连接 MF2 ， AF2 ， NF1 ，依题意可得 △AF1F2 为等边三角形，从而得到直线 MN 过 F2 ，再根据线段垂直平分线的性质及椭圆的定义计算可得.
【详解】设椭圆的右焦点为 F2 ，连接 MF2 ， AF2 ， NF1 ，
依题意可得长半轴长 a=2 ，半焦距 c=1 ，且 AF1=AF2=F1F2=2 ，
所以 △AF1F2 为等边三角形，则直线 MN 过 F2 ，
所以 C△AMN=AM+AN+MN=MF1+NF1+MF2+NF2
=MF1+MF2+NF1+NF2=2a+2a=4a=8 ，即 △AMN 的周长为 8 .
故答案为： 8
14．【答案】 ①. 13 ②. 130
【分析】（1）根据第一次从两个口袋均取出红球，再根据概率的乘法公式求解即可；
（2）依题意前三次取球均不为两个红球，再计算单次取球两个口袋不全为红球的概率，再根据概率的乘法公式求解即可.
【详解】（1）依题意第一次从两个口袋均取出红球，故 PA1=22×13=13 ；
（2）依题意前三次取球均不为两个红球，第4次取球为两个红球.
故 PA4=1-22×13×1-23×14×1-24×15×25×16=23×56×910×115=130 .
故答案为： 13 ； 130
15．【答案】（1） A=π3
（2） S=5312
【分析】（1）根据正弦定理边角转化和二倍角余弦公式得到 3sinA-csA=1 ，再利用辅助角求解即可.
（2）根据余弦定理 22=b2+c2-2bccsπ3 得到 bc=53 ，再利用正弦定理面积公式求解即可.
【详解】（1）
3asinC=2ccs2A2⇒3sinAsinC=2sinC⋅121+csA ，
因为 sinC＞0 ，所以 3sinA-csA=1 .
所以 2sinA-π6=1 ，即 sinA-π6=12 .
因为 -π6＜A-π6＜56π ，所以 A-π6=π6 ，即 A=π3 .
（2）
22=b2+c2-2bccsπ3⇒4=b+c2-3bc⇒bc=53 ，
所以 S=12×53×32=5312 .
16．【答案】（1）证明见解析
（2） 427
【分析】（1）取正六边形 ABCDEF 的中心 O ， AF 、 AB 的中点 M,N ，再根据面面垂直的性质分别证明 OM⊥PA ， ON⊥PA ，进而可得 PA⊥ 平面 ABCDEF ，即可得 PA⊥CD ；
（2）取 PF 中点 Q ，根据线面垂直的判定与性质可得二面角 C-PF-A 为 ∠CQA ，再根据几何关系求解 QC,AC 即可得 sin∠CQA .
【详解】（1）
取正六边形 ABCDEF 的中心 O ， AF 、 AB 的中点 M,N ，连接如图.
因为平面 PAF⊥ 平面 ABCDEF ，平面 PAF∩ 平面 ABCDEF=AF ，
又 OM⊥AF ， OM⊂ 平面 ABCDEF ，故 OM⊥ 平面 PAF .
又 PA⊂ 平面 PAF ，故 OM⊥PA .
同理可得 ON⊥PA ，又 OM,ON⊂ 平面 ABCDEF ， OM∩ON=O ，
故 PA⊥ 平面 ABCDEF .
又 CD⊂ 平面 ABCDEF ，故 PA⊥CD .
（2）
取 PF 中点 Q ，连接 QA,QC,AC .
因为 ABCDEF 为正六边形，故 ∠ABC=∠FAB=2π3 ， ∠BAC=π6 ，
故 ∠FAC=∠FAB-∠CAB=π2 ，
又 PA⊥ 平面 ABCDEF ， AC⊂ 平面 ABCDEF ，
故 PA⊥AC ， FA⊥AC .
又 PA=AB=AF ， AC=AC ，故 △FAC≅△PAC ，故 FC=PC .
故 CQ⊥FP ， AQ⊥FP ，又 CQ,AQ⊂ 平面 ACQ ， CQ∩AQ=Q ，
故二面角 C-PF-A 为 ∠CQA .
又 PA=AB=AF=1 ，故 AQ=22 ， FC=2 ， AC=FC2-AF2=3 .
则 CQ=AQ2+AC2=12+3=142 .
故 sin∠CQA=ACQC=3142=427 ，即二面角 C-PF-A 的正弦值为 427 .
17．【答案】（1）极大值为 6427 ，极小值为 0
（2） a∈-∞,0∪1,+∞
【分析】（1）求出 fx 的导数，令导数为 0 ，根据导数求出函数的单调区间，求出 fx 的极值；
（2）求出 f′x ，根据二次函数的性质求出 a 的取值范围，分 a＞0 和 a＜0 两个情况求解.
【详解】（1）
当 a=2 时， fx=2xx-22 ， f′x=2x-23x-2 ，
令 f′x=0 ，解得 x=2 或 x=23 ，
若 x＜23 和 x＞2 时， f′x＞0 ；若 23＜x＜2 ， f′x＜0 ；
可知 fx 在 -∞,23,2,+∞ 内单调递增，在 23,2 内 fx 单调递减，
所以 fx 的极大值为 f23=6427 ， fx 的极小值为 f2=0 .
