2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题02圆锥曲线中的中点弦问题(点差法+联立法)练习(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题02圆锥曲线中的中点弦问题(点差法+联立法)练习(学生版+解析)，共59页。
\l "_Tc14606" 二、典型题型 PAGEREF _Tc14606 \h 2
\l "_Tc29452" 题型一：求直线方程 PAGEREF _Tc29452 \h 2
\l "_Tc10434" 题型二：求离心率 PAGEREF _Tc10434 \h 3
\l "_Tc20673" 题型三：求弦中点的轨迹方程 PAGEREF _Tc20673 \h 4
\l "_Tc24781" 题型四：求曲线方程 PAGEREF _Tc24781 \h 6
\l "_Tc11836" 题型五：处理存在性问题 PAGEREF _Tc11836 \h 7
\l "_Tc19494" 题型六：确定参数的取值范围 PAGEREF _Tc19494 \h 9
\l "_Tc8948" 题型七：定值问题 PAGEREF _Tc8948 \h 11
\l "_Tc857" 三、专项训练 PAGEREF _Tc857 \h 13
一、必备秘籍
1、相交弦中点（点差法）
直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。
主要有以下几种问题：
（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；
中点， ，
2、点差法
设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ；
将两式相减，可得；；
最后整理得：
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：
设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ；
将两式相减，可得；整理得：
二、典型题型
题型一：求直线方程
1．（2024·全国·模拟预测）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，以，为邻边作平行四边形，点恰好在上．若线段的中点在直线上，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·山东·期中）已知中心在原点，半焦距为4的椭圆（，，）被直线方程截得的弦的中点横坐标为，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
3．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆与，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二上·重庆·期中）已知直线与双曲线交于、两点，若弦的中点为，则直线的方程为 .
5．（2024高三·全国·专题练习）以为中点的双曲线的弦所在直线的方程为 .
6．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，若为的中点，则直线的方程为 .
题型二：求离心率
1．（2023高三·全国·专题练习）设是椭圆上不关于坐标轴对称的两点，是线段的中点，是坐标原点，若直线与直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为 .
2．（23-24高二上·云南昭通·期末）斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，为线段的中点，则椭圆的离心率为 ．
3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线与椭圆相交于两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为 ．
4．（2024·福建厦门·二模）不与x轴重合的直线l过点N（,0）（xN≠0），双曲线C：（a＞0，b＞0）上存在两点A、B关于l对称，AB中点M的横坐标为．若，则C的离心率为 ．
5．（23-24高三·重庆渝中·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，设P为线段AB的中点，若，则双曲线的离心率为 ．
6．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）已知F1，F2分别为双曲线C:的左右焦点，过点F1且斜率存在的直线L与双曲线C的渐近线相交于AB两点，且点AB在x轴的上方，AB两个点到x轴的距离之和为，若，则双曲线的离心率
题型三：求弦中点的轨迹方程
1．（2024高三下·全国·专题练习）求证：椭圆中斜率为的平行弦的中点轨迹必过椭圆中心.
2．（2024高三·全国·专题练习）设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知曲线上一动点到两定点，的距离之和为，过点 的直线与曲线相交于点，．
(1)求曲线的方程；
(2)动弦满足： ，求点的轨迹方程；
4．（23-24高二·全国·课后作业）已知椭圆．
(1)过椭圆的左焦点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
(2)求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；
5．（23-24高三上·上海宝山·开学考试）已知曲线上一动点到两定点，的距离之和为，过点的直线与曲线相交于点，．
(1)求曲线的方程；
(2)动弦满足：，求点的轨迹方程；
6．（2024高三下·全国·专题练习）已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点）.直线在绕着定点转动的过程中，求弦中点的轨迹方程.
7．（23-24高二上·全国·课前预习）已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，试求弦的中点轨迹方程.
题型四：求曲线方程
1．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆C的中心为坐标原点，一个焦点为，过F的直线l与椭圆C交于A，B两点．若的中点为，则椭圆C的方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·天津西青·阶段练习）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024高三下·江苏·专题练习）已知O为坐标原点，点在椭圆C：上，直线l：与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为，则C的方程为 .
5．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知椭圆与直线交于两点，且线段的中点为，则椭圆的方程为 .
6．（2024·上海杨浦·一模）已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 .
题型五：处理存在性问题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段中点为.
（1）若，点在椭圆上，分别为椭圆的两个焦点，求的取值范围；
（2）若过点，射线与椭圆交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求出此时直线的斜率；若不能，请说明理由.
2．（23-24高二下·安徽宿州·期末）已知椭圆：的左、右焦点为，，点在椭圆上，且面积的最大值为，周长为6.
