第10讲：拓展一：定义题（解答题）（解析版）-备战2025年高考数学一轮复习精讲精练（知识·题型·分层练，新高考专用）

这是一份第10讲：拓展一：定义题（解答题）（解析版）-备战2025年高考数学一轮复习精讲精练（知识·题型·分层练，新高考专用），共19页。试卷主要包含了为无穷数列的指数型母函数，定义在上的函数，如果满足，已知函数，，则称为的“重覆盖函数” .，定义，对于定义在区间上的函数，若等内容，欢迎下载使用。

1．（2024·安徽蚌埠·统考模拟预测）对于无穷数列，我们称（规定）为无穷数列的指数型母函数．无穷数列1，1，…，1，…的指数型母函数记为，它具有性质．
(1)证明：；
(2)记．证明：（其中i为虚数单位）；
(3)以函数为指数型母函数生成数列，．其中称为伯努利数．证明：．且．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由，通过赋值即可证得；
（2）根据的周期性，经过多次推理，由求和可以证得；
（3）构造，可以推出，然后再可证得.
【详解】（1）令，则．
由，令，则．
因为，故．
（2）证明：因为，
，
，
，
，
所以
（3）证明：令，则有
，
因此
故且，即．
【点睛】关键点点睛：主要考查了复数的周期性，考查推理论证能力，对学生思维要求比较高，综合性很强.
2．（2024上·全国·高三校联考竞赛）设有两个集合，如果对任意，存在唯一的，满足，那么称是一个的函数.设是的函数，是的函数，那么是的函数，称为和的复合，记为.如果两个的函数对任意，都有，则称.
(1)对，分别求一个，使得对全体恒成立；
(2)设集合和的函数以及的函数.
（i）对，构造的函数以及的函数，满足；
（ii）对，构造的函数以及的函数，满足，并且说明如果存在其它的集合满足存在的函数以及的函数，满足，则存在唯一的的函数满足.
【答案】(1)，
(2)（i），；（ii），，说明见解析
【分析】（1）利用对数函数性质结合题干条件求解；
（2）（i）利用常函数求解；（ii）结合（i）再证明唯一性即可.
【详解】（1）因为，而，
对全体恒成立；
故对所有成立.
（2）（i）考虑以及两个函数，
对任意，因为，
所以.
（ii）我们可以继续使用（i）的构造，
任意取，因为，所以，
所以，则，
因此存在满足条件；
如果符合题意，即，
则，
由定义得到；
所以存在唯一的的函数满足题意.
【点睛】关键点点睛：充分利用题目定义的新函数证明唯一性是关键.
3．（2024下·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，恒成立，则称是上的有界函数，其中称为的上界．
(1)若在上是以2为上界的有界函数，求的取值范围；
(2)已知，为正整数，是否存在整数，使得对，不等式恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）利用上界的定义，换元令转化函数式得，再结合与的单调性计算即可；
（2）假设存在满足题意，分离参数得，然后分类讨论为奇数或偶数，结合的取值范围计算即可.
【详解】（1）令，，则，
由题意可得，在上恒成立，
则在上恒成立，
∴，即，
易知在上单调递减，则，
根据对勾函数的性质可知：在上单调递增，则，
综上：．
（2）假设存在满足题意，
当为正偶数时，，即
设，易知，
则，，
∴；
当为正奇数时，，即
同理设，易知，
则，，
∴；
若存在，则且，即，
∴，即，
∴．
4．（2024上·安徽·高一校联考期末）对于函数，为函数定义域，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不增函数”.
(1)若函数是“同比不增函数”，求的取值范围；
(2)是否存在正常数，使得函数为“同比不增函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，且
【分析】（1）由恒成立，分离常数，结合三角函数的最值来求得的取值范围.
（2）结合的图象以及图象变换的知识求得的取值范围.
【详解】（1）因为函数是“同比不增函数”，则恒成立，
所以恒成立，所以，
即，由于，所以.
