上海师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷

这是一份上海师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷，共19页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 函数的定义域为__．
【答案】．
【解析】
【分析】由函数有意义需要的条件，求解函数定义域
【详解】函数的意义，有，解得，即函数定义域为．
故答案为：
2. 已知，用有理数指数幂的形式表示________.
【答案】
【解析】
【分析】根式形式化为分数指数幂形式再由指数运算化简即可.
【详解】.
故答案为：.
3. 已知幂函数的图象经过点，求_________．
【答案】
【解析】
【分析】设幂函数为，根据题意求得，得到，代入即可求解.
【详解】设幂函数为，
因为幂函数的图象经过点，可得，解得，即，
所以.
故答案为：.
4. 若，则____.
【答案】
【解析】
【分析】
原式利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式变形，将的值代入计算即可求出值．
【详解】因为，
所以．
故答案为：
5. 已知集合，，若，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出集合M，N，再由可求出实数的取值范围
【详解】解：由题意得，
，
因为，
所以，
故答案为：
6. 设a，．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先由不等式的解集为求出实数，的值，再求不等式的解集.
【详解】∵不等式的解集为，
∴方程的两根分别为，，且
∴由韦达定理可知，
解得，
∴将，代入不等式得，
即
∴不等式的解集为.
故答案为：.
7. 已知锐角的顶点为原点，始边为x轴的正半轴，将的终边绕原点逆时针旋转后交单位圆于点，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】先求得，然后利用三角恒等变换的知识求得
【详解】由于在单位圆上，所以，
由于是锐角，所以，则，
所以，
所以
.
故答案为：
8. 已知.若为奇函数，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，求得，得到，即可求解.
【详解】由函数，
可得
因为函数为上的奇函数，可得，
即，
所以，解得或，所以，
可得，所以.
故答案为：.
9. 如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意在△中求出，在△中利用正弦定理求出，然后在△中可求得结果.
【详解】在△中，，
在△中，，，
则，
由正弦定理得，即，解得，
在△中，.
故答案：
10. 对于函数和，设，，若存在，，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由题知函数有唯一零点1，进而得在上有解，再根据二次函数零点分布求解即可.
【详解】因为，所以在R上为增函数，
又，所以有唯一零点为1，
令的零点为，依题意知，即，
即函数在上有零点，
令，则上有解，即在上有解，
因为，
当且仅当，即时，取等号，所以，
故答案为：.
11. 若函数的图像上存在不同的两点Mx1,y1和Nx2,y2，满足，则称函数具有性质P，给出下列函数：
①；②；③；④．
其中其有性质p的函数为________（填上所有正确序号）．
【答案】①②
【解析】
【分析】利用数量积性质得出过点O的直线与函数图像存在至少两个不同的交点，结合函数图象可得．
【详解】，
所以，即．
即O，M，N三点共线，即过点O的直线与函数图像存在至少两个不同的交点，由图可知，①②符合．
故答案为：①②
12. 已知函数，若关于的方程在上有解，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】设函数在上的零点为，则由，则在直线上，则可看作是到直线的距离的平方，利用导数求出其最小值即可得到答案
【详解】解：设函数在上的零点为，则，
所以点在直线上，
设为坐标原点，则，其最小值就是到直线的距离的平方，
所以，，
设，设，
则，所以在上单调递减，
所以，
所以即，所以的最小值为，
故答案为：
二、选择题（13-14每题4分，15-16每题5分，共18分）
13. 已知且，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】结合指数函数单调性，根据充分必要条件的定义分别进行判断即可．
【详解】，
当时，不成立，
当时，不成立.
所以是的既不充分也不必要条件，即是的既不充分也不必要条件.
故选：D.
14. 设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则m的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由等量关系找与的关系，由的范围求出的范围，从而得出的值.
【详解】∵，
∴，即，
∵，即，
∴，
又∵，
∴
故选：B
15. 已知在中，是边上一定点，满足，且对于边上任意一点，都有，则是（ ）
A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】取的中点，的中点，连接，，根据向量的线性运算计算向量并计算，同理计算，
根据不等关系可得出对于边上任意一点都有，从而确定，从而得到结果.
【详解】取的中点，的中点，连接，（如图所示），

则
，
同理，
因为，所以，
即，所以对于边上任意一点都有，
因此，
又，为中点，为中点，
所以，所以，
即，所以，即为钝角三角形.
故选：A．
16. 设函数其中是实数集的两个非空子集，又规定，有下列命题：
①对任意满足的集合和，都有；
②对任意满足的集合和，都有，
则对于两个命题真假判断正确的是（ ）
A. ①和②都是真命题B. ①和②都是假命题
C. ①是真命题，②是假命题D. ①是假命题，②是真命题
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的新定义对两个命题进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于①可举反例，
此时，故①是假命题；
对于②，可举反例，
此时，故②是假命题；
故选：B
【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
三、解答题（共5题，满分78分）
17. 已知向量．
（1）当时，求的值；
（2）设函数，且，求的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量平行列出等式，计算的值，二倍角公式即可计算；
（2）计算，并用辅助角公式化简，根据角的范围可求出值域.
