第12讲：拓展五：利用洛必达法则解决导数问题（原卷版）-备战2025年高考数学一轮复习精讲精练（知识·题型·分层练，新高考专用）

这是一份第12讲：拓展五：利用洛必达法则解决导数问题（原卷版）-备战2025年高考数学一轮复习精讲精练（知识·题型·分层练，新高考专用），共6页。试卷主要包含了型及型未定式等内容，欢迎下载使用。

1、定义：如果当（或）时，两个函数与都趋于零（或都趋于无穷大），那么极限（或）可能存在、也可能不存在.通常把这种极限称为型及型未定式.
2、定理1（型）：（1）设当时， 及；
（2）在点的某个去心邻域内（点的去心 \t "" 邻域内）都有，都存在，且；
（3）；
则：.
3、定理2（型）： 若函数和满足下列条件：(1) 及；
(2)，和在与上可导，且；
(3)，
那么 .
4、定理3（型）：若函数和满足下列条件：(1) 及；
(2)在点的去心 \t "" 邻域内，与可导且；
(3)，
那么 =.
5、将上面公式中的,,,洛必达法则也成立.
6、若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止:
,如满足条件，可继续使用洛必达法则.
二、型、、、型
1、型的转化：
或；
2、型的转化：
3、、型的转化：幂指函数类
高频考点类型
类型一：洛必达法则的简单计算
典型例题
1．（23-24高二下·新疆伊犁·期中）我们把分子､分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（ ）
A．B．C．1D．2
2．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（ ）
A．B．C．1D．2
3．（23-24高二下·重庆江北·阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则（ ）
A．0B．C．1D．2
练透核心考点
1．（23-24高二下·四川成都·期中）年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，按此方法则有 ．
2．（23-24高二下·四川成都·期中）1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，按此方法则有 ．
3．（23-24高二下·重庆万州·阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则 ．
类型二：洛必达法则在导数中的应用
典型例题
1．（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则
.
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；
(2)计算：；
(3)证明：，.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，如果当，且时，，求的取值范围．
练透核心考点
1．（2024·浙江·模拟预测）已知函数，
(1)当时，求函数的值域；
(2)若函数恒成立，求的取值范围.
2．（23-24高三上·四川成都·期中）已知函数.
(1)当时，求过原点且与的图象相切的直线方程；
(2)若有两个不同的零点，不等式恒成立，求实数的取值范围.