所以的取值范围是.
（2）存在，理由如下：
，画出的图象如下图所示，

的图象是由的图象向左平移个单位所得，
由图可知，当时，对任意的，都有成立，
所以存在正常数，使得函数为“同比不增函数”，且.
【点睛】关键点点睛：本题考查新定义的理解和应用，解题的关键在于利用题中的定义，将问题转化为恒成立问题，本题第（2）问利用数形结合思想求解比较直观简单.
5．（2024上·江苏常州·高一统考期末）中心对称函数指的是图形关于某个定点成中心对称的函数，我们学过的奇函数便是一类特殊的中心对称函数，它的对称中心为坐标原点. 类比奇函数的代数定义，我们可以定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心. 比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为.
(1)判断是否为中心对称函数（不用写理由），若是，请写对称中心；
(2)若定义在上的函数为中心对称函数，求的值；
(3)判断函数是否为中心对称函数，若是，求出其对称中心；若不是，请说明理由.
【答案】(1)是中心对称函数，对称中心为
(2)
(3)是中心对称函数，对称中心为.
【分析】（1）根据题意，由函数的解析式可得，即可得结论；
（2）若定义在上的函数为中心对称函数，其对称中心的横坐标必为， 由可知，，即可得出的值；
（3）根据题意，由函数的解析式可得，即可得结论．
【详解】（1）根据题意，的定义域为，
，若对，
都有，
所以中心对称函数，对称中心为；
（2）若定义在上的函数为中心对称函数，
明显定义域仅关于点对称，其对称中心的横坐标必为，
则
，
因为为中心对称函数，
则为定值，则，即，
所以关于点对称.
（3）函数的图象是中心对称图形，其对称中心为点
解方程得，所以函数的定义域为
明显定义域仅关于点对称
所以若函数的图象是中心对称图形，则其对称中心横坐标必为
设其对称中心为点， 则由题意可知有，
令，可得， 所以
所以若函数为中心对称图形，其对称中心必定为点
下面论证函数的图象关于点成中心对称图形：
即只需证明，
，得证.
【点睛】结论点睛：函数的对称性：
（1）若，则函数关于中心对称；
（2）若，则函数关于对称.
6．（2024上·山东济宁·高一统考期末）已知函数．
(1)求函数的定义域；
(2)试判断的单调性，并说明理由；
(3)定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”．若函数存在“完美区间”，求实数b的取值范围．
【答案】(1)
(2)单调递增，理由见解析
(3)
【分析】（1）由函数解析式直接求定义域；
（2）法一：利用复合函数单调性判定；
法二：定义法证明单调性；
（3）由题意可知方程在上至少存在两个不同的实数解，即在上至少存在两个不同的实数解，所以与在上至少存在两个不同的交点．再利用基本不等式求出函数的值域即可.
【详解】（1）要使函数的表达式有意义，须使，解得，
所以函数的定义域是．
（2）在上单调递增．
理由如下：法一：
因为，
又在上为增函数，在上为减函数，
在上为增函数，在上为增函数，
故在上单调递增．
法二：
因为，
对任意，，且，可知，则
，
又，
可知，所以，
即．故在上单调递增，
（3）由（2）可知在上单调递增，
设区间是函数的“完美区间”．则，．
可知方程在上至少存在两个不同的实数解，
即在上至少存在两个不同的实数解，
所以与在上至少存在两个不同的交点．
令，则，
所以，
当且仅当时，取等号．
又在上单调递减，在上单调递增，
且当时，；当时，．
所以．故实数b的取值范围为．
【点睛】思路点睛：第三问由题意，可将问题转化为方程在上至少存在两个不同的实数解，即在上至少存在两个不同的实数解，所以与在上至少存在两个不同的交点．接下来利用换元法求出函数的值域即可.