（2）
由题意可知： f′x=ax-a3x+a-4 ，
令 f′x=0 ，且 a≠0 ，解得 x=a 或 x=4-a3 ，
令 a=4-a3 ，解得 a=1 ，
若 a＞1 时，则 4-a3＜a ，
当 x∈-∞,4-a3∪a,+∞ 时， f′x＞0 ；当 x∈4-a3,a 时， f′x＜0 ；
可知 fx 在 -∞,4-a3,a,+∞ 内单调递增，在 4-a3,a 内单调递减，
则 fx 在 x=a 处有极小值，符合题意；
若 a=1 时，则 f′x=3x-12⩾0 ，
可知 fx 在 R 内单调递增，无极值，不合题意；
若 0＜a＜1 时，则 4-a3＞a ，
当 x∈-∞,a∪4-a3,+∞ 时， f′x＞0 ；当 x∈a,4-a3 时， f′x＜0 ；
可知 fx 在 -∞,a,4-a3,+∞ 内单调递增，在 a,4-a3 内单调递减，
则 fx x=4-a3 处有极小值，不符合题意；
若 a＜0 时，则 4-a3＞a ，
当 x∈-∞,a∪4-a3,+∞ 时， f′x＜0 ；当 x∈a,4-a3 时， f′x＞0 ；
可知 fx 在 -∞,a,4-a3,+∞ 内单调递减，在 a,4-a3 内单调递增，
则 fx 在 x=a 处有极小值，符合题意；
综上所述： a∈-∞,0∪1,+∞ .
18．【答案】（1） y2=4x
（2）（ⅰ）证明过程见解析；
（ⅱ） A,Q,B,K 四点共圆，理由见解析
【分析】（1）求出焦点和准线，设 Gx0,y0 ，由焦半径公式得到方程，求出 x0=7p2 ，从而得到 y02=2px0=7p2 ，由三角形面积得到方程，求出 p=2 ，求出答案；
（2）（ⅰ）设直线 AB:y=kx-1 ，与 y2=4x 联立，得到两根之和，两根之积，表达出直线 OA:y=y1x1x ，求出 M-1,-y1x1 ，同理得到 N-1,-y2x2 ，计算出 AN//BN ，得到答案；
（ⅱ）求出直线 AB 垂直平分线方程，得到 Q3+2k2,0 ，故 QF=2+2k2 ， KF=2 ， QF⋅KF=4+4k2 ，再由焦半径公式得到 AF⋅BF=4+4k2 ，故 QF⋅KF=AF⋅BF ，从而得到三角形相似，得到对角互补，得到四点共圆.
【详解】（1）
由题意得 Fp2,0 ，准线方程为 x=-p2 ，
设 Gx0,y0 ，则 x0+p2=4p ，解得 x0=7p2 ，
故 y02=2px0=7p2 ，不妨设 y0=7p ，
S△OFG=12OF⋅y0=74p2=7 ，
解得 p=2 ， C 的方程为 y2=4x ；
（2）
（ⅰ） F1,0 ，准线方程为 x=-1 ，
设直线 AB:y=kx-1 ，与 y2=4x 联立得 k2x2-2k2+4x+k2=0 ，
设 Ax1,y1,Bx2,y2 ，则 x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1 ，
直线 OA:y=y1x1x ，当 x=-1 时， y=-y1x1 ，故 M-1,-y1x1 ，
同理可得 N-1,-y2x2 ，
则 AN=-1-x1,-y2x2-y1 ， BN=-1-x2,-y1x1-y2 ，
故 -1-x1-y1x1-y2--1-x2-y2x2-y1=y1x1+y2+y1+x1y2-y2x2-y1-y2-x2y1
=y1x1-y2x2+x1y2-x2y1=x2y1-x1y2x1x2+x1y2-x2y1=x1y2-x2y11-1x1x2=0 ，
故 AN//BN ， AN//BM ，证毕；
（ⅱ） A,Q,B,K 四点共圆，理由如下：
由题意得 K-1,0 ，
y1+y2=kx1+x2-2k=2k2+4k-2k=4k ，
则 x1+x22=k2+2k2,y1+y22=2k ，则线段 AB 的中点坐标为 k2+2k2,2k ，
故直线 AB 的垂直平分线方程为 y-2k=-1kx-k2+2k2 ，
令 y=0 得 x=3+2k2 ，故 Q3+2k2,0 ，
则 QF=3+2k2-1=2+2k2 ， KF=2 ， QF⋅KF=4+4k2 ，
由焦半径公式可得 AF=x1+1,BF=x2+1 ，
因为 x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1
则 AF⋅BF=x1+1x2+1=x1x2+x1+x2+1=1+2k2+4k2+1=4+4k2 ，
故 QF⋅KF=AF⋅BF ，
又 ∠AFQ=∠BFK ，故 △AFQ∽ △KFB ， △AFK∽ △QFB ，
故 ∠BKQ=∠BAQ,∠ABQ=∠AKQ ，
由于 ∠AQB+∠BAQ+∠ABQ=π ，故 ∠AQB+∠AKQ+∠BKQ=π ，
即 ∠AQB+∠AKB=π ，
从而 A,Q,B,K 四点共圆.
19．【答案】（1） 3
（2） P=k-2k,k为偶数k-3k-1,k为奇数
（3） Sk=124k+1k-12k-3,k为奇数124kk-22k+1,k为偶数
【分析】（1）根据所给条件求出 a1 、 a2 、 a3 、 a4 ，即可得解；
（2）分①当 k⩾4 且 k 为偶数，②当 k⩾5 且 k 为奇数两种情况讨论，求出 ak 及不能构成三角形的个数，再由对立事件及古典概型的概率公式计算可得；
（3）利用分组求和法求出 S2k ，从而求出 S2k-1 ，即可求出 Sk .
