江西省上饶市广丰区金桥学校2025届高三上学期9月 数学测试卷（含解析）

这是一份江西省上饶市广丰区金桥学校2025届高三上学期9月 数学测试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．定义在上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数的一个零点是，且在上单调，则（ ）
A．B．C．D．
4．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，是双曲线的左、右焦点，过点的直线与的两条渐近线从左到右依次交于，两点，且，，则的渐近线的倾斜角为（ ）
A．或B．或C．或D．或
6．要把5名农业技术员分到3个乡村支援工作，每名技术员只分配到1个村，甲村至少需要2名，乙村、丙村均不少于1名，则不同的分配方案共有（ ）
A．180种B．120种C．90种D．80种
7．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知定义域为的函数的导函数为，且，若实数，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，无极值点
C．，使在上是减函数
D．图象对称中心的横坐标不变
10．已知向量，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．设函数，则的最大值为2
C．的最大值为
D．若，且在上的投影向量为，则与的夹角为
11．关于函数，为常数，则（ ）
A．若，则
B．若，总有恒成立，则
C．当时，方程恰好只有一个实数根
D．若函数有两个极值点，则实数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知函数，且，则的最大值为 .
13．已知向量，，若，则的值为 ．
14．已知双曲线的一条渐近线方程为，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．函数，．
(1)当时，求的单调区间；
(2)对任意，都有，使得成立，求的取值范围．
16．在中，，为边上的中线，点在边上，设．
(1)当时，求的值；
(2)若为的角平分线，且点也在边上，求的值；
(3)在（2）的条件下，若，求为何值时，最短？
17．如图，在平面四边形中，.
(1)若,求；
(2)若,求.

18．已知椭圆的离心率为．
(1)求椭圆E的方程和短轴长；
(2)设直线与椭圆E相切于第一象限内的点P，不过原点O且平行于的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，点A关于原点O的对称点为C，证明：．
19．已知数列的前项和为，，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和.
1．A
【分析】利用的奇偶性与单调性得到在上单调递增与，再分类讨论的取值范围，结合偶函数的性质即可得解.
【详解】因为定义在上的偶函数在上单调递减，且，
所以在上单调递增，，
因为，
当，即时，，即，
所以，即，解得，故；
当，即时，，即，
所以，即或，解得或，故；
综上：或.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是充分利用偶函数的性质，从而简化运算得解.
2．B
【分析】先利用函数值域的求法计算集合，再根据交集的概念计算即可.
【详解】由对数函数及二次根式的意义可知得，则．
故选：B．
3．B
【分析】利用三角函数的零点和单调区间求解即可.
【详解】，
函数的一个零点是，故，,
所以，
在上单调，则，
故，解得，
且，故，
结合
故
故选：B
4．C
【分析】先根据余弦定理和面积公式得到，结合同角的三角函数基本关系时可得，故可求的取值范围，结合对勾函数的单调性可求的取值范围.
【详解】在中，由余弦定理得，且的面积，
由，得，化简得，
又，，联立得，
解得或（舍去），
所以，
因为为锐角三角形，所以，，所以，
所以，所以，所以，
设，其中，所以，
由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，；当时，；
所以，即的取值范围是．
故选：C.
5．C
【分析】由题意通过几何关系得到，进一步由可得，再结合余弦定理即可得出的关系，进一步即可得解.
【详解】
设为坐标原点.由题意得的渐近线方程为，得，.
由，即是的中位线，得，
则，所以.
由，
得，所以，
所以在中，由余弦定理，得，即，
所以的渐近线的倾斜角为或.
故选：C.
6．D
【分析】先明确各村分配到的技术人员数，再按所需人数依次选人即可求解.
【详解】依题意甲、乙、丙三个村依次分配到的技术人员数有：
2、2、1；或2、1、2；或3、1、1这三种可能..
当甲村只分配2名技术人员时：
先选2名技术人员分给甲村有种分法；
接着选2名技术人员给乙村，剩下1名给丙村，
或者先选1名给乙村，剩下2名给丙村有种分法；
所以共有种分法.
当给甲村分配的是3名技术人员时：
先选3名技术人员分给甲村有种分法；
接着选1名技术人员给乙村，剩下1名给丙村有种分法；
此时共有种分法.
综上，共有种分配方案.
故选：D.
7．D
【分析】由条件结合等差数列性质求，再结合等差数列求和公式和性质求.
【详解】因为数列为等差数列，
所以，又，
所以，
所以，又，
所以.
故选：D.
8．D
【分析】证明出当时，，构造函数，利用导数分析函数的单调性，利用函数的单调性可判断CD选项，构造函数，结合导数法可判断AB选项.
【详解】构造函数，其中，则.
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，则，即，
因为，则，
对于AB选项，构造函数，该函数的定义域为，
则，无法确定的符号，无法确定函数的单调性，
故与的大小无法确定；
对于CD选项，构造函数，该函数的定义域为，则，
所以，函数在上单调递增，
则，即，
故.
故选：D.
9．BD
【分析】利用导数求出函数的极大值判断A；由恒成立判断B；由的解集能否为R判断C；求出图象的对称中心判断D.
【详解】对于A，当时，，求导得，
令得或，由，得或，由，
得，于是在，上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，因此最多有一个零点，A错误；
对于B，，当时，，即恒成立，
函数在R上单调递增，无极值点，B正确；
对于C，要使在R上是减函数，则恒成立，
而不等式的解集不可能为R，C错误；
对于D，由，
得图象对称中心坐标为，D正确.
故选：BD
10．ABD
【分析】根据判断A，由数量积的坐标表示及辅助角公式判断B，根据向量模的坐标表示及辅助角公式判断C，根据投影向量的定义及夹角公式判断D.