（1）求椭圆的方程，并求椭圆的离心率；
（2）已知直线：与椭圆交于不同的两点，若在轴上存在点，使得与中点的连线与直线垂直，求实数的取值范围
3．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线.
(1)若离心率为，求b的值，的顶点坐标、渐近线方程；
(2)若，是否存在被点平分的弦?如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由．
4．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知双曲线M与椭圆有相同的焦点，且M与圆相切．
(1)求M的虚轴长．
(2)是否存在直线l，使得l与M交于A，B两点，且弦AB的中点为？若存在，求l的斜率；若不存在，请说明理由.
题型六：确定参数的取值范围
1．（23-24高二上·安徽合肥·期末）设圆与两圆中的一个内切，另一个外切．
(1)求圆心的轨迹的方程；
(2)已知直线与轨迹交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值．
2．（23-24高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系xOy中，动圆P和圆：内切，且与圆：外切，记动圆P的圆心轨迹为E．
(1)求轨迹E的方程；
(2)若直线l：与E交于不同的两点M、N，线段MN的中点记为A，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围．
3．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知直线与椭圆C交于P，Q两点，点M是线段PQ的中点，直线过点M，且与直线l垂直.记直线与y轴的交点为N，求的取值范围.
4．（23-24高二上·广东·阶段练习）已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为．
（）求双曲线的方程；
（）若直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的垂直平分线过点，求实数的取值范围．
题型七：定值问题
1．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知椭圆的一个顶点为，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在实数m，使直线与椭圆有两个不同的交点M、N，并使，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
2．（23-24高二上·辽宁盘锦·期中）已知椭圆的焦距为4，且离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的中点P在圆上，求m的值．
3．（2024·云南·模拟预测）设圆与两圆中的一个内切，另一个外切.
(1)求圆心的轨迹的方程；
(2)已知直线与轨迹交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知倾斜角为45°的直线l过点A(1,-2)和点B，B在第一象限，.
（1）求点B的坐标；
（2）若直线与双曲线相交于E,F两点，且线段EF的中点坐标为，求a的值.
5．（2024·全国·模拟预测）已知长为的线段的中点为原点，圆经过两点且与直线相切，圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点且互相垂直的直线分别与曲线交于点和点，且，四边形的面积为，求实数的值.
三、专项训练
一、单选题
1．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
三、解答题
12．（23-24高二下·北京·开学考试）已知椭圆的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4.若直线过点，且与椭圆相交于不同的两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若线段中点的纵坐标，求直线的方程.
13．（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，斜率为2的直线l与E的一条渐近线垂直，且交E于A，B两点，.
(1)求E的方程；
(2)设点P为线段AB的中点，求直线OP的方程.
14．（2023·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程．
专题02 圆锥曲线中的中点弦问题（点差法+联立法）
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc2253" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc2253 \h 1
\l "_Tc14606" 二、典型题型 PAGEREF _Tc14606 \h 2
\l "_Tc29452" 题型一：求直线方程 PAGEREF _Tc29452 \h 2
\l "_Tc10434" 题型二：求离心率 PAGEREF _Tc10434 \h 6
\l "_Tc20673" 题型三：求弦中点的轨迹方程 PAGEREF _Tc20673 \h 11
\l "_Tc24781" 题型四：求曲线方程 PAGEREF _Tc24781 \h 17
\l "_Tc11836" 题型五：处理存在性问题 PAGEREF _Tc11836 \h 21
\l "_Tc19494" 题型六：确定参数的取值范围 PAGEREF _Tc19494 \h 25
\l "_Tc8948" 题型七：定值问题 PAGEREF _Tc8948 \h 31
\l "_Tc857" 三、专项训练 PAGEREF _Tc857 \h 35
一、必备秘籍
1、相交弦中点（点差法）
直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。
主要有以下几种问题：
（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；
中点， ，
2、点差法
设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ；
将两式相减，可得；；
最后整理得：
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：
设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ；
将两式相减，可得；整理得：
二、典型题型
题型一：求直线方程
1．（2024·全国·模拟预测）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，以，为邻边作平行四边形，点恰好在上．若线段的中点在直线上，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意，利用点差法得到，根据平行四边形的性质及点在椭圆上得到，求出k和点M的坐标，结合直线的点斜式方程即可求解.
【详解】设，，，
则，两式相减，得，
故，即①．
又四边形为平行四边形，为线段的中点，所以为线段的中点，
所以，又P在椭圆上，
所以，即②．
由①②，得，故直线的方程为，
即．
故选：B．
2．（23-24高二上·山东·期中）已知中心在原点，半焦距为4的椭圆（，，）被直线方程截得的弦的中点横坐标为，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】B
【分析】由点差法可得弦的中点坐标与弦所在直线的斜率关系，运算可得解.