【详解】（1）
因为 Ak=m,n,km＜n＜k,m+n⩾k,m,n∈N*k∈N* ，
所以 a1=a2=0 ，当 k=3 时 A3=1,2,3 ，所以 a3=1 ；
当 k=4 时 A4=2,3,4,1,3,4 ，所以 a4=2 ；
所以 S4=a1+a2+a3+a4=3 .
（2）
①当 k⩾4 且 k 为偶数时，
若 n⩽k2 ，则 m 不存在；
若 n=k2+1 ，则 m 为 k2 ， k2-1 ，符合条件，此时有 2 个元素，其中 k2-1,k2+1,k 不能构成三角形；
若 n=k2+2 ，则 m 为 k2+1 ， k2 ， k2-1 ， k2-2 ，符合条件，此时有 4 个元素，其中 k2-2,k2+2,k 不能构成三角形；
⋯⋯ ，
若 n=k-1 ，则 m 为 1 ， 2 ， 3 ， ⋯⋯ ， k-2 ，符合条件，此时有 k-2 个元素，其中 1,k-1,k 不能构成三角形；
综上，当 k⩾4 且 k 为偶数时， ak=2+4+6+⋯+k-2=k-2+22×k-22=kk-24 ，
其中不能构成三角形的个数为 k-1-k2+1+1=k-22 ，
所以当 k⩾4 且 k 为偶数时，所求概率 P=1-k-22kk-24=k-2k ；
②当 k⩾5 且 k 为奇数时，
若 n⩽k-12 ，则 m 不存在；
若 n=k+12 ，则 m 为 k-12 ，符合条件，此时有 1 个元素，其中 k-12,k+12,k 不能构成三角形；
若 n=k+12+1 ，则 m 为 k+12 ， k-12 ， k-32 ，符合条件，此时有 3 个元素，其中 k-32,k+12+1,k 不能构成三角形；
若 n=k+12+2 ，则 m 为 k+12+1 ， k+12 ， k+12-1 ， k+12-2 ， k+12-3 ，符合条件，此时有 5 个元素，其中 k+12-3,k+12+2,k 不能构成三角形；
⋯⋯ ，
若 n=k-1 ，则 m 为 1 ， 2 ， 3 ， ⋯⋯ ， k-2 ，符合条件，此时有 k-2 个元素，其中 1,k-1,k 不能构成三角形；
综上，当 k⩾5 且 k 为奇数时， ak=1+3+5+⋯+k-2=k-2+12×k-12=k-124 ，
其中不能构成三角形的个数为 k-1-k+12+1=k-12 ，
所以当 k⩾5 且 k 奇数时，所求概率 P=1-k-12k-124=k-3k-1 ；
所以当 k⩾4 时， P=k-2k,k为偶数k-3k-1,k为奇数 .
（3）
因为 S2k=a1+a3+a5+⋯+a2k-1+a2+a4+a6+⋯+a2k
=02+12+22+⋯+k-12+12-1+22-2+32-3+⋯+k2-k
=16k-1k2k-1+16kk+12k+1-kk+12
=16kk-14k+1 ，
S2k-1=S2k-a2k=16kk-14k+1-2k2k-24=16kk-14k-5 ，
所以 Sk=124k+1k-12k-3,k为奇数124kk-22k+1,k为偶数 .
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（本大题共8小题）
1．命题“ ∀a∈R,a1-a⩽14 ”的否定是（ ）
A. ∀a∈R,a1-a＞14 B. ∃a∈R,a1-a⩽14
C. ∀a∉R,a1-a⩽14 D. ∃a∈R,a1-a＞14
2．双曲线 4x2-y2=4aa≠0 的渐近线方程为（ ）
A. y=±x B. y=±2x C. y=±ax D. y=±ax
3．若 x2+1 可分解因式为 x-z1x-z2 ，且 z1-z2i＞0 ，则复数 z11+z2 的虚部为（ ）
A. 1B. 12 C. -1 D. -12
4．已知函数 fx=1-x-2+x ，则下列函数为奇函数的是（ ）
A. y=fx+1+1 B. y=fx-1+1
C. y=fx+1-1 D. y=fx-1-1
5．已知 O 是 △ABC 所在平面内一点，且 2AO=OB+OC ，若 AO=λAB+μAC ，则 λ+μ= （ ）
A. 23 B. 13 C. 12 D. 14
6．已知异面直线 a 与 b 所成的角为 π3 ， a 与 c 所成的角为 π2 ，则 b 与 c 所成角的范围是（ ）
A. π6,π3 B. π6,π2 C. π4,π3 D. π4,π2
7．如图， A,B 和 C,D 分别为函数 fx=sinωx+φω＞0,-π＜φ＜0 图象上的两个最高点、两个最低点，若四边形 ABCD 的面积为 2π ，直线 AD 过点 -5π12,0 ，则 f2π3= （ ）
A. -22 B. 22 C. -32 D. 32
8．已知 fx 为 R 上的减函数，设函数 gx=fx,x⩾0f-x,x＜0 ，则满足不等式 g4-m＞gm 的 m 的取值范围是（ ）
A. 1,+∞ B. 2,+∞ C. -∞,1∪1,+∞ D. -∞,2∪2,+∞
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（本大题共3小题）
9．2023年央视主持人大赛，在某场比赛中，17位专业评审为某参赛者的打分分别为94.2，94.6，95.8，96.2，96.4，96.8，96.8，97.0，97.0，97.2，97.2，97.6，97.6，98.0，98.2，98.6，98.6，记该组数据为 M ，去掉一个最高分和一个最低分后余下的数据记为 N ，且 N 组数据的平均分为97.0，则（ ）
A. M 组与 N 组数据的极差相等
B. M 组与 N 组数据的中位数相等
C. M 组数据的平均数小于 N 组数据的平均数
D. M 组数据的 70% 分位数小于 N 组数据的 80% 分位数