7．（2024·云南昆明·统考模拟预测）我们把（其中，）称为一元n次多项式方程．代数基本定理：任何复系数一元次多项式方程（即，，，…，为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元次多项式方程在复数集内有且仅有n个复数根（重根按重数计算）．那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元次多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为n个一元一次多项式的积．即，其中k，，，，，……，为方程的根．进一步可以推出：在实系数范围内（即，，，…，为实数），方程的有实数根，则多项式必可分解因式．例如：观察可知，是方程的一个根，则一定是多项式的一个因式，即，由待定系数法可知，．
(1)解方程：；
(2)设，其中，，，，且．
（i）分解因式：；
（ii）记点是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点．求证：当时，．
【答案】(1)，，
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）观察得到是方程的一个根，从而设，对照系数得到，，，得到，求出方程的根；
（2）（i）是方程的一个根，设，对照系数得到，，，从而得到答案；
（ii）令，故是方程的最小正实根，由（i）知：，设，根据的开口方向，结合，则一定有一正一负两个实根，设正实根为t，结合得到，故，得到.
【详解】（1）观察可知：是方程的一个根；
所以，
由待定系数法可知，，解得，，；
所以，即或，
则方程的根为，，．
（2）（i）由可知，是方程的一个根；
所以，
即，
对照系数得，，，，
故，，；
所以
．
（ii）令，即，
点是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点，
等价于是方程的最小正实根；
由（i）知：是方程的一个正实根，
且，
设，由，，，可知为开口向上的二次函数；
又因为，则一定有一正一负两个实根，设正实根为t；
又，可得，
所以；
当时，，
由二次函数单调性可知，即是方程的最小正实根．
【点睛】方法点睛：三次函数是近两年高考常考考点，需要对三次函数理解到位，求解三次函数的零点，常常需要先观察函数，直接法得到其中一个零点，将三次函数转化为二次函数，故常常利用二次函数的性质来研究三次函数的性质.
8．（2024上·江苏苏州·高一校考期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，，，使得（其中，，，，），则称为的“重覆盖函数” .
(1)判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由．
(2)若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围.
【答案】(1)是，
(2)
【分析】（1）根据定义，结合单调性即可求解；
（2）先求出的值域，然后将问题转化为的图象与直线有两个交点的问题，然后对a进行分类讨论可得；
【详解】（1）由定义可得，对任意，恰好存在个不同的实数，
使得（其中），
即，
由，
故当时，，此时不存在使成立，
当时，，且在上单调递增，
故对于任意，都有唯一一个，使得，
综上所述，对于任意，都有唯一一个，使得，
是的“重覆盖函数”，且；
（2）由可得，故，
，
即，存在2个不同的实数，使得，其中，
由时，，故，即，
故，故对任意，，
，
即对任意，都有2个实根，
当时，，且在上递增，
故时，都有唯一确定的实根，
故当时，亦有且有一个实根，
当时，，且在上单调递减，符合题意，
当时， 为开口向下的抛物线，不符合要求，故舍去。
当时，则需对称轴，且，
即，且，即，
综上，实数的取值范围是.
9．（2024上·广东·高一统考期末）定义：函数若存在正常数，使得，为常数，对任意恒成；则称函数为“代阶函数”．
(1)判断下列函数是否为“代阶函数”？并说明理由．
①，②.
(2)设函数为“代阶函数”，其中是奇函数，是偶函数.若，求的值．
【答案】(1)①是代阶函数，②不是代阶函数，理由见解析
(2)
【分析】（1）利用“代阶函数”的定义判断即可；
（2）根据“代阶函数”的定义，结合函数的奇偶性变形，得到，求解即可.
【详解】（1）①是代阶函数，
因为，此时，，
所以为代阶函数；
②不是代阶函数，
因为，所以不是代阶函数；
（2）由已知存在常数满足，
即，
令，则①，
令，则②，
因为是奇函数，是偶函数，
所以，，，，
①②，整理得，
令，则，又因为，
且，可得，所以，
所以
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点：通过给定一个新的概念，根据题目提供的信息，结合所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；遇到新定义的题目，要耐心读题，分析新定义的特点和性质，按新定义的要求求解.
