吉林省吉林市2025届高三上学期10月第一次模拟考试数学试卷（Word版附答案）

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单选题：本大题共8题，每小题5分，共40分.
多选题：本大题共3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
10.D教学提示
（法一）平面向量基本定理+三点共线
设，
因为，，三点共线，所以，即，所以.
（法二）平面向量基本定理+三点共线
设,，
，
，
由对应项系数相等求出，．
（法三）坐标法
（法四）过点作平行于，交于点，易得，，故．
（法五）由梅涅劳斯定理得，故．
11.教学提示
B. 因为，所以，则，所以.
C. ，令，
当时，，故在上单调递减，
又，，易得C选项正确．
D．关于的方程的实数解的个数可转化为图象与图象的公共点的个数，绘制与的大致图象如右图：
参考，，，
故当时，与的图象恰有两个公共点，
当时，与的图象无公共点.
综上，关于的方程有两个实数解.
填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．其中14题的第一空填对得2分，第二个空填
对得3分．
12. 13. 14. (分)， （分）
14.教学提示
因为点（）与点（）关于直线对称，
所以，，则
（1）；
（2），
利用零点存在性定理并结合参考数据可得，故，
又，，故整数的最大值为.
四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．【解析】
（Ⅰ）因为，
所以． 2分
（注:本次不扣分，教学中注意强调格式的规范性.）
根据初赛成绩，仅有％的学生能进入决赛，
则估计进入决赛学生的初赛成绩最低分为初赛成绩的第百分位数.
因为，
，
所以第百分位数在区间内.
（法一）设第百分位数为，
则，
所以．
所以估计进入决赛学生的初赛成绩最低分为分． 6分
（法二）因为，
所以估计进入决赛学生的初赛成绩最低分为分. 6分
（Ⅱ）由题知，成绩在区间，，内学生人数的频率比为，
则在区间内抽取人，记为；
在区间内抽取人，记为；
在区间内抽取人，记为.
从这人中抽取人访谈，试验的样本空间，
其中共有个样本点. 10分
设事件“至多有一人成绩在内”，
（法一）事件,
则，所以．
所以至多有一人成绩在内的概率为． 13分13分
（法二）事件，则，从而．
所以.
所以至多有一人成绩在内的概率为． 13分13分
（注：利用组合数求试验样本空间中的样本点个数，不列举也给分.）
16．【解析】
（Ⅰ）由得，故. 2分
由题，故，故，即原不等式解集为． 6分
（注：忽略定义域扣1分.）
（Ⅱ）由题，即，
即关于的方程在上有实数解． 9分
令，则当时，与图象有公共点，
则，
令，得；
令，得；
令，得；
故在上单调递增，在上单调递减． 12分
当时，取得极大值，
又，当时，，
所以正实数的取值范围是． 15分
（注:1.学生需要掌握基本初等函数解析式；
2.第二问的范围有误，扣2分；
3.解答过程第二问需描述函数图象的变化趋势，未说明但答对，本次不扣分.具体答题过程可参考人教版选择性必修二P95-例7.）
【解析】
（Ⅰ）设等差数列的公差为，
则，解得， 2分
所以数列的通项公式为. 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 6分
则，
所以
8分
. 10分
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得， 12分
所以. 15分
（注：或表述为等形式均可.）
【解析】
（Ⅰ）在△中，由，得，所以，
因为，
所以为锐角，从而，
同理可得. 3分
又，，由正弦定理，得 ，
所以. 5分
（注）也可由正弦定理，得 ，
所以. 5分
（Ⅱ）（法一）因为，所以，即，
由正弦定理、余弦定理，得
， 8分
即,
整理得. 10分
（法二）过点作，垂足为.
因为， 所以，即；
又因为，
所以，. 8分
因为，
所以，即，
即. 10分
（Ⅲ）因为，
所以，
从而， 14分
因为，同号，则，，即，
所以，
当且仅当时，等号成立，
即当取最小值时，. 17分
19.【解析】
（Ⅰ）当时，，.
，，由题，故. 4分
（Ⅱ）(ⅰ)证明：
因为定义域关于原点对称，
且
，
所以是中心对称图形，对称中心为点. 8分
（注：利用等类似结论求解也给分.）
(ⅱ)若当且仅当，则，
若，因为，所以，使得，矛盾，
从而，故. 10分
（注：方法合理，都给分.）
当时，恒成立，
. 11分
当时，因为，所以，则，
则，则，从而.
故在上单调递增，所以，符合题意. 14分
当时，取，
因为，所以，
从而，不符题意. 16分
综上，的取值范围是. 17分
1
2
3
4
5
6
7
8
C
B
B
D
A
D
C
B
9
10
11
AD
BC
BCD