备战2025年高考数学一轮复习综合练习——一元二次不等式与其他常见不等式

这是一份备战2025年高考数学一轮复习综合练习——一元二次不等式与其他常见不等式，文件包含巩固练04一元二次不等式与其他常见不等式解法15种常见考点全面练精练94题原卷版docx、巩固练04一元二次不等式与其他常见不等式解法15种常见考点全面练精练94题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共68页， 欢迎下载使用。

考点1解不含参数的一元二次不等式
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用指数函数的单调性解集合得：，再利用求根式函数定义域解集合得：，最后利用并集求出结果即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：A.
2．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.
【详解】方程的解为或，
故不等式的解集为，
故答案为：.
3．（2024·湖南衡阳·三模）已知集合，集合，若，则 ．
【答案】0或1
【分析】先求出集合，再由可求出的值.
【详解】由，得，解得，
因为，所以，
所以，
因为，且，
所以或，
故答案为：0或1
4．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】C
【分析】先求出集合，再求两集合的交集.
【详解】由，，或，
所以或，
因为，
所以.
故选：C.
5．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先解一元二次不等式求出集合，再求两集合的交集即可.
【详解】解不等式可得，即；
又，因此．
故选：D
6．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解不等式化简集合A与B，然后利用交集运算求解即可.
【详解】因为，
，
所以.
故选：C
考点2解含有参数的一元二次不等式
7．（2024·河北沧州·模拟预测）已知集合，．若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解绝对值不等式求出集合，由，得，由此能求出实数的取值范围.
【详解】由，解得，所以集合 ，
由，可得，所以，
因为，所以，
当时，不符合题意，
所以，因为，所以，
即实数的取值范围是．
故选：B．
8．（2025高三·全国·专题练习）解下列关于的不等式
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【分析】（1）分，和讨论即可；
（2）计算得，分和或讨论即可；
（3）因式分解得，分 ，和讨论即可；
（4）分，两大类讨论即可.
【详解】（1）由，可得或，则：
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
（2）由对应函数开口向上，且，
当，即时，恒成立，原不等式解集为；
当，即或时，由，可得，
所以原不等式解集为；
综上，解集为；
或解集为.
（3）由得或.
当，即时，不等式解集为；
当，即时，解集为；
当，即时，解集为．
综上：时，不等式解集为；
时，解集为；
时，解集为．
（4）①当时，；∴.
②当时，由得或，
（i）当即时，，
（ⅱ）当即时，，
（ⅲ）当即时，，
综上，当时，所求不等式的解集为.
当时，所求不等式的解集为，
当时，所求不等式的解集为，
当时，所求不等式的解集为.
9．（2023·湖南·模拟预测）若关于x的不等式的解集恰有50个整数元素，则a的取值范围是 ，这50个整数元素之和为 ．
【答案】 或1625
【分析】讨论的范围，解出不等式，结合题意确定的范围及解集中的整数解，再利用等差数列求和公式求和即可.
【详解】不等式等价于不等式．
当时，的解集为，不合题意；
当时，的解集为，
则50个整数解为，，…，5，6，
所以，这50个整数元素之和为；
当时，的解集为，
则50个整数解为8，9，…，56，57，所以，
这50个整数元素之和为．
综上，a的取值范围是，这50个整数元素之和为或1625．
故答案为：；或1625
10．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）在区间内随机取一个实数，则关于的不等式仅有2个整数解的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用一元二次不等式解得，可得区间内仅包含两个整数，再利用几何概型概率公式可得结果.
【详解】根据题意可得不等式等价于；
因为，所以不等式的解集为；
依题意可得区间内仅有两个整数，即包含两个整数，可得；
由几何概型概率公式可得其概率为.
故选：C
11．（24-25高一上·上海·课后作业）解关于的不等式：（其中）．
【答案】答案见解析.
【分析】左边进行因式分解，根据函数与不等式的关系，求出端点值，后将端点值比较大小，分类讨论即可.
【详解】解：原不等式可化为．
①若，即，此时原不等式的解集为或；
②若，即，此时原不等式的解集为；
③若，即，此时原不等式的解集为或．
12．（21-22高一上·福建莆田·阶段练习）已知函数
(1)求关于x的不等式的解集；
(2)若在区间上恒成立，求实数a的范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）因式分解，再讨论二次方程两根的大小关系求解即可；
（2）参变分离可得在区间上恒成立，再换元令，根据基本不等式求解最值即可.