10．如图，球与棱长为2的正方体的六个面都相切，分别为棱的中点，为正方形的中心，则（ ）
A．球与该正方体的体积之比为
B．球与该正方体的表面积之比为
C．直线被球截得的线段的长度为
D．过三点的正方体的截面与球的球面的交线长为
11．已知 ⊙C:x-22+y2=4 ，直线 l:x=2,O 为原点，点 P 在 ⊙C 上，直线 OP 与 l 交于点 Q,R 在直线 OP 上，且 PQ=OR ，点 R 的轨迹为史留斯蚌线，记为曲线 E ，其中 l 是 E 的渐近线，如图所示．设 Mx0,y0 是 E 上一点，则（ ）
A. -2⩽x0＜2
B. 存在异于原点 O 的点 M ，使得 M 关于点 O 的对称点仍在 E 上
C. 若 M 在第二象限，则 y0 的最大值为 33
D. 若 M 在第一象限，则直线 OM 的斜率大于 ex02
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．（本大题共3小题）
12．tan9π8+12 的值是___________．
13．已知椭圆 C:x24+y23=1 的上顶点为 A ，左焦点为 F1 ，线段 AF1 的中垂线与 C 交于 M,N 两点，则 △AMN 的周长为___________．
14．有甲、乙两个口袋，甲口袋装有2个红球，乙口袋装有1个红球，2个白球，有放回地从两个口袋中各取1个球，并记为1次取球，若取到的2个球均为红球，则停止取球；否则在两个口袋中各加进1个白球，然后再按照以上规则取球，直到取到的2个球均为红球为止．记 Ak= “取了 k 次球后停止取球” k=1,2,3,⋯ ，则 PA1= ___________； PA4= ___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（本大题共5小题）
15．已知 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，且 3asinC=2ccs2A2 ．
（1）求 A ；
（2）若 a=2,b+c=3 ，求 △ABC 的面积 S ．
16．如图，在六棱锥 P-ABCDEF 中，底面 ABCDEF 是边长为1的正六边形， PA=AB ，平面 PAF⊥ 平面 ABCDEF ，平面 PAB⊥ 平面 ABCDEF ．
（1）证明： PA⊥CD ；
（2）求二面角 C-PF-A 的正弦值．
17．已知函数 fx=ax-a2x+a-2a≠0 ．
（1）当 a=2 时，求 fx 的极值；
（2）若 fx 在 x=a 处有极小值，求 a 的取值范围．
18．已知抛物线 C:y2=2pxp＞0 的焦点为 F ，准线为 l,O 为坐标原点， G 是 C 上一点，且 G 到 l 的距离为 4p,△OFG 的面积为 7 ．
（1）求 C 的方程；
（2）已知过点 F 且不与坐标轴垂直的直线与 C 交于 A,B 两点．
（ⅰ）设直线 OA,OB 分别与 l 交于点 M,N ，证明： AN//BM ；
（ⅱ）设 l 与 x 轴的交点为 K ，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于 Q 点，则 A,Q,B,K 四点是否在同一个圆上？并说明理由．
19．设集合 Ak=m,n,km＜n＜k,m+n⩾k,m,n∈N*k∈N* ，记 Ak 中元素的个数为 ak ，数列 ak 的前 k 项和为 Sk ．
（1）求 S4 的值；
（2）当 k⩾4 时，从 Ak 中随机取出一个元素 m,n,k ，求以 m,n,k 为长度的三条线段为边能构成一个三角形的概率；
（3）求 Sk ．
参考公式： 12+22+32+⋯+n2=16nn+12n+1 ．
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.
【详解】命题“ ∀a∈R,a1-a⩽14 ”为全称量词命题，
则其否定为： ∃a∈R,a1-a＞14 .
故选：D
2．【答案】B
【分析】将双曲线方程写成标准形式，再根据渐近线方程公式求解即可.
【详解】双曲线 4x2-y2=4aa≠0 即 x2a-y24a=1 ，故渐近线方程为 y=±4aax=±2x .
故选：B
3．【答案】D
【分析】根据 i2=-1 ，求出 z1 、 z2 ，再根据复数代数形式的除法运算化简 z11+z2 ，即可判断.
【详解】因为 x2+1=x2--1=x2-i2=x+ix-i ，
若 z1=iz2=-i ，则 z1-z2=2i ，所以 z1-z2i=2i2=-2＜0 ，不符合题意；
若 z1=-iz2=i ，则 z1-z2=-2i ，所以 z1-z2i=-2i2=2＞0 ，符合题意；
所以 z1=-i ， z2=i ，
所以 z11+z2=-i1+i=-i1-i1+i1-i=-12-12i ，
所以复数 z11+z2 的虚部为 -12 .
故选：D
4．【答案】C
【分析】根据奇偶性的定义判断即可.
【详解】因为 fx=1-x-2+x ，
所以 fx+1-1=1-x+1-2+x+1-1=-x-1+x+1 ，
令 gx=fx+1-1=-x-1+x+1 ，定义域为 R ，
且 g-x=--x-1+-x+1=--x-1+x+1=-gx ，
所以 gx=fx+1-1 为奇函数，故C正确；
又 y=fx+1+1=-x-1+x+1+2 ，为非奇非偶函数，故A错误；
y=fx-1+1=1-x-1-2+x-1+1=-x-3+x-1+2 ，为非奇非偶函数，故B错误；
y=fx-1-1=1-x-1-2+x-1-1=-x-3+x-1 ，为非奇非偶函数，故D错误.
