吉林省吉林市普通中学2024-2025学年高三上学期第一次模拟测试数学试题

这是一份吉林省吉林市普通中学2024-2025学年高三上学期第一次模拟测试数学试题，共19页。

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码．
2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上．字体工整，笔迹清楚．
3．请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．
1. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求的共轭复数，再利用复数模的计算公式求解即可.
【详解】由，则，
则，
故选：C.
2. “”是“角为第二象限角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件，结合三角函数在各象限的符号得解.
【详解】因为，所以可能为第二、第三象限角，也可能终边在负半轴上，
推不出为第二象限角，但是角为第二象限角，能推出，
所以“”是“角为第二象限角”的必要不充分条件.
故选：B
3. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解出集合，根据集合交集运算可求解.
【详解】根据题意可知集合元素，且，则或，
所以集合，则.
故选：B
4. 已知向量，，则（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量共线与垂直的坐标公式计算即可.
【详解】对于AB，若，则，解得，故AB错误；
对于CD，若，则，解得，故C错误，D正确.
故选：D.
5. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦定理即二倍角公式可求的值.
【详解】因为，由正弦定理，又，所以,
因为为三角形内角，所以，所以.
故选：A
6. 已知等差数列的公差为1，则（ ）
A. 1B. 3C. 9D. 27
【答案】D
【解析】
【分析】由题意得，从而对所求式子进行变形即可求解.
【详解】由题意，
所以.
故选：D.
7. 设样本数据，，…，的平均数为，标准差为，若样本数据，，…，的平均数比标准差少3，则的最大值为（ ）
A. 1B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平均数、标准差的性质结合已知条件得，从而，由此能求出的最大值．
【详解】样本数据，，…，的平均数为，标准差为，
样本数据，，…，的平均数为，标准差为，
依题意有，得，
由，，
所以，即时，的最大值为4.
故选：C.
8. 已知函数（，）的部分图象如图所示，若函数的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象得到，从而有，再根据题设得到，即可求解.
【详解】由图知，，得到，又，所以，
又由“五点法”作图知，第三个点为，得到，解得，
所以，则，
又的图象关于轴对称，则，得到，
令，得到，令，得到，所以的最小值为，
故选：B.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列不等式成立的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断A，由特殊值时可判断BC，分类讨论结合不等式性质判断D.
【详解】对于A，若，由不等式性质，两边同乘以，可得，故A正确；
对于B，若，当时，，故B错误；
对于C，当时，成立，但不成立，故C错误；
对于D，若，当时，由不等式性质知，
当时，，不等式也成立，
综上，若，则，故D正确.
故选：AD
10. 如图，在中，点为的中点，点为上靠近点的三等分点，，，，点为与的交点，则（ ）
A. B. 是在上的投影向量
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据向量的线性运算及向量数量积的几何意义与运算律可判断各选项.
【详解】A选项：由，则，A选项错误；
B选项：由向量数量积的几何意义可知在上的投影的数量为，
又点为上靠近点的三等分点，即，
即，
所以是在上的投影向量，B选项正确；
C选项：，C选项正确；
D选项：设，又点在上，可设，
又，
则，
则，解得，
即，D选项错误；
故选：BC.
11. 已知函数，则（ ）
A. 是周期函数
B.
C. 在上恰有1个极值点
D. 关于的方程有两个实数解
【答案】BCD
【解析】
【分析】结合周期函数的特点可判断A项；运用函数放缩，再结合函数的性质可判断B项；二次求导，再运用零点存在定理可判断C项；分段研究可判断D项.
【详解】对于A项：由于具有周期性，而不具有周期性，
所以函数不是周期函数，故A错误；
对于B项：因为函数定义域为，且，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以，且或时，，
所以，
又因为第一处等号成立的条件是，，
第二处等号成立的条件是，所以两处等号不能同时成立，
所以，所以，即，故B正确；
对于C项：因为，
设，，
则，所以单调递减，
又因为g0=1>0，，
所以在上有且仅有一个变号零点，
即f′x有唯一的零点，
所以在0,π上恰有1个极值点，故C正确；
对于D项：因为gπ4=22(1−π4)>0，，
且在上单调递减，
所以存在，使gx0=0，
所以当时，gx>0；当时，gx<0.
所以当时，f′x>0，单调递增；
当时，f′x<0，单调递减.
因为，
所以f0=0f(π)=0，
又因，
所以，
所以，即，
所以y=fx与在上有两个交点，
所以方程有两个实数解.
当时， ，
又因为ex−x>e3−3>2.73−3>3，
所以，
所以方程在上无实数解.
当时，，方程在上无实数解.；
当时， ，
又因为ex−x>e−3+3>3，
所以，
所以方程在上无实数解.
综上可知关于的方程有两个实数解，故D正确.
故选：BCD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．其中14题的第一空填对得2分，第二个空填对得3分．
12. 中国成功搭建了国际首个通信与智能融合6G外场试验网，并形成贯通理论、技术、标准和应用的全产业链创新环境.某科研院在研发6G项目时遇到了一项技术难题，由甲、乙两个团队分别独立攻关.已知甲、乙团队攻克该项技术难题的概率分别为0.8和0.7，则该科研院攻克这项技术难题的概率为______．
【答案】0.94##
【解析】
【分析】设相应事件，根据对立事件结合独立事件求，即可得结果.
【详解】设甲、乙团队攻克该项技术难题分别为事件，
则，
可得，
所以该科研院攻克这项技术难题的概率为.
故答案：0.94.