【详解】（1）即，故：
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
（2）在区间上恒成立，即，
即在区间上恒成立.
令，则在区间上恒成立.
又，当且仅当，即，时取等号.
故，故实数a的范围是
13．（23-24高一上·河南信阳·阶段练习）已知：，：.
(1)若是真命题，求对应的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解绝对值不等式即可得出答案；
（2）由是的必要不充分条件，可得，解不等式即可得出答案.
【详解】（1）∵：是真命题，∴，
∴，解得，
∴的取值范围是.
（2）由（1）知：：，：即
因为是的必要不充分条件，所以，解得：.
综上所述的取值范围是.
考点3分式不等式
14．（2024·广西贵港·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先解不等式求出两个集合，再求出，然后求即可.
【详解】由，得，解得，
所以，
由，得或，
所以，所以，
所以．
故选：B
15．（24-25高一上·上海·单元测试）分式不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】将分式不等式转化为整式不等式求解.
【详解】由，得，
即，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
16．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求解一元二次不等式和分式不等式，由充分性、必要性的定义分析即得解
【详解】由，
解得，
由且，
解得，
故，充分性不成立；
，必要性成立
故是成立的必要不充分条件
故选：B.
17．（23-24高二下·山西吕梁·期末）已知，，则是的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】首先解分式不等式求出命题，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由，即，等价于，解得，
所以，
又，所以由推得出，故充分性成立；
由推不出，故必要性不成立，
所以是的充分不必要条件.
故选：A
18．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出集合，再求出其补集，然后求出集合，再由.
【详解】由，得，得，解得或，
所以或，
所以，
由，得，所以，
所以.
故选：A
考点4绝对值不等式
19．（2024·全国·模拟预测）已知为实数集，集合，集合，则（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】C
【分析】分别求解分式不等式和绝对值不等式，即可得出，进而根据补集以及并集的运算，得出答案.
【详解】由可得，，
解得，或，所以，或.
由可得，，
解得，，
所以，或.
所以，或.
故选：C．
20．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先化简集合A，B，再利用并集的运算求解.
【详解】解：因为，
，
所以．
故选：B．
21．（2024·上海·三模）已知集合，，则 ．
【答案】
【分析】首先解绝对值不等式与分式不等式求出集合、，再根据交集的定义计算可得.
【详解】由，即，解得，
所以，
由，即，等价于，解得或，
所以，
所以.
故答案为：
22．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知非空集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先确定集合，由确定的取值范围.
【详解】根据题意，，
因为，所以，则，
所以.
故选：D
考点5根式不等式
23．（2024·山东泰安·模拟预测）若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出对应的集合，再用交集的定义求解即可.
【详解】由，解得，
则，
故.
故选：.
24．（2024·陕西西安·三模）若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求解根式不等式，化简集合A，然后再根据集合交集运算规则即可求解.
【详解】依题意得，则．
故选：C.
25．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，若，则的子集有（ ）
A．3个B．4个C．7个D．8个
【答案】B
【分析】先将集合A化简，求出集合C得解.
【详解】集合，因为，
所以，其子集有4个.
故选：B.
26．（2024·陕西安康·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分别解出集合、，得到，进而得到.
【详解】由题得，故，所以.
故选：A.
考点6指数不等式
27．（2024·青海·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】通过将集合中的元素代入集合 ，看是否符合不等式，即可得出结论.
【详解】由题意，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴和满足集合的要求，
∴，
故选：C.
28．（2023·全国·模拟预测）设全集为，集合，则（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】B
【分析】根据指数函数的性质求出集合，再解一元二次不等式求出集合，最后根据并集、补集的定义计算可得.
【详解】解：由，即，所以，解得，
所以，
由，即，解得，
所以，
所以，
所以；
故选：B
29．（2023·浙江宁波·二模）若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先解绝对值不等式求出集合、再解指数不等式求出集合，最后根据交集的定义计算可得.
【详解】由可得，解得，所以，
由，可得，所以，即，
所以.
