上海市桃浦中学2025届高三上学期10月月考数学试题

这是一份上海市桃浦中学2025届高三上学期10月月考数学试题，共16页。试卷主要包含了本试卷分设试卷和答题纸等内容，欢迎下载使用。
数学
考生注意：
1.本试卷共5页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.
2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.
3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）
1. 集合，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据集合的交集运算和补集运算即可解出.
【详解】∵，
∴，
∴.
故答案为：
2. 已知平面向量满足，且，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量垂直列方程，化简求得.
【详解】依题意，，且，
所以，
所以.
故答案：
3. 在中，，其面积为，则边______.
【答案】10
【解析】
【分析】由三角形的面积公式求解．
【详解】由，得，
得，
故答案为：10
4. 已知球的体积是，则这个球的表面积是______.
【答案】
【解析】
【分析】求出球体的半径，利用球体的表面积公式可求得结果.
【详解】设该球的半径为，则球的体积为，解得，
因此，该球的表面积为.
故答案为：.
5. 已知曲线在处的切线斜率为1，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】利用函数的求导法则及导数值的意义即可求解.
【详解】由题意可得，则，解得．
故答案为：.
6. 函数的最小正周期为_______.
【答案】
【解析】
【分析】由余弦二倍角公式及两角和的余弦公式化简后计算周期即可得.
【详解】
，
则其最小正周期.
故答案为：.
7. 已知实数，且满足，则的最小值为_______.
【答案】##
【解析】
【分析】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值.
【详解】由题设，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
8. 已知椭圆的离心率为，则的值为______.
【答案】或
【解析】
【分析】分焦点在轴上和轴上，根据离心率公式直接求解可得.
【详解】当焦点在轴上时，，则，
所以，，解得；
当焦点在y轴上时，，则，
所以，，解得.
综上，的值为或.
故答案为：或
9. 已知在的二项展开式中，各项系数和为，则展开式中，含项的系数为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】由各项系数和求参数，再利用二项式展开式通项确定所求项系数.
【详解】由题意，，
故二项式为，其通项公式为，
所以时，有，故含项的系数为.
故答案为：
10. 已知为虚数，其实部为1，且（其中为虚数单位），则实数的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】设，根据复数的运算法则和复数的相等即可求解.
【详解】设，
则
，
所以，
所以，解得.
故答案为：.
11. 已知函数在上有两个零点，则m的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，探讨函数的单调性，结合函数值情况列出不等式求解即得.
【详解】当时，，
由，得；
由，得，
因此函数，
在上单调递增，函数值从增大到，
在上单调递减，函数值从减小到，
且，
由函数在上有两个零点，得，解得，
所以m的取值范围为.
故答案为：
12. 斐波那契数列可以用如下方法定义：，.若各项除以4的余数依次构成一个新数列，则_______.
【答案】1
【解析】
【分析】由题意有，，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列bn，可得数列bn是以6为周期的周期数列，然后求解即可．
【详解】由题意，数列an为
an各项除以4的余数依次构成一个新数列bn为
所以，数列bn是以6为周期的周期数列，
所以，，
故答案为：1.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分）.【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.】
13. 已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为负数，对此描述正确的是（ ）
A. 气候温度高，海水表层温度就高
B. 气候温度高，海水表层温度就低
C. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势
D. 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势
【答案】D
【解析】
【分析】根据相关系数的意义判断各项的正误即可.
【详解】由于相关系数表示一个变量变化对另一个变量变化趋势的影响，
所以随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势.
故选：D
14. 已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用绝对值三角不等式求出的最小值，即可.
【详解】解：因为，所以.
要使不等式对一切恒成立，只需，
所以.
故选：A.
【点睛】本题考查绝对值三角不等式，属于基础题.
15. “”是“函数在上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】求出的开口方向和对称轴，从而得到不等式，求出，结合是的真子集，确定答案.
【详解】开口向下，对称轴为，
要想在上单调递增，则，
解得，
由于是真子集，
故“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A
16. 已知，在上的最小值为，最大值为，在上的最小值为，最大值为，有以下两个命题：①且的充要条件是，；②存在，使且；下列选项正确的是（ ）
A. ①正确，②错误B. ①错误，②正确C. ①②都正确D. ①②都错误
【答案】B
【解析】
【分析】通过举特例可判断选项正误.
【详解】注意到当时，在上的最小值为，最大值为1；
在上的最小值为，最大值为1，但不满足，这个形式，故①错误；
又注意到当时，在上，当时，取最小值，时，取最大值；
在上，当时，取最小值，时，取最大值；满足且，故②正确.
故选：B
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】
17. 函数fx=Asinωx+φ的图象上相邻两个最高点的距离为π，其中一个最高点坐标为．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的单调递增区间．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意列方程组，求解即可；
（2）首先得，根据复合函数单调性列不等式，求解即可.
【小问1详解】
由题意得，，，
解得，注意到，所以只能，，
所以函数的解析式为；
【小问2详解】
当时，，
令或，解得或，
所以由复合函数单调性可知，函数在区间上的单调递增区间为.
