山东省聊城第一中学2025届高三上学期第一次月考数学试题

这是一份山东省聊城第一中学2025届高三上学期第一次月考数学试题，共16页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共 8 个小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）
1 设集合，，若，则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将代入方程求出，再求集合即可.
【详解】由可知，
当时，，解得：或，即.
故选：B
2. 若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数乘除法运算直接计算即可.
【详解】因为，所以.
故选：C.
3. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A. p和q都是真命题B. 和q都是真命题
C. p和都是真命题D. 和都是真命题
【答案】B
【解析】
【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，
对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，
综上，和都是真命题.
故选：B.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】切化弦，通分即可求解.
【详解】因为，因为，所以.
故选：A.
5. 函数在区间的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用奇偶函数的定义判断奇偶性，可排除A，B，再利用导函数求时，的单调性可排除D.
【详解】当时，，
故在为奇函数，
因此的图象关于对称，故可以排除A，B，
又，
，
当时，，
因此可得f′x在单调递增，故，
即当时，f′x>0，
因此可得在单调递增，结合图象知C正确，
故选：C.
6. 已知函数，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造，求导得到其单调性，得到，结合的奇偶性和单调性，，得到大小关系.
【详解】是偶函数，在上单调递增，
令，则，函数在上单调递减，
故，
即，而，
所以，
∴．
故选：B
【点睛】方法点睛：
构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小
7. 在中，交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可由坐标法求解，以A为原点建立坐标系写出各点的坐标即可求解.
【详解】解：由题可建立如图所示坐标系：
由图可得：，
又，
故直线的方程：，可得，
所以，
故选：C.
8. 设函数，若，则a的最小值为（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数函数性质判断在不同区间的符号，在结合二次函数性质得为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值.
【详解】函数定义域为，而，，，
要使，则二次函数，在上，在上，
所以为该二次函数一个零点，易得，
则，且开口向上，
所以，只需，故a的最小值为.
故选：B
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据不等式的相关性质可得A ,D 项正确；通过举反例可说明B ,C 项错误.
【详解】对于A，由和不等式性质可得，故A正确；
对于B，因，若取，，，，
则，，所以，故B错误；
对于C，因，若取，，，，
则，，所以，故C错误；
对于D，因为，则，又因则，
由不等式的同向皆正可乘性得，，故，故D正确．
故选：AD．
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. B.
C. 的图象关于直线对称D. 在上的值域为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐次判断各选项即可得到结论．
【详解】由函数的部分图象可知：，
又因为，即结合函数的单调性可得 ,故A错误；
即所以, 故B正确；
所以．
对于选项C：当时，可得，
所以的图象关于直线对称， 故C正确；
对于选项D： 当时，，
所以，即，故D错误；
故选：BC．
11. 定义在R上的偶函数，满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用特殊值及偶函数性质判断A；根据已知条件得、判断B、C；根据函数的性质，举反例判断D.
【详解】由，令，则，
又为偶函数，则，A对；
由上，得①，
在①式，将代换，得②，B错；
在②式，将代换，得，C对；
由且，即周期为2且关于对称，
显然是满足题设的一个函数，此时，D错.
故选：AC
三、填空题（本大题共 3 个小题， 每小题 5 分， 共 15 分）
12. 已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知分别求出和，再根据平面向量数量积的运算律求解即可．
【详解】由得，，
因为向量在向量方向上的投影向量的坐标为，
所以，即，
所以，
所以，
故答案为：．
13. 已知函数，且.若两个不等的实数满足且，则_____________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简的解析式，再由题意可得函数关于对称，且最小正周期，即可求出的值，从而得到，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．
【详解】因为，其中，
由，可得关于对称，
又两个不等的实数满足且，
所以的最小正周期，又，所以，解得，
所以，
所以，则，
所以
.
故答案为：
14. 已知，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】令，，通过指数式与对数式互化用表示出，再借助基本不等式进行求解即可.
【详解】令，，则，，
，
令，，则，当且仅当，即时等号成立，
，即.
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
四、解答题（本大题共 5 个小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.
（1）求解析式；
（2）若关于的方程在区间上有且只有两个实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数图象变换的知识求得.
（2）根据在区间上的图象列不等式来求得的取值范围.
【小问1详解】
将的图象向右平移个单位长度后，
得到的图象，
再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
得到的图象，所以.
【小问2详解】
因为，所以.
，即在区间上有且只有两个实数解，
于是函数与的图象在区间上有且只有两个交点，
，
，所以.
画出在区间上的图象如下图所示，
所以，所以.
所以实数的取值范围是.
16. 已知函数．
（1）判断并证明的奇偶性；
（2）若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）奇函数，证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用奇偶性定义证明判断即可；
（2）根据对数复合函数单调性确定在上最小值，把问题化为在上恒成立，即可求结果.
小问1详解】
为奇函数，证明如下：
由解析式易知，函数定义域为，
而，故为奇函数.
【小问2详解】
由在上为减函数，而在定义域上为增函数，
所以在上为减函数，故，
要使任意，，不等式恒成立，
只需在上恒成立，即在上恒成立，
由开口向上，则，
综上，.
17. 在中，角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）已知，求的最大值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理进行边换角，再通过三角恒等变换得，则得到的大小；
（2）利用正弦定理得到，再根据关系减少变量，最后利用三角恒等变换和三角函数的性质即可得到最大值.
【小问1详解】
∵，
由正弦定理得，
，即，
所以，
∵，∴，∴，
∵，∴；
【小问2详解】
由正弦定理，得，
∴
，
又∵，为锐角，∴的最大值为，
∴的最大值为.
18. 已知直线与函数图象相切.
（1）求的值；
（2）求函数的极大值.
【答案】（1）；
（2）0.
【解析】
【分析】（1）设出切点，利用导数的几何意义求解即得.
（2）利用导数判断函数的单调性，然后求出极值即可.
【小问1详解】
函数的定义域为，求导得，
设切点为，则切线的斜率为，
切线方程为，
又切线过点，于是，而，解得，所以.
【小问2详解】
由（1）知，，设，求导得，
令，得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
于是，又，
则存在，当时，，当时，，
从而在上单调递减，在上单调递增，
所以存在唯一极大值.
19. 已知为实数，用表示不超过的最大整数，例如，对于函数，若存在，使得，则称函数是“函数”.
（1）判断函数是否是“函数”；
（2）设函数是定义在上的周期函数，其最小正周期是，若不是“函数”，求的最小值；
（3）若函数是“函数”，求的取值范围.
【答案】（1）是“函数”，不是“函数”
（2）1 （3），且
【解析】
【分析】（1）根据“函数”的定义即可判断是否是“函数”.
（2）根据周期函数的定义，结合“函数”的条件，进行判断和证明即可.
（3）根据“函数”的定义，分别讨论，和时，满足的条件即可.
【小问1详解】
函数是函数，设，
则，
所以存在，使得，所以函数是“函数”.
函数，函数的最小正周期为，函数的图象如图所示，
不妨研究函数在0,1这个周期的图象.
设，则，
所以，
所以函数不是“函数”.
【小问2详解】
因为是以为最小正周期的周期函数，所以.
假设，则，所以，矛盾.
所以必有.
而函数的周期为1，且显然不是函数.
综上所述，的最小值为1.
【小问3详解】
当函数是“函数”时，
若，则显然不是函数，矛盾.
若，则，
所以在上单调递增，
此时不存在，使得，
同理不存在，使得，
又注意到，即不会出现的情形，
所以此时不是函数.
当时，设，所以，
所以有，其中，
当时，因为，所以，
所以，
当时，，
因为，所以，
所以.
综上所述，，且.
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．