故选：B
30．（23-24高一上·天津·期末）已知集合，，则
【答案】
【分析】化简集合，，利用集合的交集的定义即可求.
【详解】因为，，
所以.
故答案为：
31．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别求解不等式，再由交集定义求解.
【详解】又，即，可得，
又因为在上为增函数，由，可得，
所以，，所以.
故选：B.
32．（2024·全国·模拟预测）设集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】利用绝对值不等式和指数不等式的解法结合集合的运算求解即可.
【分析】 或 或，
．
所以．
故选：B．
考点7对数不等式
33．（2024·北京·模拟预测）已知集合，，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用对数不等式的解法及并集的定义即可求解.
【详解】由，得，解得，
所以，
所以.
故选：C.
34．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先分别求出，运用交集定义求出即可.
【详解】由得，解得，
当时，，当时等号成立，
所以，，则
故选:C.
35．（2023·全国·模拟预测）若集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由绝对值不等式及对数不等式求两个集合，在用交集运算即可.
【详解】由题意得或，，
所以．
故选：C．
36．（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先解对数不等式求出集合，在根据二次函数的性质求出集合，最后根据并集的定义计算可得.
【详解】由，解得，所以，
又，
所以.
故选：A
37．（2024·福建南平·模拟预测）已知全集，集合，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解不等式先求出集合，进而可得，再由，列不等式即可求出答案.
【详解】由，得，所以，则或，
由，得，所以，
又，所以，解得．
故选：D．
考点8高次不等式
38．（2019·湖南长沙·模拟预测）设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出集合S，然后直接进行集合的交集运算.
【详解】或，则.
故选：D
【点睛】本题考查集合的基本运算及区间，涉及高次不等式，属于基础题.
39．（2022·陕西咸阳·一模）使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．且B．
C．D．
【答案】D
【分析】求解已知不等式，从集合的角度，以及充分性和必要性的定义，即可选择.
【详解】因为，故不等式的解集为且，
故不等式成立的一个充分不必要条件所构成的集合应是且的真子集，
显然，满足题意的只有.
故选：D.
40．（2025高三·全国·专题练习）解下列关于x的不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)；
(9)；
(10).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
【分析】（1）（2）两题用一元二次不等式解法即可求解；
（3）（4）（10）三题用解分式方程的解法即可求解；
（5）（8）用解绝对值不等式的解法即可求解；
（6）（7）（9）解高阶不等式用穿针引线法可以求解；
【详解】（1）由，得，即，
所以，所以不等式的解集为.
（2）原不等式可化为或，
所以解集为{或}.
（3）由题得
由可得：或，又，
则得或，即不等式的解集为.
（4）由，得，
所以，解得或，
所以不等式的解集为.
（5）当，即时，，得，此时，，
当，即时，，得，此时，，
综上所述，，即不等式的解集为.
（6）原不等式可化为或，
即或．
由图可知，原不等式的解集为或．
（7）原不等式可化为，即，
即或，即或．
由图可知，原不等式的解集为或.
（8），令，则，原不等式为：，即，
由，则或，即.
（9）对于，
当时，，原不等式等价于，
等价于，解得或，即；
当时，，原不等式成立，所以是原不等式的一个解；
综上，原不等式的解集为.
（10）对于，变形为，即，与同解，
，即.
41．（2022·河北邯郸·一模）已知集合，，则（ ）
A．B．或
C．或D．或
【答案】D
【分析】先化简集合A，再去求即可解决.
【详解】由，
得或，解之得或
则或
又
则或或
故选：D
42．（2023·广西·模拟预测）满足不等式的整数解的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用穿针引线法解此不等式，计算出每个区间内整数解的个数，相加即可求解
【详解】利用穿针引线法解不等式，在有个；在有个；…在有个.
所以整数解的个数为：
.
故选：D
考点9由一元二次不等式的解确定参数
43．（2023·上海浦东新·模拟预测）设关于的不等式的解集为，则 .
【答案】
【分析】根据一元二次不等式与方程的关系求解.
【详解】因为关于的不等式的解集为，
所以一元二次方程的两个根为，
所以根据韦达定理可得，解得，
所以，
故答案为: .
44．（2024·浙江绍兴·三模）若关于的不等式的解集为，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】由题得、为方程的根，利用韦达定理计算即可得解.