18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，平面，求证：平面.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）连接，进而根据线面平行判定定理证明即可；
（2）由平面，可得，进而结合可得面，再结合即可求证.
【小问1详解】
证明：连接，
∵四边形是平行四边形，且是的中点，
∴是的中点，
∵E为PC的中点，
∴，
∵平面，平面，
∴平面.
【小问2详解】
证明：∵平面，平面，
∴，
∵，，平面，
∴面，
∵，
∴平面.
19. 为了了解广大消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车APP采用问卷调查形式对400名消费者进行调查，数据显示这400人中中老年人共有150人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍；青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍.
（1）完善2×2列联表，请根据小概率值的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄是否有关；
（2）采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取9人，再从这9人中随机抽取5人，求这5人中青年人数的分布和期望.
附：，.
【答案】（1）列联表见解析，有关
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据题意分别求出愿意购买新能源车的中年人数和青年人数以及愿意购买燃油车中年人数和青年人数，即可补全列联表，再根据公式计算出，根据表格即可判断；
（2）先求出抽取9人中青年人数和中年人数，求出青年人数的可能取值及其对应的概率，即可求出分布列，再由数学期望公式即可求解.
【小问1详解】
中老年共有150人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍，
所以愿意购买新能源车的中老年人数为100人，愿意购买燃油车的中老年人数为50人，
青年共有250人，愿意购买新能源车是愿意购买燃油车的4倍，
所以青年中愿意购买新能源车为200人，愿意购买燃油车为50人，
故2×2列联表如下：
零假设：消费者购买新能源车和燃油车意向与年龄无关，
χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d=400200×50−100×502250×150×300×100≈8.889>6.635=x0.01
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄有关；
【小问2详解】
愿意购买新能源车的共有300人，青年人与中老年人的比例为，
所以分层随机抽样抽取的9人中6人是青年人，3人是中老年人，记这5人中，
青年的人数为，则的可能取值为，
，
.
所以的分布列如下：
则，
所以这5人中青年人数的期望为.
20. 如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求的方程；
（3）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据条件列方程组求解即可；
（2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程；
（3）将韦达定理代入中计算结果为定值.
【小问1详解】
由题意得解得，
故椭圆的方程为.
【小问2详解】
设直线的方程为，
由得，
由，得，
则.
，
解得或
当时，直线经过点，不符合题意，舍去；
当时，直线的方程为.
【小问3详解】
直线，均不与轴垂直，所以，则且，
所以
为定值.
21. 对于一个各项非零的等差数列，若能从中选出第（）项，能构成一个等比数列，则称为的“等比子列”.若此“等比子列”具有无穷项，则称其为“完美等比子列”.
（1）若数列，，直接写出3个符合条件的“等比子列”，其中1个必须为“完美等比子列”.
（2）对于数列，，猜想他是否存在“完美等比子列”，如果存在，请写出一个并证明；如果不存在，请说明理由.
（3）证明：各项非零的等差数列中存在“等比子列”的充要条件是数列满足（为公差，）.
【答案】（1）;;
（2）不存在，证明见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据等差数列和等比数列的定义，从给定的等差数列中选取合适的项构成等比数列.
（2）先进行猜想，若存在“完美等比子列”，根据等比数列和等差数列的通项公式，运用反证法进行分析证明.
（3）证明充要条件，需要分别证明充分性和必要性.充分性是由推出存在“等比子列”；必要性是由存在“等比子列”推出.
【小问1详解】
取，则，为，这是一个等比数列，是的“等比子列”.
取，则，为，这是一个等比数列，是的“等比子列”.
取，则，为，这是一个“完美等比子列”.
【小问2详解】
猜想：数列不存在“完美等比子列”.
证明：假设存在“完美等比子列”，设其公比为，首项为.
设，，因为是等比数列，则，即.
变形得，，.
因为，左边是的倍数，右边不是的倍数（时），
当时，不符合，所以矛盾，假设不成立，
即数列不存“完美等比子列”.
【小问3详解】
充分性：
已知（为公差，），设（）.
取，，，，.
则，，，，.
所以，，，
可以发现这些项构成等比数列，所以存在“等比子列”.
必要性：
设等差数列的公差为，“等比子列”的公比为.
设，，则.
整理得，.
因为（若，则数列为常数列，也满足），所以，令，，所以.
综上所得，各项非零的等差数列中存在“等比子列”的充要条件是数列满足（为公差，）得证.
【点睛】知识点点睛：本题只要考查了对“等比子列”和“完美等比子列”新定义的理解，综合了等差数列和等比数列通项公式，反证法证明，以及简易逻辑知识的考查.综合性，逻辑性强，属于难题.年龄段
购车意向
合计
愿意购买新能源车
愿意购买燃油车
青年
中老年
合计
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
年龄段
购车意向
合计
愿意购买新能源车
愿意购买燃油车
青年
200
50
250
中老年
100
50
150
合计
300
100
400
X
2
3
4
5
P