故选：C
5．【答案】C
【分析】根据平面向量线性运算法则及基本定理计算可得.
【详解】因为 2AO=OB+OC ，所以 2AO-2OA=OB-OA+OC-OA ，
即 4AO=AB+AC ，即 AO=14AB+14AC ，
又 AO=λAB+μAC ， AB 、 AC 不共线，所以 λ=14μ=14 ，所以 λ+μ=12 .
故选：C
6．【答案】B
【分析】由异面直线的夹角，结合平面的基本性质，讨论 c 的位置研究异面直线 b 与 c 所成角的范围.
【详解】作 b′//b 交 a 于 O 点，所有与 a 垂直的直线平移到 O 点组成与 a 垂直的平面 α ，故 c⊂α ，
如上图：当 c 为 α 与 a 、 b′ 所成平面的交线或其平行线时， b 与 c 所成角最小为 π6 ；
当 c 为垂直于 a 、 b′ 所成平面的线或其平行线时， b 与 c 所成角最大为 π2 ，
所以 b 与 c 所成角的范围是 π6,π2 .
故选：B
7．【答案】A
【分析】根据四边形 ABCD 的面积为 2π ，结合 fx 的周期与振幅可得 ω=3 ，再根据直线 AD 过点 -5π12,0 ，数形结合可得
【详解】因为四边形 ABCD 的面积为 2π ，且 AB=T=2πω ， CD=2T=4πω ，梯形 ABCD 的高为2，
故 12×2πω+4πω×2=2π ，解得 ω=3 ，即 fx=sin3x+φ .
又直线 AD 过点 -5π12,0 ，由对称性可得 fx 过点 -5π12,0 ，即 3×-5π12+φ=kπ,k∈Z ，即 φ=kπ+5π4,k∈Z .
又 -π＜φ＜0 ，可得 φ=-3π4 ，故 fx=sin3x-3π4 .
故 f2π3=sin3×2π3-3π4=sin5π4=-22 .
故选：A
8．【答案】B
【分析】先判断出 gx 的奇偶性，再根据函数的单调性即可求解.
【详解】解：由题意知： gx 的定义域为 R ，关于原点对称，
当 x＞0 时， -x＜0 ， gx=fx ，
则 g-x=f--x=fx=gx ，
当 x=0 ， g0=f0 ，
当 x＜0 时， -x＞0 ， gx=f-x ，
则 g-x=f-x=gx ，
故 gx 为偶函数，
又 fx 为 R 上的减函数，
∴gx 在 0,+∞ 上单调递减，在 -∞,0 上单调递增，
∵g4-m＞gm ，
∴g4-m＞gm ，即 4-m＜m ，解得： m＞2 .
故选：B.
9．【答案】BCD
【分析】根据极差、中位数、平均数、百分位数定义一一判断即可.
【详解】 M 组数据的极差为 98.6-94.2=4.4 ，
N 组数据为94.6，95.8，96.2，96.4，96.8，96.8，97.0，97.0，97.2，97.2，97.6，97.6，98.0，98.2，98.6，
则 N 组数据的极差为 98.6-94.6=4 ，故A错误；
M 组数据与 N 组数据的中位数 97.0 ，故B正确；
M 组数据的平均数 15×97+98.6+94.217≈96.93＜97 ，所以 M 组数据的平均数小于 N 组数据的平均数，故C正确；
17×70%=11.9 ，所以 M 组数据的 70% 分位数为 97.6 ，
15×80%=12 ，所以 N 组数据的 80% 分位数为 97.6+982=97.8 ，
所以 M 组数据 70% 分位数小于 N 组数据的 80% 分位数，故D正确.
故选：BCD
10．【答案】BC
【分析】根据正方体和球的表面积和体积公式，可判定A错误；B正确；连接，取中点，得到，求得到的距离，结合圆的弦长公式，可判定C正确；以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，求得和平面的法向量，结合距离公式，得到过三点的正方体的截面恰好过球的球心，可判定D错误.
【详解】因为球与棱长为2的正方体的六个面都相切，
对于A中，可得正方体的体积为，
球的半径为，体积为，
球与该正方体的体积之比为，所以A不正确；
对于B中，正方体的表面积为，球的表面积为，
所以球与该正方体的表面积之比为，所以B正确；
对于C中，连接，可得，
再连接，在直角中，可得，
取中点，连接，则，可得，
即点到的距离为，
所以直线被球截得的线段的长度为，
所以C正确；
对于D中，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得，
则，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
所以点到平面的距离为，
可得过三点的正方体的截面恰好过球的球心，
所以截面交线的周长为，所以D错误.
故选：BC.
11．【答案】AD
【分析】设 Rx,y ， Px1,y1 ， Qx2,y2 ，设 OR=λOP λ≠0 得到 x1=xλy1=yλ ，即可得到 1λ=4xx2+y2 ，设 OR=μOP μ≠0 ，则 1μ=2x ，再由 PQ=OR ，则 1μ-1λ=1 ，从而求出曲线 E 的方程，即可判断A、B；利用特殊值判断C，设 fx=2-x2+xex0＜x＜2 ，利用导数说明函数的单调性，即可得到 2+x2-x＞ex ，从而判断D.