【详解】由已知可得、为方程的根，
由韦达定理可得：，解得：
故选：B
45．（2024高三·全国·专题练习）关于的不等式的解集为，且，则 ．
【答案】/
【分析】先解二次不等式得到关于的表达式，再代入即可求得值.
【详解】因为由，得，解得，
所以，，
所以，
所以．
故答案为：.
46．（2023·江西南昌·二模）已知关于x的不等式的解集为，则的解集为 ．
【答案】
【分析】由题意可得且方程的解为，再根据韦达定理求得的关系即可得解.
【详解】因为关于x的不等式的解集为，
所以且方程的解为，
则，
所以，即，
所以不等式的解集为．
故答案为：．
47．【多选】（23-24高二上·山东威海·期末）已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
【答案】BD
【分析】根据给定的解集，用表示出，再逐项判断作答.
【详解】不等式的解集为，则是方程的根，且，
则，即，A错误；
不等式化为，解得，即不等式的解集是，B正确；
，C错误；
不等式化为，即，解得或，
所以不等式的解集为，D正确.
故选：BD
48．（2023·河南·模拟预测）某同学解关于的不等式时，因弄错了常数的符号，解得其解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用根与系数关系、一元二次不等式的解求得的关系式，进而求得不等式的解集.
【详解】由题意可知，且，所以，
所以化为，
，解得.
故选：C
49．（23-24高三上·重庆荣昌·阶段练习）已知关于不等式的解集为或．
(1)求值；
(2)当，且满足时，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，得到和是方程的两个实数根，结合韦达定理列出方程组，即可求解；
（2）由（1）得到，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：因为不等式的解集为或，
可得和是方程的两个实数根，且，
则，解得.
（2）解：由（1）知，可得，
因为，所以
，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
50．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解为，那么的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意得出a、b、c的关系，代入新的一元二次不等式求解即可.
【详解】一元二次不等式的解为，
所以的解为，且，
由韦达定理得，代入得
，
故选：D.
51．【多选】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知关于的不等式的解集是，则（ ）
A．
B．
C．
D．不等式的解集是或
【答案】ABD
【分析】由一元二次不等式的解和韦达定理逐项判断即可.
【详解】由题意可知，1，3是方程的两个根，且，，
A：由以上可知，故A正确；
B：当时，代入方程可得，故B正确；
C：因为，不等式的解集是，故将代入不等式左边为，故C错误；
D：原不等式可变为，且，约分可得，解集为或，故D正确；
故选：ABD
52．（2024·福建南平·二模）关于的实系数二次不等式的解集为，若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】由已知可得是一元二次方程的根，进而可得，可得，可求的最小值.
【详解】因为关于的实系数二次不等式的解集为，
所以是一元二次方程的根，
所以，解得，所以，所以，
所以
当且仅当时取等号.
所以的最小值为.
故选：C.
53．（2022·全国·模拟预测）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】讨论m与2的大小关系，求得不等式的解集， 根据解集中恰有4个整数，确定m的取值范围.
【详解】不等式即 ，
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，
这四个整数只能是3,4,5,6，故，
当时，不等式解集为 ，此时不符合题意；
当 时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，
这四个整数只能是 ，故，，
故实数m的取值范围为，
故选：C
54．（2022·天津和平·二模）已知不等式的解集中恰有五个整数，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据一元二次不等式的解法，结合已知分类讨论进行求解即可.
【详解】，
当时，原不等式化为，显然，不符合题意；
当时，不等式的解集为，其中解集中必有元素，
若五个整数是时，可得，此时解集为空集，
若五个整数是时，，此时解集为空集，
若五个整数是时，，
若五个整数是时，，此时解集为空集，
若五个整数是时，，此时解集为空集；
当时，不等式的解集为，其中解集中必有元素，
若五个整数是时，可得，此时解集为空集，
若五个整数是时，，此时解集为空集，
若五个整数是时，，
若五个整数是时，，此时解集为空集，
五个整数是时，，此时解集为空集，
故答案为：.
【点睛】关键点睛：运用分类讨论思想是解题的关键.
55．（2024·广东·一模）已知且，则“的解集为”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式的解及充分条件、必要条件求解.