10．（2024上·上海·高一上海市洋泾中学校考期末）对于定义在区间上的函数，若．
(1)已知，，试写出、的表达式；
(2)设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求的取值范围；
(3)若，存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由．
【答案】(1)、
(2)
(3)是，
【分析】（1）根据函数、在上的单调性可得出、的表达式；
（2）若与恰好为同一函数，只须在上是单调递减，讨论的取值由复合函数的单调性即可求解；
（3）根据函数在上的值域，写出、的解析式，再由求出的范围得到答案．
【详解】（1）解：因为函数在上单调递减，
则，
因为函数在上单调递增，则.
（2）解：若与恰好为同一函数，只须在上是单调递增，
当时，令，则，
由，则，对称轴，
根据复合函数的单调性，函数显然在为单调递减，故成立．
当时，令，由，则，只需，
化简得，解得，
综上所述的取值范围为
（3）解：因为函数在上单调递减，在上单调递增，
则，，
所以，，
当时，，，；
当时，，，
因为函数在上单调递减，所以，；
当时，，，
因为函数在上单调递增，
所以，.
综上所述：
故是上的“阶收缩函数”，且小正整数.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义问题，解题的关键在于确定新函数的解析式，根据题意将其转化为函数不等式成立的问题，再结合恒成立思想求解.
11．（2024上·广东肇庆·高一统考期末）对于函数，若定义域内存在实数，满足，则称为“函数”.
(1)已知函数，试判断是否为“函数”，并说明理由；
(2)已知函数为上的奇函数，函数，为其定义域上的“函数”，求实数的取值范围.
【答案】(1)是“函数”，理由见解析
(2)
【分析】（1）直接由新定义判断方程是否有解即可.
（2）由题意得首先得，然后对分类讨论，将问题转换为方程有解求参数范围即可.
【详解】（1）由题意，若函数在定义域内存在实数，满足，
可得，即.
当时，上式成立，所以存在，满足，
所以函数是“函数”.
（2）因为函数为上的奇函数，
所以，所以，经检验满足条件，
所以，所以，
所以，定义域为.
①当在区间上存在，满足时，
则，即.
令，则，当且仅当时取等号.
又，所以，即，
所以，
所以，
②当在区间上存在，满足时，
则，即有解.
因为在区间上单调递减，所以.
③当在区间上存在，满足时，
则，即有解.
因为在区间上单调递增，所以.
综上所述，实数m的取值范围为.
【点睛】关键点睛：第二问的关键是首先求得表达式，结合分类讨论以及方程有解即可顺利得解.
12．（2024上·北京顺义·高一统考期末）对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数，的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”.
(1)判断函数和函数是否存在“优美区间”?（直接写出结论，不要求证明）
(2)如果函数在R上存在“优美区间”，求实数a的取值范围.
【答案】(1)存在优美区间是，不存在优美区间
(2)或
【分析】（1）由函数的单调性及值域及新定义求解；
（2）由函数的单调性，分类讨论，，确定函数的最大值和最小值，转化为一元二次方程的根的分布，可得结论．
【详解】（1），在上单调递增，
由得或1，所以存在优美区间，
是增函数，若存在优美区间，则，无解，
即函数不存在优美区间；
（2）函数在上存在“优美区间”，设是一个优美区间，
在上递减，在上递增，
若，则，即有两个不等的非负根，
即，可得，当，即时，
设方程两根分别为，
则，则，所以；
若，则，即，
两式相减得，即，
所以，所以方程有两个不等的非正根，
方程整理为，
由，解得，
又满足题意，由，解得，
所以；
综上，的取值范围是或．
【点睛】本题考查函数的新定义，解题关键是理解新定义，解题难点是新定义的应用，解题方法是利用新定义把问题转化为一元二次方程根的分布，注意分类讨论的应用．对学生的逻辑思维能力运算求解能力要求较高，属于难题．