【详解】设 Rx,y ， Px1,y1 ， Qx2,y2 ，由 OP 与 l 相交，则 P 不与 O 重合，即 x1≠0 ，
设 OR=λOP λ≠0 ，则 x,y=λx1,y1 ，所以 x1=xλy1=yλ ，代入 x-22+y2=4 ，可得 xλ2+yλ2-4xλ=0 ，
即 1λ=4xx2+y2 ，
设 OR=μOQ μ≠0 ，则 x,y=μx2,y2 ，即 x2=xμ ，代入 x=2 ，即 xμ=2 ，即 1μ=2x ，
由 PQ=OR ，即 OQ-OP=OR ，所以 1μOR-1λOR=OR ，
当 OR≠0 时 1μ-1λ=1 ，从而 2x-4xx2+y2=1 ，整理得 y2=2+x2-x⋅x2 ；
当 OR=0 时 OQ=OP ，即 P 和 Q 重合， R0,0 ，此时方程 y2=2+x2-x⋅x2 成立；
所以曲线 E 的方程为 y2=2+x2-x⋅x2 ；
由 y02=2+x02-x0⋅x02⩾0 ，所以 2+x02-x0⩾0 ，解得 -2⩽x0＜2 ，故A正确；
E 在第一象限的部分对应的方程为 y=2+x2-x⋅x0＜x＜2 ①，
E 在第三象限的部分对应的方程为 y=2+x2-x⋅x-2＜x＜0 ，
它关于原点成中心对称的部分对应的方程为 -y=2-x2+x⋅-x-2＜-x＜0 ，
即 y=2-x2+x⋅x0＜x＜2 ②，
联立①②解得 x=0 ，这样 0＜x＜2 矛盾，所以不存在异于原点 O 的点 M ，使得 M 关于点 O 的对称点仍在 E 上，
由对称性可知，二、四象限也不存在关于点 O 的对称点仍在 E 上，故B错误；
当 x=-1 时 y2=13 ，当 x=-1.2 时 y2=0.36＞13 ，故C错误；
设 fx=2-x2+xex0＜x＜2 ，则 f′x=-x22+x2ex＜0 ，
所以 fx 在 0,2 上单调递减，
从而 fx＜f0=1 ，所以 2-x2+xex＜1 ，即 2+x2-x＞ex ，
所以 y2=2+x2-x⋅x2＞exx2 ，即 y2x2＞ex ，即 yx＞ex2 ，
所以若 M 在第一象限，则直线 OM 的斜率大于 ex02 ，故D正确.
故选：AD
12．【答案】2
【分析】根据 tan94π=2tan98π1-tan298π=1 求解即可.
【详解】因为 tan94π=2tan98π1-tan298π=tan14π=1 ，故 2tan98π=1-tan298π ，即 2tan98π+tan298π=1 ，故 tan9π8+12=tan29π8+2tan9π8+1=2 .
故答案为：2
13．【答案】 8
【分析】设椭圆的右焦点为 F2 ，连接 MF2 ， AF2 ， NF1 ，依题意可得 △AF1F2 为等边三角形，从而得到直线 MN 过 F2 ，再根据线段垂直平分线的性质及椭圆的定义计算可得.
【详解】设椭圆的右焦点为 F2 ，连接 MF2 ， AF2 ， NF1 ，
依题意可得长半轴长 a=2 ，半焦距 c=1 ，且 AF1=AF2=F1F2=2 ，
所以 △AF1F2 为等边三角形，则直线 MN 过 F2 ，
所以 C△AMN=AM+AN+MN=MF1+NF1+MF2+NF2
=MF1+MF2+NF1+NF2=2a+2a=4a=8 ，即 △AMN 的周长为 8 .
故答案为： 8
14．【答案】 ①. 13 ②. 130
【分析】（1）根据第一次从两个口袋均取出红球，再根据概率的乘法公式求解即可；
（2）依题意前三次取球均不为两个红球，再计算单次取球两个口袋不全为红球的概率，再根据概率的乘法公式求解即可.
【详解】（1）依题意第一次从两个口袋均取出红球，故 PA1=22×13=13 ；
（2）依题意前三次取球均不为两个红球，第4次取球为两个红球.
故 PA4=1-22×13×1-23×14×1-24×15×25×16=23×56×910×115=130 .
故答案为： 13 ； 130
15．【答案】（1） A=π3
（2） S=5312
【分析】（1）根据正弦定理边角转化和二倍角余弦公式得到 3sinA-csA=1 ，再利用辅助角求解即可.
（2）根据余弦定理 22=b2+c2-2bccsπ3 得到 bc=53 ，再利用正弦定理面积公式求解即可.
【详解】（1）
3asinC=2ccs2A2⇒3sinAsinC=2sinC⋅121+csA ，
因为 sinC＞0 ，所以 3sinA-csA=1 .
所以 2sinA-π6=1 ，即 sinA-π6=12 .
因为 -π6＜A-π6＜56π ，所以 A-π6=π6 ，即 A=π3 .
（2）
22=b2+c2-2bccsπ3⇒4=b+c2-3bc⇒bc=53 ，
所以 S=12×53×32=5312 .
16．【答案】（1）证明见解析
（2） 427
【分析】（1）取正六边形 ABCDEF 的中心 O ， AF 、 AB 的中点 M,N ，再根据面面垂直的性质分别证明 OM⊥PA ， ON⊥PA ，进而可得 PA⊥ 平面 ABCDEF ，即可得 PA⊥CD ；
（2）取 PF 中点 Q ，根据线面垂直的判定与性质可得二面角 C-PF-A 为 ∠CQA ，再根据几何关系求解 QC,AC 即可得 sin∠CQA .
【详解】（1）
取正六边形 ABCDEF 的中心 O ， AF 、 AB 的中点 M,N ，连接如图.
因为平面 PAF⊥ 平面 ABCDEF ，平面 PAF∩ 平面 ABCDEF=AF ，
又 OM⊥AF ， OM⊂ 平面 ABCDEF ，故 OM⊥ 平面 PAF .