【详解】由题意，二次不等式的解集为，
则等价于，即，即，
当时，不能推出，
所以“的解集为”是“”的充分不必要条件，
故选：A
56．（2020·河南郑州·二模）已知函数，若关于x的不等式恰有1个整数解，则实数a的最大值是（ ）
A．2B．3C．5D．8
【答案】D
【分析】画出函数的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出.
【详解】解：函数，如图所示
当时，，
由于关于的不等式恰有1个整数解
因此其整数解为3，又
∴，，则
当时，，则不满足题意；
当时，
当时，，没有整数解
当时，，至少有两个整数解
综上，实数的最大值为
故选：D
【点睛】方法点睛：处理方式主要是：先作出函数图象，解含参一元二次不等式（将函数值整体看作变量），
再通过数形结合与分类讨论思想，讨论整数解出现的情况，此外还需要特别注意端点位置的取舍.
57．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后都表示成的形式即可.
【详解】因为不等式的解集为，
所以二次函数的对称轴为直线，
且需满足，即，解得，
所以，所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端点的值，继而用同一个变量来表示求解.
考点10一元二次不等式在实数集上恒成立问题
58．（19-20高二上·安徽·阶段练习）若命题：“，使”是假命题，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据特称命题的否定，结合二次函数的性质，可得答案.
【详解】由题意可知：命题：，.是真命题，
①当时，结论显然成立；
②当时，则，解得；
故答案为：.
59．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式的解集为R，则实数k的取值范围为 ．
【答案】
【分析】分和两种情况讨论即可.
【详解】①时，，原不等式可化为，解集为R成立；
②时，
解得，
综上，，即实数k的取值范围为.
故答案为：.
60．（24-25高一上·上海·单元测试）不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分和两种情况，结合二次函数的性质分析讨论即可得解.
【详解】当，即时，恒成立，
当时，因为对恒成立，
所以，解得，
综上，，
即实数a的取值范围为.
故选：C
61．（24-25高一上·上海·期中）关于x的一元二次不等式的解集为空集，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用判别式法求解.
【详解】解：因为关于x的一元二次不等式的解集为空集，
所以，对恒成立，
所以，解得，
所以实数m的取值范围为，
故答案为：
62．（23-24高一上·安徽淮北·阶段练习）下列条件中，为“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出关于x的不等式对恒成立的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义即可求解.
【详解】若关于x的不等式对恒成立，
当时，不等式等价于恒成立，故满足要求，
当时，原不等式恒成立当且仅当，解得，
综上所述，若关于x的不等式对恒成立，则当且仅当，
而选项中只有是的充分不必要条件.
故选：B.
63．（2024高三·全国·专题练习）已知二次函数（，为实数）
(1)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围；
(2)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得，由，恒成立列出不等式求解即得.
（2）由对恒成立，结合一次函数的性质求出答案即可.
【详解】（1）依题意，，即，
由，恒成立，得，
即，整理得，
解得.
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，，
由，得，即，
依题意，对恒成立，
令，
则对，恒成立，于是，
解得，
所以实数的取值范围是．
考点11一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
64．（22-23高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）对任意的，不等式都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分离参数得对任意的恒成立，则求出即可.
【详解】因为对任意的，都有恒成立，
∴对任意的恒成立．
设，
，，
当，即时，，
∴实数a的取值范围是.
故选：D.
65．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数，且.
(1)求a的值；
(2)当时，恒成立，求m的取值范围.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据，即可由对数运算代入求解.
（2）根据一元二次不等式与二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）因为，
所以,
因为，所以，
则.
（2）由（1）可知，等价于.
令，则，
原不等式等价于在上恒成立，
则，解得，
故m的取值范围为.
66．【多选】（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】先将恒成立问题转化为最值问题求出的范围，然后利用充分不必要条件的概念选择答案.
【详解】，
则对都成立，
又，所以，
观察选项可得命题“”是真命题的一个充分不必要条件是BCD.
故选：BCD.
67．（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】将问题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解.
【详解】因为“，使”是假命题，
所以“，”为真命题，
其等价于在上恒成立，
又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即实数的取值范围为.
故答案为：.
68．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知命题：任意，使为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，由题意可得任意，恒成立，结合二次函数性质列不等式求的取值范围.