13. 已知集合，，将中所有元素按从小到大的顺序排列构成数列，则数列的前20项和为______．
【答案】345
【解析】
【分析】明确中的元素，了解数列前20项的构成，可求数列的前20项的和.
【详解】由题意，数列的前20项为：2，3，4，6，8，9，10，12，14，16，18，20，22，24，26，27，28，30，32，34.
所以数列的前20项的和为：
.
故答案为：345
14. 已知函数，的零点分别为，，且，，则______；若恒成立，则整数的最大值为______．
（参考数据：，，，．）
【答案】 ①. 2 ②. 6
【解析】
【分析】利用函数图象的对称性，得点与点关于直线对称，则有，，所以；，由已知参考数据利用零点存在性定理可得，可求的范围得整数的最大值.
【详解】函数与两函数，图象的交点的横坐标即为和的零点，
反比例函数的图象关于直线对称，
函数的图象，可以由的图象向右平移2个单位，再向上平移2 个单位得到，
则对称直线为，函数的图象关于直线对称，
又函数与互为反函数，图象关于直线对称，
当，时，有点与点关于直线对称，
则有，，
所以；
，由，
，
利用零点存在性定理可得， 故，
又，，若恒成立，则整数的最大值为6.
故答案为：2；6.
【点睛】关键点点睛：
本题关键点是：函数的图象关于直线对称，函数与的图象关于直线对称，可知点与点关于直线对称，得到，.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 在新时代改革开放的浪潮中，吉林省践行习近平总书记“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”的发展理念，绘就了“一山一水一通道”的四季旅游璀璨画卷，形成了“一山两湖三江四季”的旅游IP矩阵．吉林某校为促进学生对家乡山水人文的了解，组织学生参加知识竞赛，比赛分为初赛和决赛，根据初赛成绩，仅有的学生能进入决赛．现从参加初赛的学生中随机抽取名，记录并将成绩分成以下组：40,50，50,60，60,70，，80,90，90,100，得到如下图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值，并由此估计进入决赛学生的初赛成绩最低分；
（2）从样本成绩在内的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取人，再从这人中任意抽取人访谈，求至多有一人成绩在60,70内的概率．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据频率直方图频率和为即可求出的值，根据频率分布直方图结合百分位数的方法即可求进入决赛学生的初赛成绩最低分；
（2）首先利用分层抽样得到抽取成绩在60,70的人数，再利用古典概型结合对立事件概率的求法进行求解即可.
【小问1详解】
由题，解得，
根据初赛成绩，仅有的学生能进入决赛，
又成绩在的频率为，
成绩在的频率为，
因此可估计进入决赛学生的初赛成绩最低分应该在之间，
则，解得.
【小问2详解】
由成绩在60,70的频率为，在的频率为，在80,90的频率为，
则从样本成绩在内的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取人中，
在60,70的人数为：（人），在的人数为人，
则从这人中任意抽取人访谈，至多有一人成绩在60,70内的概率为.
16. 已知幂函数（）的图象过点．
（1）求关于的不等式的解集；
（2）若存在使得，，成等比数列，求正实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由幂函数过定点解出，再由单调性解不等式即可；
（2）由等比数列的性质列出等式，再分离参数，利用导数求出单调性，从而得到结果；
【小问1详解】
因为幂函数（）的图象过点，
所以，解得，
所以，定义域为，且为增函数，
因为，所以，
解得，
所以不等式的解集为.
【小问2详解】
由题意可得，
即，
即，
所以，令，
所以当时，，为增函数；时，，为减函数，
所以，
所以正实数的取值范围为.
17. 已知等差数列an的前项和为，满足，.
（1）求数列an通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列通项公式及前项和公式可得解；
（2）利用并项求和的方法可得解；
（3）由，利用裂项相消法可得解.
【小问1详解】
由已知数列an为等差数列，
则，解得，
所以；
【小问2详解】
由（1）得，则，
则
；
【小问3详解】
由（1）,（2）得，
所以
.
18. 在中，内角，，所对的边分别为，，，．
（1）若，，求的面积；
（2）求证：；
（3）当取最小值时，求．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先由得到的值，再结合得到，根据正弦定理得到，最后由三角形面积公式可得结果；
（2）由同角三角函数的关系和正余弦定理，化简即可证明；
（3）利用和，将表示为，代入，化简可得均值不等式，计算求解即可.
【小问1详解】
由题意，，则，，则，
所以，，
所以的面积.
【小问2详解】
由，可得，即，
由余弦定理得：，
化简得：，即.
【小问3详解】
由，可得
，又，
所以，
当且仅当，即时取等号，
此时.
19. 已知函数，，．
（1）当时，若在点处的切线方程为，求实数的值；
（2）（ⅰ）证明：曲线y=fx是中心对称图形；
（ⅱ）若当且仅当，求的取值范围．
【答案】（1）3 （2）（ⅰ）证明见详解；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义列式求解即可；
（2）①根据对称性的定义分析证明；②根据题意可知，分析可知原题意等价于对任意恒成立，分和两种情况，结合导数分析恒成立问题即可.
【小问1详解】
若，则，，
对于直线，当时，，
由题意可得：，解得，
所以实数的值为3.
【小问2详解】
①因为函数的定义域为，
且
，
即，可知关于点对称，
所以曲线是中心对称图形；
②若当且仅当，可知是的根，
即，则，，
可知关于点对称，原题意等价于对任意恒成立，
若，当趋近于时，趋近于，不合题意；
若，因为，
当且仅当，即时，等号成立，
但，即等号不成立，可得，则，
且，可得，
即，可知在内单调递增，则，符合题意；
综上所述：取值范围.
【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题
（1）分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
（2）函数思想法
第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．