又 PA⊂ 平面 PAF ，故 OM⊥PA .
同理可得 ON⊥PA ，又 OM,ON⊂ 平面 ABCDEF ， OM∩ON=O ，
故 PA⊥ 平面 ABCDEF .
又 CD⊂ 平面 ABCDEF ，故 PA⊥CD .
（2）
取 PF 中点 Q ，连接 QA,QC,AC .
因为 ABCDEF 为正六边形，故 ∠ABC=∠FAB=2π3 ， ∠BAC=π6 ，
故 ∠FAC=∠FAB-∠CAB=π2 ，
又 PA⊥ 平面 ABCDEF ， AC⊂ 平面 ABCDEF ，
故 PA⊥AC ， FA⊥AC .
又 PA=AB=AF ， AC=AC ，故 △FAC≅△PAC ，故 FC=PC .
故 CQ⊥FP ， AQ⊥FP ，又 CQ,AQ⊂ 平面 ACQ ， CQ∩AQ=Q ，
故二面角 C-PF-A 为 ∠CQA .
又 PA=AB=AF=1 ，故 AQ=22 ， FC=2 ， AC=FC2-AF2=3 .
则 CQ=AQ2+AC2=12+3=142 .
故 sin∠CQA=ACQC=3142=427 ，即二面角 C-PF-A 的正弦值为 427 .
17．【答案】（1）极大值为 6427 ，极小值为 0
（2） a∈-∞,0∪1,+∞
【分析】（1）求出 fx 的导数，令导数为 0 ，根据导数求出函数的单调区间，求出 fx 的极值；
（2）求出 f′x ，根据二次函数的性质求出 a 的取值范围，分 a＞0 和 a＜0 两个情况求解.
【详解】（1）
当 a=2 时， fx=2xx-22 ， f′x=2x-23x-2 ，
令 f′x=0 ，解得 x=2 或 x=23 ，
若 x＜23 和 x＞2 时， f′x＞0 ；若 23＜x＜2 ， f′x＜0 ；
可知 fx 在 -∞,23,2,+∞ 内单调递增，在 23,2 内 fx 单调递减，
所以 fx 的极大值为 f23=6427 ， fx 的极小值为 f2=0 .
（2）
由题意可知： f′x=ax-a3x+a-4 ，
令 f′x=0 ，且 a≠0 ，解得 x=a 或 x=4-a3 ，
令 a=4-a3 ，解得 a=1 ，
若 a＞1 时，则 4-a3＜a ，
当 x∈-∞,4-a3∪a,+∞ 时， f′x＞0 ；当 x∈4-a3,a 时， f′x＜0 ；
可知 fx 在 -∞,4-a3,a,+∞ 内单调递增，在 4-a3,a 内单调递减，
则 fx 在 x=a 处有极小值，符合题意；
若 a=1 时，则 f′x=3x-12⩾0 ，
可知 fx 在 R 内单调递增，无极值，不合题意；
若 0＜a＜1 时，则 4-a3＞a ，
当 x∈-∞,a∪4-a3,+∞ 时， f′x＞0 ；当 x∈a,4-a3 时， f′x＜0 ；
可知 fx 在 -∞,a,4-a3,+∞ 内单调递增，在 a,4-a3 内单调递减，
则 fx x=4-a3 处有极小值，不符合题意；
若 a＜0 时，则 4-a3＞a ，
当 x∈-∞,a∪4-a3,+∞ 时， f′x＜0 ；当 x∈a,4-a3 时， f′x＞0 ；
可知 fx 在 -∞,a,4-a3,+∞ 内单调递减，在 a,4-a3 内单调递增，
则 fx 在 x=a 处有极小值，符合题意；
综上所述： a∈-∞,0∪1,+∞ .
18．【答案】（1） y2=4x
（2）（ⅰ）证明过程见解析；
（ⅱ） A,Q,B,K 四点共圆，理由见解析
【分析】（1）求出焦点和准线，设 Gx0,y0 ，由焦半径公式得到方程，求出 x0=7p2 ，从而得到 y02=2px0=7p2 ，由三角形面积得到方程，求出 p=2 ，求出答案；
（2）（ⅰ）设直线 AB:y=kx-1 ，与 y2=4x 联立，得到两根之和，两根之积，表达出直线 OA:y=y1x1x ，求出 M-1,-y1x1 ，同理得到 N-1,-y2x2 ，计算出 AN//BN ，得到答案；
（ⅱ）求出直线 AB 垂直平分线方程，得到 Q3+2k2,0 ，故 QF=2+2k2 ， KF=2 ， QF⋅KF=4+4k2 ，再由焦半径公式得到 AF⋅BF=4+4k2 ，故 QF⋅KF=AF⋅BF ，从而得到三角形相似，得到对角互补，得到四点共圆.