【详解】设直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标是，则，
直线的斜率.
由，得，
得，所以，
即，，
，，，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
故选：B.
3．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆与，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】计算，设，，代入椭圆方程相减得到，解得答案.
【详解】的中点坐标为，则，
设，，则，，
相减得到：，即，，
又，，解得，，椭圆的方程为.
故选：C.
4．（23-24高二上·重庆·期中）已知直线与双曲线交于、两点，若弦的中点为，则直线的方程为 .
【答案】
【分析】
利用点差法可求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】若直线轴，则的中点在轴上，不合乎题意，
设点、，因为若弦的中点为，则，
因为，可得，即，
所以，，
因此，直线的方程为，即.
联立可得，，
所以，直线与双曲线有两个交点，合乎题意，
因此，直线的方程为，
故答案为：.
5．（2024高三·全国·专题练习）以为中点的双曲线的弦所在直线的方程为 .
【答案】
【分析】利用点差法先求得弦所在直线的斜率，再利用点斜式即可求得直线的方程，再验算一下与双曲线是否有两个交点可保万无一失.
【详解】设是双曲线的弦的中点，且，
则，
因为在双曲线上，所以，
两式相减，得，故，
所以，故以中点的双曲线的弦所在的直线方程为，即，
联立，消去，得，
因为，
所以以为中点的双曲线的弦所在的直线方程为.
故答案为：.
6．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，若为的中点，则直线的方程为 .
【答案】
【分析】设出，的坐标，代入抛物线方程，利用作差法，结合中点坐标公式代入先求出直线的斜率，再利用点斜式方程即可得到结论.
【详解】设，，由题意，
因为，在抛物线上，所以，，两式相减得，
，整理得，，
即直线的斜率，
直线的中点为，
，
，
所以直线的方程为，化简得.
故答案为：.

题型二：求离心率
1．（2023高三·全国·专题练习）设是椭圆上不关于坐标轴对称的两点，是线段的中点，是坐标原点，若直线与直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为 .
【答案】/
【分析】
利用点差法即可得到，最后利用离心率公式即可.
【详解】设点，则，
把，的坐标代入椭圆方程可得:，
两式作差可得：，
即，
所以，即，
所以椭圆的离心率为，
故答案为：.
2．（23-24高二上·云南昭通·期末）斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，为线段的中点，则椭圆的离心率为 ．
【答案】/
【分析】令，应用点差法及直线斜率、中点坐标得，即可求离心率.
【详解】令，则，可得，
所以，又为线段的中点，且直线斜率为，
所以，则.
故答案为：
3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线与椭圆相交于两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为 ．
【答案】/
【分析】
联立，得到线段的中点为，设与的交点分别为，，利用点差法能求出椭圆的离心率.
【详解】联立得：，
所以直线与直线的交点坐标为，
所以线段的中点为，
设与的交点分别为，，
所以，，
则，，
分别把，代入到椭圆得：
，两式相减得：，
因为直线为：，所以，
且，所以，
所以，即，所以，
所以，所以，所以.
故答案为：
4．（2024·福建厦门·二模）不与x轴重合的直线l过点N（,0）（xN≠0），双曲线C：（a＞0，b＞0）上存在两点A、B关于l对称，AB中点M的横坐标为．若，则C的离心率为 ．
【答案】2
【分析】由点差法得，结合得，代入斜率公式化简并利用可求得离心率.
【详解】设，
则，两式相减得，
即，
即 ，
所以，
因为是AB垂直平分线，有，所以，
即，化简得，故.
故答案为：2
5．（23-24高三·重庆渝中·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，设P为线段AB的中点，若，则双曲线的离心率为 ．
【答案】/
【分析】由可得点P，求得,由点差法得,可求得离心率.
【详解】
如图:,由,,可得点P的坐标为，
则直线OP斜率为,直线AB斜率为，
另一方面，设 则,
两式相减得,整理得,
即，故．
故答案为:
6．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）已知F1，F2分别为双曲线C:的左右焦点，过点F1且斜率存在的直线L与双曲线C的渐近线相交于AB两点，且点AB在x轴的上方，AB两个点到x轴的距离之和为，若，则双曲线的离心率
【答案】
【分析】根据得为直角三角形，进而根据点差法得中点弦的性质即可求解.
【详解】设,，设的中点为，
由于，故,因此为直角三角形，故，
由于，所以，进而可得，故 或，
由在双曲线渐近线上，所以，
进而，
当时，,，所以，
当时，,，所以不符合题意，舍去，
综上：故离心率为，
故答案为：
题型三：求弦中点的轨迹方程
1．（2024高三下·全国·专题练习）求证：椭圆中斜率为的平行弦的中点轨迹必过椭圆中心.