【详解】对于A：若，则，所以，故A正确；
对于B：，
所以当，即时取得最大值，最大值为，故B正确；
对于C：因为，
所以，
所以当时取得最大值，最大值为，故C错误；
对于D：在上的投影向量为，所以，
所以，
又，所以，此时，故D正确.
故选：ABD
11．ABD
【分析】直接代入数值可判断A；利用函数单调性的定义，将问题转化为恒成立，由此判断B；将问题转化为与的图象只有一个交点，从而判断C；将问题转化为与的图象在0,+∞上有两个交点，从而判断D.
【详解】对于A，当时，，
则，故A正确；
对于B，因为当时，总有恒成立，
所以在上为增函数，即f′x≥0恒成立，
因为，所以，
由f′x≥0恒成立，得在上恒成立，
令，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，所以，即，故B正确；
对于C，由，得，即，
令，则，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
则，且，当时，gx>0恒成立，
所以与的大致图象如下：
，
因为方程恰好只有一个实数根，即与的图象只有一个交点，
结合图象可得或，故C错误；
对于D，因为函数有两个极值点，所以有两个异号正零点，
由选项B可知其等价于与的图象在0,+∞上有两个交点，
而对于，当时，，当时，，
所以与的大致图象如下，
结合图象可得，即，故D正确．
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：利用数形结合的思想解决方程根的个数问题或者函数的零点问题，准确的画出图象是解题的关键.
12．
【分析】根据函数的零点定义，可以得到关于的两个等式，结合对数与指数的恒等变形公式，构造新函数，结合导数的性质，利用新函数的单调性得到之间的关系，最后对进行转化为关于的式子，最后构造新函数，利用导数的性质求出最值即可.
【详解】由，可得，
因为，所以，，显然，
由，
构造函数在上单调递增，
由，
而在上单调递增，所以有，
因此，设，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，函数有最大值，即，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用函数零点的定义得到等式，然后利用同构思想，结合导数的性质进行求解.
13．1
【分析】将两边平方化简可得，利用向量数量积的坐标运算求解即可.
【详解】由，两边平方可得：，
化简可得得，所以，则．
故答案为：1
14．
【分析】首先表示出双曲线的渐近线方程，即可得到方程，解得即可.
【详解】双曲线的渐近线为，
依题意，解得.
故答案为：
15．(1)递减区间是，递增区间是；
(2)．
【分析】（1）把代入，求出的导数，再解导数值大于0、小于0的不等式作答.
（2）求出函数的值域，再分类讨论求出函数在上的值域，结合包含关系求解作答.
【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得，
由，得，由，得，
所以函数的递减区间是，递增区间是.
（2）函数的定义域为，
令，求导得，当时，，当时，，
因此函数在上递减，在上递增，当时，，即，
，当且仅当时取等号，
令，则函数在上单调递增，，即存在，，
从而函数，由，得，
当时，，
当时，，，而当时，函数的取值集合为，
因此函数的值域是，
当时，，显然，
当，即时，，函数在上单调递增，则，
因此函数在上的值域为，
因为对任意，都有，使得成立，则函数在上的值域包含于函数的值域，
于是，即，解得，因此；
当，即时，，函数在上单调递减，则，
因此函数在上的值域为，则，
即，解得，矛盾；
当时，由，得，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，，
依题意，，整理得，解得，因此，
综上得
所以的取值范围是．
【点睛】知识点睛：一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
16．(1)
(2)
(3)当为何值时，最短
【分析】（1）由题意可知：，结合数量积的运算律分析求解；
（2）利用正弦定理可得，结合长度关系分析求解；
（3）设，利用面积关系和余弦定理可得，结合三角恒等变换以及基本不等式分析求解.
【详解】（1）由题意可知：，则，
即，
且，整理可得，即或（舍去），
所以的值为.
（2）在中，由正弦定理可得，即，
在中，由正弦定理可得，即，
若为的角平分线，则，即，
且，则，
即，可知，
则，可知，
又因为，则，所以.
（3）由（2）可知：，则，
且最短，即为最短，
设，则，，，
可知，可得，
由余弦定理可得，
则，
，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，
由（1）可知：，即，
可得，即（负值舍去）
所以当为何值时，最短.
17．（1）（2）3
【分析】（1）根据正弦定理直接可得；（2）设，根据得，由余弦定理可得，在直角三角形中求得，最后解方程得.
【详解】(1)由正弦定理得，，即,
解得.
(2)设，在中，,
在中,由余弦定理得，.
又所以，即.
整理得，解得或（舍去），即
18．(1)椭圆E的方程为，短轴长为
(2)证明见解析
【分析】（1）根据椭圆的离心率求出，即可得解；
（2）根据直线与椭圆相切，求出切点的坐标，再求出直线的斜率；根据，设出的方程，表示出的坐标，得到的斜率，再探索的值.
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆E的方程为，短轴长为；
（2）由，消y得①，
由，得，
此时方程①可化：，
解得：（由条件可知：异号），
设Px0,y0，则，，
即，所以，
因为，所以可设直线：（，），
由，消y得，
当时，方程有两个不相等的实根，
设Ax1,y1，Bx2,y2，
则，，
因为两点关于原点对称，所以，
所以，
所以，即.
19．(1)
(2)
【分析】（1）由题可知数列an是公差为2为等差数列，求出首项即可写出通项；
（2）先求出数列bn的通项，再用裂项求和的方法求前项和.
【详解】（1）由可知数列an是以公差的等差数列,
又得，
解得,
故，
即.
（2）因为,
所以
.