备战2025年高考数学一轮复习综合练习——基本不等式及其应用

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考点1基本不等式的内容及辨析
1．（2023·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A．B．
C．D．
2．（22-23高三上·安徽合肥·期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设AC=a，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·陕西宝鸡·二模）设a，，则“a+b≥2”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
考点2由基本不等式比较大小
5．（2024·山东·模拟预测）已知，，且，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·湖南岳阳·二模）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高三下·北京·阶段练习）已知数列为等差数列，为等比数列，，则（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
9．【多选】（2024·全国·模拟预测）已知，则下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．【多选】（2024·贵州贵阳·一模）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
11．【多选】（2024·贵州贵阳·一模）已知，则实数满足（ ）
A．B．C．D．
12．【多选】（23-24高三上·湖南常德·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
13．【多选】（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知正数a，b满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
14．（2023·四川成都·模拟预测）已知分别为上的奇函数和偶函数，且，，，，则大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
15．（2024·山西晋城·一模）定义表示，，中的最小值．已知实数，，满足，，则（ ）
A．的最大值是B．的最大值是
C．的最小值是D．的最小值是
16．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为，则（ ）
A．B．a1a2D．的大小无法确定
考点3由基本不等式证明不等关系
17．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知，，且满足.
(1)证明：；
(2)求的最小值.
18．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知a，b，c均为正实数，且．
(1)求abc的最大值；
(2)求证：．
19．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，实数满足．
(1)解不等式；
(2)证明：对任意实数，使．
20．（2024高三·全国·专题练习）已知实数a，b，c满足．
(1)若，求证：；
(2)若a，b，，求证：．
21．（2024·全国·模拟预测）已知正实数满足．求证：
(1)；
(2)．
22．（2024·青海·一模）已知正数满足．求证：
(1)；
(2)．
23．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知为正数，且.证明：
(1)；
(2).
考点4基本不等式求积的最大值
24．（2024·浙江·模拟预测）已知，，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
25．（2024·上海奉贤·三模）若，则有最大值为 ．
26．（2024·河南信阳·模拟预测）若实数，满足，则 .
27．（2024·天津·模拟预测）若，，且，则的最小值为
28．（2024·重庆·模拟预测）设且，则的最大值为
29．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知直线与直线，若，则的最大值为 .
30．【多选】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
31．【多选】（2022·广东佛山·一模）在中，所对的边为，设边上的中点为，的面积为，其中，，下列选项正确的是（ ）
A．若，则B．的最大值为
C．D．角的最小值为
32．（2024·四川·模拟预测）设球的直径为，球面上三个点，，确定的圆的圆心为，，，则面积的最大值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
33．（2024·湖南岳阳·三模）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．有最小值25B．有最大值25C．有最小值50D．有最大值50
考点5基本不等式求和的最小值
34．（2024·内蒙古赤峰·三模）下列函数最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
35．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．4B．C．6D．
36．（2024·安徽阜阳·模拟预测）已知，则的最小值为 .
37．【多选】（2024·福建泉州·模拟预测）已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
38．（2024·陕西西安·模拟预测）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为 ．
39．（2024·山东泰安·模拟预测）已知点在椭圆上，，是该椭圆的两个焦点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
40．（2024·江西·模拟预测）已知平面向量，，其中，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
41．（2024·北京·三模）在中，分别是角的对边，且，则角的取值范围为 ．
42．（2024·宁夏·二模）直线过函数图象的对称中心，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．6D．5
43．（2024·宁夏石嘴山·三模）若函数，且的图象所过定点恰好在椭圆上，则取最小值时，n=（ ）
A．4B．12C．16D．6
44．（2024·上海·三模）已知函数，若，，且，则的最小值是
45．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且，则的最小值为 ．
46．（2024·天津·模拟预测）已知正的边长为，中心为，过的动直线与边，分别相交于点、，，，.
（1）若，则 ；
（2）与的面积之比的最小值为 .
考点6二次与二次（或一次）的商式的最值
47．（2021·浙江嘉兴·二模）若正实数，满足，则的最大值为 ．
48．（2021·天津河西·模拟预测）函数的最小值为 .
49．（2020·江苏南通·二模）已知，，，则的最大值为 .
50．（2018·江苏常州·一模）已知，，2x+y=2，则的最大值为 .
51．（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是 ．
52．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 .
53．（2023高三·全国·专题练习）函数 的最大值为 .
考点7基本不等式“1”的妙用求最值
54．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为 ．
55．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数，且，则的最小值是 ．
56．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）若，，且，则的最小值为 ．
57．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知，，则的最小值为 .