【详解】设，则，
原命题等价于：任意，使为真命题，
所以，其中
设， 则
函数，的最大值为与中的较大者，
所以，
∴，解得，
故选：C.
69．【多选】（23-24高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）设函数的定义域为，满足，当时，，若对于任意的，都有，则实数的取值可以是（ ）
A．3B．C．D．6
【答案】AB
【分析】
根据，且当时，，作出函数的部分图象，结合图象即可求出实数的取值范围，从而得出结论.
【详解】由函数的定义域为，满足，
当时，可得，
当时，，，
当时，，；
作出函数的部分图象如下图所示：
由类周期函数性质可知，当时，恒成立；
解方程可得或；
又因为对于任意的，都有，利用图象可知，
因此选项AB符合题意.
故选：AB
70．（2024·陕西西安·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】.
【分析】根据题意分离参数，进而构造函数求定区间的最值即可.
【详解】当时，不等式恒成立，
所以当时，恒成立，则，
令，则在单调递增，
所以，所以.
故答案为：.
71．（2024·陕西榆林·三模）已知，若当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令，易得的对称轴为，则，进而可得出答案.
【详解】令，
由题意可得，则，
又因为，所以，
函数的对称轴为，
则，
即，
即，结合，解得.
故选：A.
72．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若对任意，则所有满足条件的有序数对是 ．
【答案】
【分析】由题意可得，然后利用不等式的性质对不等式组变形可求得结果.
【详解】因为对任意，
所以必须满足，
即，
由，得，
解得，①，
再由，得，
解得，②，
由①②得，
所以，即，解得，
经检验，当，时，，则
的最大值为，的最小值为，
满足任意，
所以满足条件的有序数对只有一对，
故答案为：.
考点12一元二次不等式在某区间上有解问题
73．（22-23高二上·河南·开学考试）设a为实数，若关于x的不等式在区间上有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】参变分离，再根据对勾函数的性质，结合能成立问题求最值即可.
【详解】由题意，因为，故在区间上有实数解，则，又在上单调递减，在上单调递增，且，，故.故在区间上有实数解则.
故选：A
74．（2022·陕西宝鸡·模拟预测）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分别在、和的情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果.
【详解】①当时，不等式化为，解得：，符合题意；
②当时，为开口方向向上的二次函数，
只需，即；
③当时，为开口方向向下的二次函数，
则必存在实数，使得成立；
综上所述：实数的取值范围为.
故选：C.
75．（2021·江苏·二模）已知函数.若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，可判断为奇函数且在递增，由得，所以成立，分离参数利用最值求解即可．
【详解】解：，
令，则
又因为在递增，
所以，得
则，所以
又，使得，易知：，所以，
故选：C．
方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
76．（2022·四川雅安·模拟预测）已知关于的方程在上有实数根，且满足，则的最大值是 .
【答案】2
【分析】由题得，将代入，分离参数得，结合换元法和对勾函数性质即可求解.
【详解】由可得，，
整理得，令，因为，所以，不等式等价于，即，结合对勾函数性质可知，（时取到），（时取到），所以，则的最大值是2.
故答案为：2
77．（2023·河南·模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题知时，，再根据二次函数求最值即可得答案.
【详解】解：因为命题“，”为真命题，
所以，命题“，”为真命题，
所以，时，，
因为，，
所以，当时，，当且仅当时取得等号.
所以，时，，即实数的取值范围是
故选：C
78．（2023·四川成都·模拟预测）若不等式在上有解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知可得在区间上有解，求出在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围．
【详解】因为关于的不等式在区间上有解，
所以在区间上有解，
设，，其中在区间上单调递减，
所以有最小值为，
所以实数的取值范围是．
故选：C．
79．（18-19高二上·山东潍坊·阶段练习）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用均值不等式求出最小值，根据题意列不等式求解即可.
【详解】
，要使得不等式有解，只需有解即可，
解得或者，
故选：D
考点13一元二次方程根的分布问题
80．（20-21高一上·浙江杭州·阶段练习）关于x方程在内恰有一解，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】讨论，方程根的情况，结合根的分布列不等式，即可求的范围.
【详解】当时，，不合题意；
∴，令，有，，要使在内恰有一个零点，
∴即可，则，
故选：B
【点睛】本题考查了由一元二次方程根的分布求参数范围，应用了分类讨论的方法，属于基础题.
