山东省青岛第五十八中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

这是一份山东省青岛第五十八中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题，共11页。试卷主要包含了10等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则
A．{1，2，3} B．{0，1，2} C．{1，2，5} D．{0，1，2，5}
2．已知，则|z|＝
A．2 B．1 C． D．
3．已知，．若，则
A． B． C． D．
4．已知等比数列的前n项和为，且，则“”是“的公比为2”的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等，侧面积相等，且它们的高均为，则此正四棱锥的体积为
A． B． C． D．
6．已知函数则f（x）图象上关于原点对称的点有
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
7．已知函数，函数f（x）的图象各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象．若方程在上有两个不同的解，，则的值为
A． B． C． D．π
8．若关于x不等式恒成立，则当时，的最小值为
A． B． C．e D．1
二．多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9．已知，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
10．若数列满足，，（，），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是
A． B．（，）
C． D．
11．如图，在边长为4的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P是正方形内的动点，则下列结论正确的是
A．若，则点P的轨迹长度为
B．若，则点P的轨迹长度为2π
C．若P是正方形的中心，Q在线段EF上，则的最小值为
D．若P是棱的中点，则三棱锥P-CEF的外接球的表面积是41π
第Ⅱ卷
三．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．曲线的所有切线中，斜率最小的切线的方程是________．
13．为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度OP＝________米．
14．已知，当，时，是线段的中点，点P在所有的线段上，若，则λ的最小值是________．
四．解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分13分）已知数列的前n项和为，且．
（1）求及数列的通项公式；
（2）在与之间插入n个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前n项和．
16．（本题满分15分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有，
（1）求角B；
（2）若AC边上的高，求csAcsC
17．（本题满分15分）如图1，在平行四边形ABCD中，，，E为CD的中点，将△ADE沿AE折起，连结BD，CD，且，如图2．
（1）求证：图2中的；
（2）在图2中，若点F在棱BD上，直线AF与平面ABCE所成的角的正弦值为，求点F到平面DEC的距离．
18．（本题满分17分）已知函数，且与x轴相切于坐标原点．
（1）求实数a的值及f（x）的最大值；
（2）证明：当时，；
（3）判断关于x的方程实数根的个数，并证明．
19．（本题满分17分）对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为．若，则称正整数n为“理想数”．
（1）求20以内的质数“理想数”；
（2）已知．求m的值；
（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：．
2022级高三调研测试4（期中）数学参考答案
12．． 13． 14．
15．【详解】（1）解：由题意，当时，，解得，
当时，，
即，解得，
当时，由，
可得，
两式相减，可得，
整理，得，
∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴，．
（2）由（1）可得，，，
在与之间插入n个数，使得这个数依次组成公差为d的等差数列，
则有，
∴，
∴，
∴，
，
两式相减，
可得，
∴．
16．【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
即
即，
所以，
在三角形中，，
所以，
即，因为，则
可得，则．
（2）因为AC边上的高，
所以①
又②
由①②可得，
由正弦定理可得，
结合（1）中可得，
因为，
所以．
17．【详解】（1）连接BE，
由题意，，，
则△ADE为等边三角形，
由余弦定理得，所以，
则，，
所以，，
又，，
所以，
又，所以；
（2）如图，以点E为原点，建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），，，，E（0，0，0），
设，
故，，，
，
因为z轴垂直平面ABCE，故可取平面ABCE的一条法向量为，
所以，
化简得，解得或（舍去），
所以，
设平面DEC的法向量为，
则有，可取，
所以点F到平面DEC的距离为．
18．【详解】（1）由题意知，且，
∵，
∴，解得，
∴，，
则，
当时，，．故，
所以f（x）在区间[0，＋∞）上单调递减，所以．
当时，令，
则，
∵，，∴，
∴在区间（-1，0）上单调递减，则，
∴f（x）在区间（-1，0）上单调递增，则，则．
综上所述，，f（x）的最大值为0．
（2）因为，
要证当时，即证，
记，，
当时，，，
∴；
当时，，
记，则，
∴在区间上单调递减，则，
则m（x）在区间上单调递减，
∴，
综上所述，当时，．
（3）设，
∴，
当时，由（1）知，
故，
故在区间（-1，0）上无实数根．
当时，，因此0为的一个实数根．
当时，单调递减，
又，，
∴存在，使得，
所以当时，当时，
∴h（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减，
∴，又，
∴在区间上有且只有一个实数根，在区间上无实数根．
当时，，
令，
∴，
故l（x）在区间[π，＋∞）上单调递减，，
于是恒成立．故在区间[π，＋∞）上无实数根，
综上所述，有2个不相等的实数根．
19．【详解】（1）20以内的质数为2，3，5，7，11，13，17，19，
，故，所以2为“理想数”；
，而，故3不是“理想数”；
，而，故5是“理想数”；
，而，故7不是“理想数”；
，而，故11不是“理想数”；
，而，故13不是“理想数”；
，而，故17不是“理想数”；
，而，故19不是“理想数”；
∴2和5为两个质数“理想数”；
（2）由题设可知必为奇数，∴m必为偶数，
∴存在正整数p，使得，即；
∵，且，
∴，或，或，解得，或，
∴，或，即m的值为12或18．
（3）显然偶数“理想数”必为形如的整数，
下面探究奇数“理想数”，不妨设置如下区间：，，，…，，
若奇数，不妨设，
若m为“理想数”，则（，且），即（，且），
①当（，且）时，；
②当（）时，；
∴（，且），
又，即，
易知为上述不等式的唯一整数解，
区间存在唯一的奇数“理想数”（，且），
显然1为奇数“理想数”，所有的奇数“理想数”为（），
∴所有的奇数“理想数”的倒数为（），
∵
∴，即．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
C
B
A
B
C
A
D
ABD
AC
ACD