【答案】证明见解析.
【分析】根据点差法可求出平行弦的中点的轨迹方程为，显然直线经过椭圆中心原点.
【详解】设斜率为1的直线与椭圆交于点两点，.
中点坐标为，所以 ， ，
所以，，
作差得，，
即有，即，
因为弦的中点在椭圆内部，所以，
即，解得，
故平行弦的中点的轨迹方程为，，过原点，
所以椭圆中斜率为1的平行弦的中点轨迹过椭圆中心.
2．（2024高三·全国·专题练习）设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．
【答案】
【分析】
设出直线的方程，A，B的坐标，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理表示出，利用直线方程表示出，然后利用，求得的坐标，设出P的坐标，然后联立方程消去参数k，求得x和y的关系式，即为P点轨迹方程．
【详解】
直线过点，设其斜率为k，则的方程为
记、
，化简得，，
所以，，
于是
设点P的坐标为则，消去参数k得③
当k不存在时，A、B中点为坐标原点，也满足方程③，
所以点P的轨迹方程为
3．（2024高三·全国·专题练习）已知曲线上一动点到两定点，的距离之和为，过点 的直线与曲线相交于点，．
(1)求曲线的方程；
(2)动弦满足： ，求点的轨迹方程；
【答案】(1)
(2)；
【分析】(1)根据椭圆的定义，可以直接写出动点P的轨迹方程 ；
(2)由条件可知M是线段AB的中点，按照圆锥曲线中点弦的思路，运用点差法即可求解.
【详解】（1）因为动点到两定点，的距离之和为，
所以曲线是以，为焦点的椭圆，，，
所以，，所以曲线的方程为；
（2）因为，所以为中点，设，
当的斜率存在且不为0时，将，代入椭圆方程中得：
两式相减得，即，所以，
即，，整理得；
当的斜率不存在或为0时，有或，也满足；
所以点的轨迹方程是；
综上，曲线 的方程为，点的轨迹方程是.
4．（23-24高二·全国·课后作业）已知椭圆．
(1)过椭圆的左焦点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
(2)求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；
【答案】(1)（在椭圆内部分）
(2)（在椭圆内部分）
【分析】（1）设弦与椭圆两交点坐标分别为、，设，进而分和，结合点差法求解即可；
（2）结合（1）中(*)式，代入，，整理即可；
【详解】（1）解：设弦与椭圆两交点坐标分别为、，
设，当时，．
当时，，
两式相减得，即(*)，
因为，，，
所以，代入上式并化简得，显然满足方程.
所以点P的轨迹方程为（在椭圆内部分）．
（2）解：设，在（1）中式子里，
将，，代入上式并化简得点Q的轨迹方程为（在椭圆内部分）．
所以，点的轨迹方程（在椭圆内部分）.
5．（23-24高三上·上海宝山·开学考试）已知曲线上一动点到两定点，的距离之和为，过点的直线与曲线相交于点，．
(1)求曲线的方程；
(2)动弦满足：，求点的轨迹方程；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解，
（2）根据点差法和中点弦即可根据斜率关系进行求解，
【详解】（1）因为动点到两定点，的距离之和为，
所以曲线是以，为焦点的椭圆，，，
所以，，所以曲线的方程为；
（2）因为，所以为中点，设，
当的斜率存在且不为0时，将，代入椭圆方程中得：两式相减得，故故得，
所以，所以，整理得；
当的斜率不存在或为0时，或，出满足；
所以点的轨迹方程是；
6．（2024高三下·全国·专题练习）已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点）.直线在绕着定点转动的过程中，求弦中点的轨迹方程.
【答案】
【分析】求出直线过的定点，设出三点的坐标，利用点差法求得三个坐标之间的关系将定点坐标代入化简可得中点的轨迹方程.
【详解】设直线为，设，
由，得，
因为点在抛物线上，
所以，
所以，解得或（舍去），
由，得，
由，得，
则，得，
所以直线恒过定点，
设，则，
因为点在抛物线上，
所以，
两式相减得，
当时，，即，
因为直线恒过定点，所以，
所以，所以，
当，亦满足上式
所以所求为.
7．（23-24高二上·全国·课前预习）已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，试求弦的中点轨迹方程.
【答案】.
【分析】方法1：利用点差法，设点作差，要考虑斜率不存在的情况；方法2：可设出直线的方程，将其与抛物线方程联立，可得一元二次方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式，消参即可得轨迹方程，同时要考虑斜率不存在的情况.
【详解】方法1：设，，弦的中点为，则，
当直线的斜率存在时，.
因为两式相减，得.
所以，即，
即.
当直线斜率不存在，即轴时，的中点为，适合上式，
故所求轨迹方程为.