81．（23-24高一上·天津南开·期中）已知函数．
(1)不等式的解集为，求的取值范围；
(2)若函数的两个零点在区间内，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得恒成立，分、两种情况讨论；
（2）分、两种情况讨论，结合二次方程根的分布得到方程组，解得即可.
【详解】（1）因为不等式的解集为，
所以恒成立，
当，即时，则，解得，显然不符合题意；
当时，则需满足，解得，
即的取值范围为
（2）若函数的两个零点在区间内，
显然，
当，则需满足，即，解得，
当，则需满足，即，解得，
综上可得.
82．（22-23高一上·湖南长沙·开学考试）若一元二次方程的两个根都大于2，求实数a的取值范围．
【答案】
【分析】利用一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质求解即可.
【详解】因为一元二次方程的两个根都大于2，令，
所以，解得，
故实数a的取值范围为
83．（23-24高一上·重庆·期末）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据二次函数图像特征，满足，即得a的取值范围.
【详解】设，开口向上，
由题意知，
即，解得，
所以．
故答案为：．
84．（23-24高二下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）关于的方程满足下列条件，求的取值范围.
(1)有两个正根；
(2)一个根大于1，一个根小于1；
(3)一个根在内，另一个根在内；
【答案】(1)；
(2)
(3).
【分析】（1）根据韦达定理和根的判别式得到不等式，求出；
（2）令，设的两个根为，，故只需，求出答案；
（3）根据方程一个根在内，另一个根在内，得到不等式，求出答案.
【详解】（1）令，设的两个根为.
由题得，解得.
（2）令，设的两个根为.
若方程的一个根大于1，一个根小于1，
由于，开口向上，
故只需，解得.
（3）令，设的两个根为.
若方程一个根在内，另一个根在内，
结合开口向上，
则，解得.
85．（21-22高一上·辽宁沈阳·期中）已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（ ）
A．-2B．C．D．1
【答案】B
【分析】由判别式可解得，由根与系数关系可得，由的范围结合不等式的性质变形可得答案．
【详解】由题意可得，
解得或，
设两个为，，由两根为正根可得
，解得，
综上知，.
故两个根的倒数和为
，
，，，
故，
，
故两个根的倒数和的最小值是.
故选：B
86．（2022·安徽·模拟预测）在区间上任取两个实数a，b，则方程有两个不同的非负根的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据方程有两个不同的非负根，可得，在平面直角坐标系作出可行域，结合图象，根据几何概型即可得解.
【详解】解：因为方程有两个不同的非负根，
所以，则，
如图，作出不等式组所表示得平面区域为，
在区间上任取两个实数a，b，所表示得平面区域为正方形，
，
所以方程有两个不同的非负根的概率为.
故选：B.
考点14一元二次不等式的实际应用
87．（2022·上海·模拟预测）有一人患了流感，经过两轮传染后超过100人患了流感，若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么x满足的不等关系为（ ）
A．x（1+x）≥100B．1+x（1+x）＞100
C．x+x（1+x）≥100D．1+x+x（1+x）＞100
【答案】D
【分析】先求出第一轮后患了流感的人数，进一步求出经过第二轮后患了流感的人数.
【详解】若每轮传染中平均一个人传染了x个人，
则经过第一轮后有（1+x）个人患了流感，
经过第二轮后有[（1+x）+x（1+x）]个人患了流感，
∴x满足的不等关系为（1+x）+x（1+x）＞100.
故选：D．
88．（2024高三·全国·专题练习）在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中.
(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围;
(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值.
【答案】(1).
(2).
【分析】（1）由题意，求解，又，解出的取值范围.
（2）由题意知网店销售的利润，养羊的利润，得到恒成立，化简利用基本不等式求得最值.
【详解】（1）由题意，得，
整理得，解得，又，
所以，故x的取值范围为.
（2）由题意知网店销售的利润为万元，
技术指导后，养羊的利润为万元，
则恒成立.
又，则恒成立.
又，当且仅当时，等号成立，
，即的最大值为6.5.