【详解】（1）
由题意得 Fp2,0 ，准线方程为 x=-p2 ，
设 Gx0,y0 ，则 x0+p2=4p ，解得 x0=7p2 ，
故 y02=2px0=7p2 ，不妨设 y0=7p ，
S△OFG=12OF⋅y0=74p2=7 ，
解得 p=2 ， C 的方程为 y2=4x ；
（2）
（ⅰ） F1,0 ，准线方程为 x=-1 ，
设直线 AB:y=kx-1 ，与 y2=4x 联立得 k2x2-2k2+4x+k2=0 ，
设 Ax1,y1,Bx2,y2 ，则 x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1 ，
直线 OA:y=y1x1x ，当 x=-1 时， y=-y1x1 ，故 M-1,-y1x1 ，
同理可得 N-1,-y2x2 ，
则 AN=-1-x1,-y2x2-y1 ， BN=-1-x2,-y1x1-y2 ，
故 -1-x1-y1x1-y2--1-x2-y2x2-y1=y1x1+y2+y1+x1y2-y2x2-y1-y2-x2y1
=y1x1-y2x2+x1y2-x2y1=x2y1-x1y2x1x2+x1y2-x2y1=x1y2-x2y11-1x1x2=0 ，
故 AN//BN ， AN//BM ，证毕；
（ⅱ） A,Q,B,K 四点共圆，理由如下：
由题意得 K-1,0 ，
y1+y2=kx1+x2-2k=2k2+4k-2k=4k ，
则 x1+x22=k2+2k2,y1+y22=2k ，则线段 AB 的中点坐标为 k2+2k2,2k ，
故直线 AB 的垂直平分线方程为 y-2k=-1kx-k2+2k2 ，
令 y=0 得 x=3+2k2 ，故 Q3+2k2,0 ，
则 QF=3+2k2-1=2+2k2 ， KF=2 ， QF⋅KF=4+4k2 ，
由焦半径公式可得 AF=x1+1,BF=x2+1 ，
因为 x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1
则 AF⋅BF=x1+1x2+1=x1x2+x1+x2+1=1+2k2+4k2+1=4+4k2 ，
故 QF⋅KF=AF⋅BF ，
又 ∠AFQ=∠BFK ，故 △AFQ∽ △KFB ， △AFK∽ △QFB ，
故 ∠BKQ=∠BAQ,∠ABQ=∠AKQ ，
由于 ∠AQB+∠BAQ+∠ABQ=π ，故 ∠AQB+∠AKQ+∠BKQ=π ，
即 ∠AQB+∠AKB=π ，
从而 A,Q,B,K 四点共圆.
19．【答案】（1） 3
（2） P=k-2k,k为偶数k-3k-1,k为奇数
（3） Sk=124k+1k-12k-3,k为奇数124kk-22k+1,k为偶数
【分析】（1）根据所给条件求出 a1 、 a2 、 a3 、 a4 ，即可得解；
（2）分①当 k⩾4 且 k 为偶数，②当 k⩾5 且 k 为奇数两种情况讨论，求出 ak 及不能构成三角形的个数，再由对立事件及古典概型的概率公式计算可得；
（3）利用分组求和法求出 S2k ，从而求出 S2k-1 ，即可求出 Sk .
【详解】（1）
因为 Ak=m,n,km＜n＜k,m+n⩾k,m,n∈N*k∈N* ，
所以 a1=a2=0 ，当 k=3 时 A3=1,2,3 ，所以 a3=1 ；
当 k=4 时 A4=2,3,4,1,3,4 ，所以 a4=2 ；
所以 S4=a1+a2+a3+a4=3 .
（2）
①当 k⩾4 且 k 为偶数时，
若 n⩽k2 ，则 m 不存在；
若 n=k2+1 ，则 m 为 k2 ， k2-1 ，符合条件，此时有 2 个元素，其中 k2-1,k2+1,k 不能构成三角形；
若 n=k2+2 ，则 m 为 k2+1 ， k2 ， k2-1 ， k2-2 ，符合条件，此时有 4 个元素，其中 k2-2,k2+2,k 不能构成三角形；
⋯⋯ ，
若 n=k-1 ，则 m 为 1 ， 2 ， 3 ， ⋯⋯ ， k-2 ，符合条件，此时有 k-2 个元素，其中 1,k-1,k 不能构成三角形；
综上，当 k⩾4 且 k 为偶数时， ak=2+4+6+⋯+k-2=k-2+22×k-22=kk-24 ，
其中不能构成三角形的个数为 k-1-k2+1+1=k-22 ，
所以当 k⩾4 且 k 为偶数时，所求概率 P=1-k-22kk-24=k-2k ；
②当 k⩾5 且 k 为奇数时，
若 n⩽k-12 ，则 m 不存在；
若 n=k+12 ，则 m 为 k-12 ，符合条件，此时有 1 个元素，其中 k-12,k+12,k 不能构成三角形；
若 n=k+12+1 ，则 m 为 k+12 ， k-12 ， k-32 ，符合条件，此时有 3 个元素，其中 k-32,k+12+1,k 不能构成三角形；
若 n=k+12+2 ，则 m 为 k+12+1 ， k+12 ， k+12-1 ， k+12-2 ， k+12-3 ，符合条件，此时有 5 个元素，其中 k+12-3,k+12+2,k 不能构成三角形；
⋯⋯ ，
若 n=k-1 ，则 m 为 1 ， 2 ， 3 ， ⋯⋯ ， k-2 ，符合条件，此时有 k-2 个元素，其中 1,k-1,k 不能构成三角形；
综上，当 k⩾5 且 k 为奇数时， ak=1+3+5+⋯+k-2=k-2+12×k-12=k-124 ，
其中不能构成三角形的个数为 k-1-k+12+1=k-12 ，
所以当 k⩾5 且 k 奇数时，所求概率 P=1-k-12k-124=k-3k-1 ；
所以当 k⩾4 时， P=k-2k,k为偶数k-3k-1,k为奇数 .
（3）
因为 S2k=a1+a3+a5+⋯+a2k-1+a2+a4+a6+⋯+a2k
=02+12+22+⋯+k-12+12-1+22-2+32-3+⋯+k2-k
=16k-1k2k-1+16kk+12k+1-kk+12
=16kk-14k+1 ，
S2k-1=S2k-a2k=16kk-14k+1-2k2k-24=16kk-14k-5 ，
所以 Sk=124k+1k-12k-3,k为奇数124kk-22k+1,k为偶数 .
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