方法2：当直线的斜率存在时，设直线的方程为（），由得.
所以
所以.
设，，的中点为，
则，.
所以
.
所以
消去参数，得.
当直线的斜率不存在时，即轴时，的中点为，适合上式，
故所求轨迹方程为.
题型四：求曲线方程
1．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆C的中心为坐标原点，一个焦点为，过F的直线l与椭圆C交于A，B两点．若的中点为，则椭圆C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意涉及到中点弦，采用点差法求解即可.
【详解】不妨设椭圆方程为，由题意得：，
两式作差得：，整理得：，
因为AB的中点为，，
所以，
所以，所以，
又因为，所以.
故选：A．
2．（23-24高三上·天津西青·阶段练习）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出直线的方程，并设出双曲线的方程，再联立并借助中点坐标即可计算作答.
【详解】直线的方程为：，即，
设双曲线的方程为：，由消去y并整理得：，
，因弦的中点为，
于是得，即，而，解得，满足，
所以双曲线的方程为，即.
故选：C
3．（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设双曲线的方程为，，，，，运用点差法，以及中点坐标公式和直线的斜率公式，可得，的方程，结合，，的关系，解方程可得，，进而得到所求双曲线的方程．
【详解】解：设双曲线的方程为，
由题意可得，①
设，，，，
可得，，
两式相减可得，
由题意可得的中点坐标为，直线的斜率为，
则，②
由①②解得，，
所以双曲线的方程为．
故选：A．
4．（2024高三下·江苏·专题练习）已知O为坐标原点，点在椭圆C：上，直线l：与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为，则C的方程为 .
【答案】
【分析】
根据点差法，结合斜率公式可得，进而根据椭圆经过点，即可求解.
【详解】
设，则
∵在椭圆上，则
两式相减得，整理得
∴，即，则
又∵点在椭圆C：上，则
联立解得
∴椭圆C的方程为
故答案为：
5．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知椭圆与直线交于两点，且线段的中点为，则椭圆的方程为 .
【答案】
【分析】代入直线，求得直线斜率，然后利用点差法化简计算即可得出结果．
【详解】代入直线，可得：，，
所以直线方程为：.
设，代入椭圆方程得，
两式相减得：，
即,又，
所以，
又因为直线的斜率为，所以，解得：.
所以椭圆的方程为.
故答案为：.
6．（2024·上海杨浦·一模）已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 .
【答案】
【分析】先根据焦半径公式得到的关系，然后根据弦长公式求解出，结合两点间斜率公式以及点在抛物线上求解出的值，则抛物线方程可求.
【详解】设，
因为，
所以，所以，
又因为，所以，
因为都在第一象限，所以，
又因为且，
所以，所以，所以抛物线方程为，
故答案为：.
题型五：处理存在性问题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段中点为.
（1）若，点在椭圆上，分别为椭圆的两个焦点，求的取值范围；
（2）若过点，射线与椭圆交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求出此时直线的斜率；若不能，请说明理由.
【答案】（1）；（2）能，.
【分析】（1）求得焦点坐标，设，运用向量数量积的坐标表示，结合椭圆的范围，可得所求范围；
（2）设A，B的坐标分别为运用中点坐标公式和点差法，直线的斜率公式，结合平行四边形的性质，即可得到所求斜率.
【详解】（1）当时，椭圆，椭圆的两个焦点.
设，则，即，
所以，
所以
因为，所以
所以的范围是.
（2）设A，B的坐标分别为可得.则，两式相减可得，即.
又设，直线，
即直线的方程为，
从而代入椭圆方程可得，.
由与联立得.
若四边形OAPB为平行四边形，那么M也是OP的中点，所以，即，整理可得，解得.
经检验满足题意，所以当时，四边形OAPB为平行四边形.
2．（23-24高二下·安徽宿州·期末）已知椭圆：的左、右焦点为，，点在椭圆上，且面积的最大值为，周长为6.
（1）求椭圆的方程，并求椭圆的离心率；
（2）已知直线：与椭圆交于不同的两点，若在轴上存在点，使得与中点的连线与直线垂直，求实数的取值范围
【答案】（1），椭圆的离心率（2）
【分析】（1）利用基本量法，列方程，求解即可．
（2）联立方程组，利用根与系数的关系求出的中点的坐标，根据与中点的连线与直线垂直得出点横坐标的表达式，利用基本不等式得出的取值范围．
【详解】（1）由题意得，解之得，，，
所以椭圆的方程为，
椭圆的离心率；
（2）由得，
设，，则，，
所以线段中点的坐标为，
则，整理得，
因为，所以，当且仅当，即时上式取得等号，
此时取得最小值，
因为，所以，
所以实数的取值范围是.