89．（23-24高二上·山东泰安·阶段练习）第一机床厂投资生产线500万元，每万元可创造利润1.5万元．该厂通过引进先进技术，在生产线的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍．现将在生产线少投资万元全部投入生产线，且每万元创造的利润为万元，其中．
（1）若技术改进后生产线的利润不低于原来生产线的利润，求的取值范围；
（2）若生产线的利润始终不高于技术改进后生产线的利润，求的最大值．
【答案】（1）；（2）5.5．
【分析】（1）由题意，生产线原利润、改进后利润分别为万元，万元，根据它们的不等关系即可求的取值范围；（2）生产线的利润为万元，根据已知不等关系结合（1）有恒成立，应用基本不等式求的最大值.
【详解】解:（1）由题意，得，整理得，解得，又，故．
（2）由题意知，生产线的利润为万元，技术改进后，生产线的利润为万元，则恒成立，又，
∴恒成立，又，当且仅当时等号成立，
∴，即的最大值为5.5．
【点睛】本题考查了不等式的实际应用，根据实际题设中的不等关系列不等式求参数范围，属于基础题.
90．（20-21高一·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售价销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，
可列不等式 同时需要注意最低售价为15元，即.同时满足上述条件，可解得范围得到答案
【详解】由题意，得，即，∴，解得．又每盏的最低售价为15元，∴．
故选：B．
91．（2022·上海青浦·一模）考虑到高速公路行车安全需要，一般要求高速公路的车速（公里/小时）控制在范围内.已知汽车以公里/小时的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为升，其中为常数，不同型号汽车值不同，且满足.
(1)若某型号汽车以120公里/小时的速度行驶时，每小时的油耗为升，欲使这种型号的汽车每小时的油耗不超过9升，求车速的取值范围；
(2)求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.
【答案】(1)；
(2)当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升；
当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升.
【分析】（1）根据题意，可知当时，求出的值，结合条件得出，再结合，即可得出车速的取值范围；
（2）设该汽车行驶100千米的油耗为升，得出关于与的函数关系式，通过换元令，则，得出与的二次函数，再根据二次函数的图象和性质求出的最小值，即可得出不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.
【详解】（1）解：由题意可知，当时，，解得：，
由，即，解得：，
因为要求高速公路的车速（公里/小时）控制在范围内，
即，所以，
故汽车每小时的油耗不超过9升，求车速的取值范围.
（2）解：设该汽车行驶100千米的油耗为升，
则，
令，则，
所以，，
可得对称轴为，由，可得，
当时，即时，
则当时，；
当，即时，
则当时，；
综上所述，当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升；
当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升.
考点15一元二次不等式在几何中的应用
92．（20-21高一·全国·课后作业）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m）的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角形相似列出方程，将矩形的另一边用表示，再根据矩形的面积不小于300m2列出不等式，即可求出结果.
【详解】设矩形的另一边长为m，则由三角形相似知，，
所以，因为，所以，
即，解得.
故选:C
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，关键是建立数学模型，解一元二次不等式，属于基础题.
93．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）设矩形的周长为，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设，，则△的面积的最大值为 ．
【答案】/4.5
【分析】由题设可得，结合基本不等式得到关于的一元二次不等式并求解集，结合△的面积即可得最大值，注意成立条件.
【详解】由题意△△，而，，
所以，而矩形的周长为，
则，整理得，仅当等号成立，
所以，而，可得，
则，而△的面积，故最大值为，此时.
故答案为：
94．（23-24高三上·河南·阶段练习）如图，某社区有一个直角三角形空地，其中，现对其进行规划，要求中间为三角形绿地公园（如图阴影部分），周边是宽度均为的公园健步道．

(1)当时，求的周长；
(2)若在设计健步道时，要保证绿地公园的面积不小于总面积的，求健步道宽度的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，得到与相似，连接，过点向引垂线，求得，得到，及，进而求得的周长；
（2）由（1）知的面积，设为内切圆的半径，结合与相似，求得绿地公园的面积，即可求得的范围，得到答案.
【详解】（1）解：因为，所以，
因为与的三边分别平行，所以与相似，
连接，过点向引垂线，垂足分别为，
则，可得，
所以，则，
在中，，故，
所以的周长：
.
（2）解：由（1）知的面积，
设为内切圆的半径，则，则，，
所以，
又与相似，所以，
绿地公园的面积：
，
化简得，解得，
故健步道宽度的最大值为．