58．（2024·河南·模拟预测）已知向量，，若，则的取值范围为 ．
59．（2024·河南·三模）在中，角的对边分别为，若，则的最小值为 ．
60．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值是 ．
61．（2024·全国·模拟预测）已知，，则的最小值为 ．
62．（2024·陕西渭南·二模）已知直线（，）过函数（，且）的定点T，则的最小值为 .
63．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，P是线段AD上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是 .
64．（2024·广西柳州·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ABC=2π3，的平分线交AC于点D，且，则a+4c的最小值为 ．
65．（23-24高一下·宁夏银川·期中）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是 ．
66．（2024·陕西咸阳·二模）已知总体的各个个体的值由小到大依次为，且总体的平均值为10，则的最小值为 ．
考点8条件等式求最值
67．（2024·山东·模拟预测）已知两个不同的正数满足，则的取值范围是 ．
68．（2024·江西宜春·三模）已知，，且满足，则的最大值为 ．
69．（2024·广西河池·模拟预测）若实数，且，则的最小值为 .
70．（2024·四川成都·三模）若正实数满足，则的最大值为 （用表示）．
71．（2024·陕西西安·三模）已知，，则的最小值为 ．
72．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知正实数m，n满足，则的最大值为 ．
73．（2023·全国·模拟预测）已知，b>12，，则的最大值为 ．
74．（2023·山西·模拟预测）已知，且，则的最小值是 .
考点9基本不等式的恒成立问题
75．（2024·四川成都·三模）设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为（ ）
A．2+22B．4C．D．
76．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
77．（23-24高二下·陕西西安·期末）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
78．（2023·河南·二模）若不等式在时恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
79．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知正数满足，若恒成立，则实数的取值范围为 .
80．（2023·贵州黔东南·三模）正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围 .
81．（2023·辽宁·模拟预测）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为 ．
82．（2024·山东潍坊·三模）已知均为正实数，函数．
（1）若的图象过点，则的最小值为 ；
（2）若的图象过点，且恒成立，则实数的最小值为 ．
考点10对勾函数求最值
83．（2024高二·全国·竞赛）设函数，则下列结论中正确的是（ ）．
A．在递增B．在递减
C．的最小值是D．不存在反函数
84．（2022高三·全国·专题练习）给出四个命题：
①的最小值为2；
②的最大值为；
③的最小值为2；
④的最小值为4．
其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
85．（22-23高一上·全国·阶段练习）函数的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
86．【多选】（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列不等式正确的有（ ）
A．若，则函数y=x2+4+1x2+4的最小值为2
B．函数最小值为
C．当
D．最小值等于4
87．【多选】（2024高三·全国·专题练习）已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有（ ）
A．B．
C．D．
考点11容积的最值问题
88．（23-24高一上·广东广州·期末）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.设箱体的长度为米，高度为米.现有制箱材料60平方米.问当，各为多少米时，该沉淀箱的体积最大，并求体积的最大值.
89．（22-23高一·全国·随堂练习）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）

90．（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元．
91．（2023·山东·模拟预测）如图，在中，∠BAC=π2，，为所在平面外一点，的面积为，且平面PAC⊥平面，，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
考点12基本（均值）不等式的应用
92．（2024·浙江金华·三模）某希望小学的操场空地的形状是一个扇形，计划在空地上挖一个内接于扇形的矩形沙坑（如图所示），有如下两个方案可供选择.经测量，，.在方案1中，若设，，则，满足的关系式为 ，比较两种方案，沙坑面积最大值为 .
93．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面 米处观看?（精确到0.1米）.
94．（2024·山东济南·三模）三棱锥中，平面，．若该三棱锥的最长的棱长为9，最短的棱长为3，则该三棱锥的最大体积为（ ）
A．B．C．18D．36
95．（2024·陕西安康·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且
(1)求；
(2)设为边的中点，，求线段长度的最大值.
96．（2024·湖南常德·一模）已知的内角的对边分别是，且.
(1)判断的形状；
(2)若的外接圆半径为，求周长的最大值.
97．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2023年举行促销活动．经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）．求该厂家2023年的年促销费用t投入多少万元时厂家利润最大?最大利润是多少?
98．（22-23高一下·江苏盐城·开学考试）某旅游开发公司计划2023年开发新的游玩项目，全年需投入固定成本500万元，若该项目在2023年有万游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为50元，政府为鼓励企业更好发展，每年给该旅游开发公司财政补贴万元．
(1)求2023年该旅游公司开发的游玩项目的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润=收入-成本）；
(2)当2023年的游客为多少时，该游玩项目所获利润最大？最大利润是多少？
99．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点；
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？请说明理由.