【点睛】本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
3．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线.
(1)若离心率为，求b的值，的顶点坐标、渐近线方程；
(2)若，是否存在被点平分的弦?如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由．
【答案】(1)，顶点坐标，渐近线；
(2)不存在，理由见解析.
【分析】(1)根据离心率和a、b、c的关系即可求出b，根据双曲线的性质可求其顶点坐标和渐近线方程；
(2)假设存在被M平分的弦，利用点差法求出弦的斜率和方程，将弦的方程代入双曲线方程判断是否有两个解即可．
【详解】（1），
a＝1，故双曲线顶点为，渐近线方程为；
（2）当时，双曲线为，
假设双曲线存在被点平分的弦，设弦的两个端点为，，
则，，
∵A、B在双曲线上，∴，
①－②得：，
则，
∴弦AB所在直线方程为：，
代入双曲线方程得，
∵，故AB与双曲线无交点，假设不成立．
故不存在被点平分的弦．
4．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知双曲线M与椭圆有相同的焦点，且M与圆相切．
(1)求M的虚轴长．
(2)是否存在直线l，使得l与M交于A，B两点，且弦AB的中点为？若存在，求l的斜率；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，2
【分析】（1）根据题意得出双曲线方程后求解；
（2）中点弦问题，可用点差法，化简后得到斜率，然后代回检验.
【详解】（1）因为椭圆的焦点坐标为
所以可设M的方程为．
因为M与圆相切，所以，
则，故M的虚轴长．
（2）由（1）知，M的方程为．
设A，B两点的坐标分别为，，则
两式相减得，
假设存在直线l满足题意．则所以，
因此l的方程为，代入M的方程，整理得，，l与M相交，
故存在直线l满足题意，且l的斜率为2．
题型六：确定参数的取值范围
1．（23-24高二上·安徽合肥·期末）设圆与两圆中的一个内切，另一个外切．
(1)求圆心的轨迹的方程；
(2)已知直线与轨迹交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据圆与圆的位置关系结合双曲线的定义分析求解；
（2）联立方程结合韦达定理运算求解.
【详解】（1）圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为1，
设圆的半径为，
若圆与圆内切，与圆外切，则，
可得；
若圆与圆内切，与圆外切，则，
可得；
综上所述：，
可知：圆心的轨迹是以、为焦点的双曲线，且，
可得，所以圆心的轨迹的方程.
（2）联立方程，消去y得，
则，可知直线与双曲线相交，
设，线段的中点为，

可得，即，
且在圆上，则，解得，
所以实数的值为.
2．（23-24高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系xOy中，动圆P和圆：内切，且与圆：外切，记动圆P的圆心轨迹为E．
(1)求轨迹E的方程；
(2)若直线l：与E交于不同的两点M、N，线段MN的中点记为A，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围．
【答案】(1);
(2)或.
【分析】（1）由圆的内切，外切位置关系可得，，即，由椭圆的定义，分析即得解；
（2）联立直线与椭圆，结合韦达定理求解弦中点坐标，用斜率表示直线的垂直关系可得，代入，求解即可.
【详解】（1）由题意，圆的标准方程为：，圆心，
圆的标准方程为，圆心，
不妨设动圆P的半径为，
动圆P和圆内切，故；动圆P和圆外切，故，
即，又，
故动圆P的圆心轨迹是以为焦点的椭圆，，
即轨迹E的方程是：.
（2）由题意，联立直线与椭圆：
，可得，
不妨设，则，
即，
，
线段MN的中点横坐标，纵坐标，
线段MN的垂直平分线过定点，故，
即，代入可得，
，即
即，解得或.
3．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知直线与椭圆C交于P，Q两点，点M是线段PQ的中点，直线过点M，且与直线l垂直.记直线与y轴的交点为N，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出后可得椭圆的方程.
（2）联立直线的方程和椭圆方程，消去后利用韦达定理可用表示，利用换元法和二次函数的性质可求的取值范围.
【详解】（1）由题意可得，解得，.
故椭圆C的标准方程为.
（2）设，，.
联立，整理得，
则，解得，
从而，.
因为M是线段PQ的中点，所以，
则，故.
直线的方程为，即.
令，得，则，
所以.
设，则，
故.
因为，所以，所以.
4．（23-24高二上·广东·阶段练习）已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为．
（）求双曲线的方程；
（）若直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的垂直平分线过点，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【详解】试题分析：（1）由双曲线的右焦点为，右顶点为求出和,进而根据求得,则双曲线方程可得；（2）把直线方程与双曲线方程联立，消去，利用判别式大于求得和的不等式关系，设的中点为，根据韦达定理表示出和，根据，可知的斜率为，进而求得和的关系，最后综合可求得的范围.
