2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题13数列新定义问题练习(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题13数列新定义问题练习(学生版+解析)，共16页。试卷主要包含了恒成立，则称数列为“数列”，设数列满足，定义等内容，欢迎下载使用。
(1)计算；
(2)设数列满足，求的通项公式；
(3)设排列满足，求，
2．（2024高三下·全国·专题练习）若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”．
(1)已知数列为4，3，1，2，数列为1，2，6，24，分别判断,是否为“等比源数列”，并说明理由；
(2)已知数列的通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由；
3．（23-24高二下·吉林四平·阶段练习）在数列中，若存在常数，使得（）恒成立，则称数列为“数列”．
(1)判断数列1，2，3，7，43是否为“数列”；
(2)若，试判断数列是否为“数列”，请说明理由；
(3)若数列为“数列”，且，数列为等比数列，满足求数列的通项公式和的值．
4．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）给定数列，称为的差数列（或一阶差数列），称数列的差数列为的二阶差数列，若.
(1)设的二阶差数列为，求的通项公式.
(2)在（1）的条件下，设，求的前n项和为
7．（2024·黑龙江·二模）如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为“型数列”．
(1)若数列满足，判断是否为“型数列”，并说明理由；
(2)已知正项数列为“型数列”，，数列满足，，是等比数列，公比为正整数，且不是“型数列”，求数列的通项公式．
8．（2015高二·全国·竞赛）设数列满足：①；②所有项；③.设集合，将集合中的元素的最大值记为.换句话说，是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值.我们称数列为数列的伴随数列.例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3.
(1)请写出数列1，4，7的伴随数列；
(2)设，求数列的伴随数列的前之和；
(3)若数列的前项和（其中常数），求数列的伴随数列的前项和.
9．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）若有穷数列，是正整数），满足，即是正整数，且，就称该数列为“对称数列”．例如，数列1，3，5，5，3，1就是“对称数列”.
(1)已知数列是项数为7的对称数列，且，，，成等差数列，，，试写出的每一项；
(2)对于确定的正整数，写出所有项数不超过的“对称数列”，使得依次是该数列中连续的项；当时，求其中一个“对称数列”前19项的和
10．（23-24高二下·江西·阶段练习）将数列按照一定的规则，依顺序进行分组，得到一个以组为单位的序列称为的一个分群数列，称为这个分群数列的原数列．如，，…，是的一个分群数列，其中第k个括号称为第k群．已知的通项公式为．
(1)若的一个分群数列中每个群都含有3项；该分群数列第k群的中间一项为，求数列的通项公式；
(2)若的一个分群数列满足第k群含有k项，为该分群数列的第k群所有项构成的数集，设，求集合M中所有元素的和．
专题12 数列新定义问题（典型题型归类训练）
1．（2024·甘肃定西·一模）在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，，
(1)计算；
(2)设数列满足，求的通项公式；
(3)设排列满足，求，
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用逆序数的定义，依次分析排列中的逆序个数， 从而得解；
（2）利用逆序数的定义得到，从而利用构造法推得是等比数列，从而得解；
（3）利用逆序数的定义，结合等差数列的求和公式得到，再利用裂项相消法即可得解.
【详解】（1）在排列中，与5构成逆序的有4个，与1构成逆序的有0个，
与2构成逆序的有0个，与4构成逆序的有1个，与3构成逆序的有0个，
所以.
（2）由（1）中的方法，同理可得，
又，所以，
设，得，
所以，解得，则，
因为，
所以数列是首项为1，公比为5的等比数列，
所以，则.
（3）因为，
所以，
所以，
所以.
2．（2024高三下·全国·专题练习）若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”．
(1)已知数列为4，3，1，2，数列为1，2，6，24，分别判断,是否为“等比源数列”，并说明理由；
(2)已知数列的通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由；
【答案】(1)是“等比源数列”， 不是“等比源数列”，理由见解析
(2)不是“等比源数列”，理由见解析
【分析】（1）根据等比中项，结合列举法即可求解，
（2）假设是“等比源数列”得，即可根据指数幂的运算，结合奇偶数的性质得矛盾，即可求解.
【详解】（1）是“等比源数列”， 不是“等比源数列”．
中“1，2，4”构成等比数列，所以是“等比源数列”；
中“1，2，6”，“1，2，24”，“1，6，24”，“2，6，24”均不能构成等比数列，
且这四者的其他次序也不构成等比数列，
所以不是“等比源数列”．
（2）不是“等比源数列”．
假设是“等比源数列”，因为是单调递增数列，
即中存在的，，三项成等比数列，
也就是，即，
，两边时除以得，
等式左边为偶数，
等式右边为奇数．
所以数列中不存在三项按一定次序排列构成等比数列．
综上可得不是“等比源数列”．
3．（23-24高二下·吉林四平·阶段练习）在数列中，若存在常数，使得（）恒成立，则称数列为“数列”．
(1)判断数列1，2，3，7，43是否为“数列”；
(2)若，试判断数列是否为“数列”，请说明理由；
(3)若数列为“数列”，且，数列为等比数列，满足求数列的通项公式和的值．
【答案】(1)是
(2)不是，理由见解析
(3)，
【分析】（1）根据数列的定义判断
（2）根据已知条件求出即可判断；
（3）根据数列为“数列”，化为，进而求得，作差有，根据已知条件化为，解得，由此求出，即可求出数列的通项公式.
【详解】（1）由题意可得， ，，，
所以1，2，3，7，43是“数列”；
（2）数列不是“数列”，理由如下：
（），则（），
又（），
所以（），
因为不是常数，所以数列不是“数列”．
（3）因为数列为“数列”，由（），
有（）①，
所以（）②，
两式作差得（），
又因为数列为“数列”，所以（），
设数列的公比为，所以（），
即对成立，
则，
又，，得，
所以，．
4．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）给定数列，称为的差数列（或一阶差数列），称数列的差数列为的二阶差数列，若.