【小问1详解】
因为，所以，
因为，所以，所以．
【小问2详解】
，
因为，所以，所以，
所以的值域为．
18. 已知函数其中为实常数.
（1）若,解关于的方程;
（2）判断函数的奇偶性,并说明理由.
【答案】（1）或（2）答案见解析
【解析】
【分析】
（1）因为,,可得,故,因为,即,通过换元法,即可求得答案;
（2）因为函数定义域为,分别讨论为奇函数和为偶函数,即可求得答案.
【详解】（1）,
,即
解得:
可得:
令()
,即:
解得:或
即:,
或.
（2）函数定义域为,
①当为奇函数时,
根据奇函数性质
可得恒成立
即恒成立,
.
②当为偶函数时,
根据偶函数性质
可得恒成立
即恒成立,
.
③当时,函数为非奇非偶函数.
【点睛】本题主要考查了解指数方程和根据奇偶性求参数,解题关键是掌握指数方程的解法和奇偶函数的定义,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
19. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（万元）随投资收益x（万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.
（1）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求；
（2）现有两个奖励函数模型：①；②；问这两个函数模型是否符合公司要求，并说明理由？
【答案】（1）答案见解析
（2）不符合公司要求，符合公司要求，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，用数学语言依次写出函数的要求即可；
（2）判断两个函数模型的单调性，并判断，是否成立得解.
【小问1详解】
设奖励函数模型为，则公司对奖励函数模型基本要求是：
当时，是严格增函数，恒成立，恒成立.
【小问2详解】
①对于函数模型，
易知当时，为增函数，且，
所以恒成立，但是，不满足恒成立，
所以不符合公司要求；
②对于函数模型，
当时，，所以为增函数，
且，所以恒成立，
令，则，所以，所以恒成立，
所以符合公司要求.
20. 已知函数的定义域为区间D，若对于给定的非零实数m，存在，使得，则称函数在区间D上具有性质.
（1）判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由；
（2）若函数在区间上具有性质，求n的取值范围；
（3）已知函数的图像是连续不断的曲线，且，求证：函数在区间上具有性质.
【答案】（1）具有性质，理由见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题可得，则，结合条件即得；
（2）由，解得，，可得，即得；
（3）设，，可得，当、、、、、中有一个为0时，可得，，即证；当、、、、、中均不为0时，由于其和为0，则其中必存在正数和负数，不妨设，，结合条件可知，存在，，即证.
【小问1详解】
函数在上具有性质.
若，则，
因为，且，
所以函数在上具有性质.
【小问2详解】
解法1：由题意，存在，使得，
得（舍）或，
则得.
因为，所以.
又因为且，
所以，即所求的取值范围是.
解法2：当时，函数，是增函数，
所以不符合题意；
当时，因为直线是函数的一条对称轴，
而函数在区间上具有性质，
所以，
解得，即所求的取值范围是.
【小问3详解】
设，.
则有，，，，
，，.
以上各式相加得
即，
（ⅰ）当、、、、、中有一个为0时，不妨设，，即，即，，
所以函数在区间上具有性质.
（ⅱ）当、、、、、中均不为0时，由于其和为0，
则其中必存在正数和负数，不妨设，，
其中，.
由于函数的图像是连续不断的曲线，所以当时，至少存在一个实数（当时，至少存在一个实数），其中，使得，即，
即存在，使得，
所以函数在区间上也具有性质.
综上，函数在区间上具有性质.
21. 已知函数，其中是自然对数的底数．
（1）当时，若曲线在处的切线恰好是直线，求和的值；
（2）当，时，关于的方程有正实数根，求的取值范围：
（3）当时，关于x的不等式对于任意恒成立（其中），当取得最大值时，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）1
【解析】
【分析】（1）利用导数求得在处的切线方程，通过对比系数求得.
（2）由分离，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围.
（3）由恒成立的不等式得到恒成立，利用构造函数法，结合导数来求得的最大值，进而求得的最小值，并利用构造函数法，结合导数来判断的最小值符合题意.
【小问1详解】
当时，，所以，由，
得曲线在处的切线方程为，即，
由题意，．
【小问2详解】
当，时，，
由题意，方程在上有解，即在上有解，
令，则，由得，
在上严格递增，所以：
当时，，所以严格递减，
当时，，所以严格递增，
所以，又时，，
所以的值域为，所以的取值范围为．
【小问3详解】
当时，，
由题意，对于任意恒成立，
即：（*）恒成立，
那么，恒成立，所以恒成立，
令，则在上恒成立，
所以在上严格递增，所以，
从而，即的最大值为1，
时，取代入（*）式，得，所以，
所以在上恒成立，得，即的最小值为1，
当时，记，
则，
设，
因为在上严格递增，所以，
所以在上严格递增，所以，
所以在上严格递增，所以，
从而对于任意恒成立，
综上，的最小值为1．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理，