试题解析：（）设双曲线方程为．
由已知得，，，
∴．
故双曲线的方程为．
（）联立，
整理得．
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
∴，
可得．（）
设、，的中点为．
则，，．
由题意，，∴．
整理得．（）
将（）代入（），得，
∴或．
又，即．
∴的取值范围是．
【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题. 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
题型七：定值问题
1．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知椭圆的一个顶点为，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在实数m，使直线与椭圆有两个不同的交点M、N，并使，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）结合椭圆的定义，结合顶点坐标，即可求椭圆方程；
（2）首先求线段的中垂线方程，根据点在中垂线上，求，并判断是否满足.
【详解】（1）椭圆的一个顶点为得
椭圆上任一点到两个焦点的距离之和得即
所以椭圆的方程为
（2）设直线l与椭圆C两个不同的交点
∵
所以，点A在线段的中垂线，下面求的方程
联立方程去y，可得
由，解得
设的中点为，有
则的方程为即
由于点A在直线的中垂线上，解得
又∵
所以不存在实数m满足题意．
2．（23-24高二上·辽宁盘锦·期中）已知椭圆的焦距为4，且离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的中点P在圆上，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由题列出关于a、b、c的方程组即可求椭圆方程；
(2)联立直线方程和椭圆方程，根据根与系数的关系求得P的坐标，代入圆的方程即可求得m.
【详解】（1）由题意，得，解得，所以椭圆C的方程为．
（2）设点M，N的坐标分别为，，线段MN的中点为，
由消y，得，，解得．
所以，，所以，，
因为点在圆上，所以，解得，满足．
∴．
3．（2024·云南·模拟预测）设圆与两圆中的一个内切，另一个外切.
(1)求圆心的轨迹的方程；
(2)已知直线与轨迹交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值.
【答案】(1)；
(2)7.
【分析】
（1）根据给定信息，结合两圆内切、外切的定义列式求出轨迹即可得解.
（2）联立直线与轨迹的方程，并求出线段的中点坐标即可求解.
【详解】（1）圆的圆心为，半径为1，
圆的圆心为，半径为1，
设圆的半径为，
若圆与圆内切，与圆外切，则，得；
若圆与圆内切，与圆外切，则，得，
因此，则圆心的轨迹是以为焦点的双曲线，
且实半轴长，半焦距，虚半轴长，
所以圆心的轨迹的方程为.
（2）由消去得：，
显然，设，线段的中点，
于是，即，
由在圆上，得，解得，又，
所以实数的值为7.

4．（2024高三·全国·专题练习）已知倾斜角为45°的直线l过点A(1,-2)和点B，B在第一象限，.
（1）求点B的坐标；
（2）若直线与双曲线相交于E,F两点，且线段EF的中点坐标为，求a的值.
【答案】（1）(4,1).（2）2
【分析】（1）根据直线的倾斜角、点坐标以及，求得点的坐标.
（2）利用点差法列方程，解方程求得的值.
【详解】(1)依题意，所以点B的坐标为(4,1).
(2)设直线与曲线交于两点，的中点为，则有E、F既在直线上又在曲线上，则；
；
（1）-（2）并化简得：，即，代入点(4,1)，得，因为，可得a=2.
【点睛】本小题主要考查双曲线中的中点弦问题求解，属于基础题.
5．（2024·全国·模拟预测）已知长为的线段的中点为原点，圆经过两点且与直线相切，圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点且互相垂直的直线分别与曲线交于点和点，且，四边形的面积为，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接写出圆心符合的等量关系式，进而得到曲线的方程；
（2）先用点差法求出方程，再联立曲线，用弦长公式求，根据垂直，同理可求，再表示面积即可求出实数的值.
【详解】（1）由题意知圆心在线段的垂直平分线上，则,设，圆的半径为，
则，
又圆与直线相切，故，
于是，化简得，
所以曲线的方程为.
（2）设，根据可得为的中点，
则，得，
即，所以直线.
联立方程，得，得，
由，得，
所以，
所以.
设，因为互相垂直，易知直线，
联立方程，得，
得，
由，得，
所以，
所以.
则四边形的面积为.
令，
化简得，
解得（舍）或，符合，所以.
三、专项训练
一、单选题
1．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】点差法得到，从而得到，结合，求出，得到椭圆方程.
【详解】由题意，设，代入椭圆方程，
可得两式相减可，
变形可得，
又过点的直线交椭圆于两点，且的中点为，
所以，
代入上式可得，，又，
解得，所以椭圆的方程为.
故选：C
2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出直线的方程，与椭圆的方程联立结合韦达定理求出的关系计算即得.