(1)设的二阶差数列为，求的通项公式.
(2)在（1）的条件下，设，求的前n项和为
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助定义计算即可得；
（2）借助等差数列及等比数列的求和公式计算即可得.
【详解】（1），则；
（2），
则.
5．（2024·安徽池州·模拟预测）定义：若对恒成立，则称数列为“上凸数列”．
(1)若，判断是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．
(2)若为“上凸数列”，则当时，．
（ⅰ）若数列为的前项和，证明：；
（ⅱ）对于任意正整数序列（为常数且），若恒成立，求的最小值．
【答案】(1)是，证明见解析
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【分析】（1）构造函数，利用导数研究其单调性结合“上凸数列”定义判定即可；
（2）（ⅰ）利用“上凸数列”定义及倒序相加法证明即可；令，利用条件及数列求和适当放缩计算即可.
【详解】（1）是“上凸数列”，理由如下：
因为，
令，
则．
当时，，
所以，
所以在区间上单调递减，
所以，
所以，
所以是“上凸数列”．
（2）（ⅰ）证明：因为是“上凸数列”，由题意可得对任意，
，
所以，
所以．
（ⅱ）解：令，
由（1）可得当时，是“上凸数列”，
由题意可知，当时，．
因为，
即
．
所以
，
当且仅当时等号成立，
所以．
综上所述，的最小值为．
6．（2024·江西南昌·一模）对于各项均不为零的数列，我们定义：数列为数列的“比分数列”.已知数列满足，且的“比分数列”与的“2-比分数列”是同一个数列.
(1)若是公比为2的等比数列，求数列的前项和；
(2)若是公差为2的等差数列，求.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用已知求出通项公式，再求前项和即可.
（2）利用累乘法求通项公式即可.
【详解】（1）由题意知，
因为，且是公比为2的等比数列，所以，
因为，所以数列首项为1，公比为4的等比数列，
所以；
（2）因为，且是公差为2的等差数列，所以，
所以，
所以，
所以，因为，
所以.
7．（2024·黑龙江·二模）如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为“型数列”．
(1)若数列满足，判断是否为“型数列”，并说明理由；
(2)已知正项数列为“型数列”，，数列满足，，是等比数列，公比为正整数，且不是“型数列”，求数列的通项公式．
【答案】(1)不是“型数列”，理由见解析；
(2)
【分析】（1）计算得出数列前两项验证即可得出结论，并证明即可；
（2）利用为“型数列”和是等比数列，且不是“型数列”可求得的公比为，即可求出数列的通项公式为.
【详解】（1）易知当时，可得，即；
而当时，，可得；
此时，不满足“型数列”定义，
猜想：数列不是“型数列”，
证明如下：
由可得，当时，，
两式相减可得，可得，
此时从第二项起，每一项与它前一项的比为，因此不是“型数列”；
（2）设数列的公比为，易知，
又因为数列不是“型数列”，可得
可得，即得；
又数列为“型数列”，可得；
易知“型数列”为递增数列，因此当趋近于正无穷大时，趋近于，即可得；
综上可得，即，可得；
所以数列是以为首项，公比为的等比数列；
即可得，可得；
所以数列的通项公式为.
8．（2015高二·全国·竞赛）设数列满足：①；②所有项；③.设集合，将集合中的元素的最大值记为.换句话说，是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值.我们称数列为数列的伴随数列.例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3.
(1)请写出数列1，4，7的伴随数列；
(2)设，求数列的伴随数列的前之和；
(3)若数列的前项和（其中常数），求数列的伴随数列的前项和.
【答案】(1)1，1，1，2，2，2，3
(2)50
(3)
【分析】（1）由数列的新定义直接写出即可；
（2）由数列的新定义结合对数的运算求出即可；
（3）先由求出，再由数列新定义求出，再分为奇数和偶数时分别求出.
【详解】（1）数列1，4，7的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，（后面加3算对）
（2）由，得
∴ 当时，
【答案】(1)2，5，8，11，8，5，2
(2)答案见解析
【分析】（1）由等差数列基本量的计算结合对称数列的定义即可求解；
（2）由该特殊对称数列的定义结合等边数列求和公式即可求解.
【详解】（1）设的公差为，则，解得，
数列为2，5，8，11，8，5，2．
（2）若依次是该数列中连续的项，且是对称数列，
则至少有项，
从而所有项数不超过的“对称数列”有：
，
，
，
，
共有4个这样的数列（2个项的，2个项的）；
当时，求数列的前项，
则
.
10．（23-24高二下·江西·阶段练习）将数列按照一定的规则，依顺序进行分组，得到一个以组为单位的序列称为的一个分群数列，称为这个分群数列的原数列．如，，…，是的一个分群数列，其中第k个括号称为第k群．已知的通项公式为．
(1)若的一个分群数列中每个群都含有3项；该分群数列第k群的中间一项为，求数列的通项公式；
(2)若的一个分群数列满足第k群含有k项，为该分群数列的第k群所有项构成的数集，设，求集合M中所有元素的和．
【答案】(1)
(2)54
【分析】
（1）由给定的数列新定义推导通项公式求解即可.
（2）根据该数列第k群含有k项，求出该分群数列的前7群，从而得到集合M中的所有元素，求和即可.
【详解】（1）由题意知该分群数列第k群的中间一项为．
因为，所以，即．
（2）由题意知该分群数列第k群含有k项，所以该分群数列前7群为，，，，，，．
又，，所以．当时，，当时，或9，
当时，或5或4，当时，或2，所以，
故集合M中所有元素的各为．