【详解】依题意，直线的斜率，直线的方程为，即，
由消去并整理得：，
则，即，
设，则，而弦的中点为，即，
于是，解得，此时
所以椭圆的离心率.
故选：C
3．（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先确定点在椭圆内部，设交点为，代入椭圆方程做差，然后整理可得直线斜率，利用点斜式可得直线方程.
【详解】因为，故点在椭圆内部，过点的直线恒与椭圆有两个交点，设交点为，则，
又，两式相减得，
整理得，
所以以点为中点的弦所在的直线方程为，
即.
故选：C.
4．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知斜率为2的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，为坐标原点，若的斜率为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用点差法求解.
【详解】设，则，两式作差可得，
因为，又，
所以，所以的离心率为.
故选：D
5．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】A
【分析】利用点差法可求的关系，从而可求双曲线的离心率.
【详解】设，则，且，
所以，整理得到：，
因为是弦的中点，
所以，所以即
所以，
故选：A.
6．（23-24高三下·全国·阶段练习）设直线与双曲线分别交于两点，若线段的中点横坐标是，则该双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，联立直线与双曲线方程，借助中点横坐标列式求解即得.
【详解】由线段的中点横坐标是，得线段的中点纵坐标是，设，
由消去x得，
，
因此，整理得，显然成立，
所以该双曲线的离心率.
故选：A
7．（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，，代入双曲线方程，两式相减可得，由题目条件经整理后可得答案.
【详解】设，，则直线l的斜率为
代入，得，两式相减得：.
又线段AB的中点为点，则.
则.经检验满足题意.
故选：D
二、填空题
8．（23-24高二上·福建福州·期末）已知椭圆的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点为，则直线的斜率为 ．
【答案】
【分析】根据中点坐标公式、椭圆离心率公式，结合点差法进行求解即可.
【详解】设，，则的中点坐标为，
由题意可得，，
将，的坐标的代入椭圆的方程：，
作差可得，
所以，
又因为离心率，，所以，
所以，即直线的斜率为，
故答案为：.
9．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知圆内有一点，经过点的直线与圆交于两点，当弦恰被点平分时，直线的方程为 .
【答案】
【分析】求得圆心坐标为，易知，利用斜率之间的关系可得，即可求得直线的方程.
【详解】易知可表示为，
可知圆的圆心坐标为，半径为，如下图所示：
根据题意由圆的性质可知，易知，所以；
由直线的点斜式方程可得直线的方程为，即.
故答案为：
10．（2024高二·全国）与的左支交于两点，直线过及中点，则在轴上截距范围为 ．
【答案】
【分析】先联立两个方程，再由韦达定理表达直线的方程，再求截距范围即可.
【详解】设，
把代入整理得
因为直线与双曲线左支交于两点，故方程有两负根．
所以，所以.
又因为中点为，
所以直线方程为，令，截距，
由得．
故答案为：
11．（23-24高二上·广西河池·阶段练习）过点的直线l与双曲线交于A、B两点，若M恰好是线段AB的中点，则直线l的斜率为 ．
【答案】6
【分析】设，根据题意利用点差法运算求解.
【详解】设，则，
由题意可知：直线l的斜率存在，则，
因为A、B在双曲线上，则，
两式相减得，则，
即，整理得，
此时直线，即，
联立方程，消去y得，
则，即直线l与双曲线有两个交点，
符合题意，所以直线l的斜率为6.
故答案为：6.
三、解答题
12．（23-24高二下·北京·开学考试）已知椭圆的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4.若直线过点，且与椭圆相交于不同的两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若线段中点的纵坐标，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据已知条件及椭圆的简单几何性质即可求解；
（2）根据已知条件设出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立方程组，利用韦达定理及中点坐标公式，结合线段中点在直线上即可求解.
【详解】（1）由题意可知,解得，
因为，
所以，
所以，解得.
所以椭圆的方程为.
（2）由题意可知直线斜率存在，如图所示
设，设，
因为斜率为2的直线l与E的一条渐近线垂直，所以，所以
所以E的方程为.
（2）设，，则.
线段AB的中点P的坐标为，则，
又点A，B在双曲线E上，所以，
②－①得，，
两边同时除以并整理，得.
又，，，所以.
所以直线OP的方程为：.
14．（2023·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用抛物线定义可求得，即可求出抛物线的方程；
（2）由弦中点坐标为并利用点差法即可求得直线的斜率为，便可得直线方程.
【详解】（1）点在抛物线上，
由抛物线定义可得，解得，
故抛物线的标准方程为．
（2）设，如下图所示：

则，两式相减可得，
即，
又线段的中点为，可得；
则，故直线的斜率为4，
所以直线的方程为，
即直线的方程为．