2025届河南省豫西北教研联盟（许洛平）高三上学期高考第一次质量检测（一模）数学试题（含答案）

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注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。
1. 已知向量 a=x,−3,b=3x,x+2 ,若 a⋅b=0 ,则 x=
A. -1 B. 2 C. 2 或 -1 D. 2 或 -2
2. 已知集合 A={x∣1A. 2,+∞ B. (1,2] C. (−∞,2] D. [2,+∞)
3. 已知 sinα+π4=−23 ,则 sin2α=
A. 19 B. −19 C. 89 D. −89
4. 下列选项中, p 是 q 的充要条件的是
A. 已知非零向量 a,b,c, p:a⋅c=b⋅c, q:a=b
B. 已知 x∈R,p:x2+2x−3<0, q:0C. 在 △ABC 中, p:A>B, q:sinA>sinB
D. 直线 l1:ax+2y+6=0,l2:x+a−1y+3=0, p:l1//l2, q:a=2
5. 已知 fx=lnx+1+x2 ,则 fx2−8+f2x≥0 的解集为
A. {x∣−2≤x≤4} B. {x∣−4≤x≤2}
C. {x∣x≥4 或 x≤−2} D. {x∣x≥2 或 x≤−4}
6. 过双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右焦点 F 的直线 l 与 C 交于 A,B 两点,若线段 AB 的长度取最小值时,直线 l 恰有两条,则双曲线 C 的离心率为
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
7. 已知数列 an,bn 中, a1=2,b1=6,an+1=2an,bn+1=2bn−an ,若 am=bm ,则 m=
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
8. 已知 a>0 ,若函数 fx=−ax2−a−2x+lnx,x>0ln−x+1−axex,x<0 没有零点,则实数 a 的取值范围是
A. e,+∞ B.(1, e) C.(0,1) D. 1,+∞
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知 ab=14 且 a,b∈0,1 ,则
A. a2+b2≥12 B. b+49a>23 C. 1a+1b≥4 D. a2+b≥34
10. 在平面直角坐标系中,角 α 的顶点为坐标原点 O ,始边为 x 轴的非负半轴,终边与以 O 为圆心,1 为半径的圆交于点 A32,−12 ,射线 OA 绕点 O 逆时针旋转 2θ 后交圆 O 于点 B , 若点 B 的纵坐标为 y ,设 y=fθ ,则
A. α=5π6 B. fθ=sin2θ−π6
C. 函数 y=fθ 的单调递增区间为 −π6+kπ,π3+kπ,k∈Z
D. fθ 的对称中心为 π3+kπ2,0,k∈Z
11. 在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, E 为棱 CC1 的中点, P 为线段 A1E 上的动点, Q 为底面 ABCD (含边界) 上的动点,且平面 A1QC⊥ 平面 A1DC ,则
A. 直线 BP 与平面 BCC1B1 所成角的最大值为 π4
B. 点 Q 的轨迹长度为 5
C. 三棱锥 Q−A1D1E 的体积为定值
D. 若 A1P=λA1E ,且 PQ// 平面 ADD1A1 ,则 λ 的取值范围为 12,1
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知复数 z 满足 z4−3i=2+i ,则 z= _____.
13. 设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F ,直线 l:4x−5y+4=0 与 C 的一个交点为 M ,直线 MF 与 C 的另一个交点为 N ,则 MN=_____.
14. 已知三棱锥 P−ABC,AC=22,PB=2,AB⊥BC ,二面角 P−AB−C 的大小为 60∘ ,当三棱锥 P−ABC 的体积取得最大值时,其外接球的表面积为_____.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
设 F1,F2 为椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点,点 G3,32 在椭圆 C 上,点 G 关于原点的对称点为 H ,四边形 GF1HF2 的面积为 3 .
(1) 求椭圆 C 的方程;
(2) 过点 F2 作直线 l 与 C 交于 A,B 两点, △F1AB 的面积为 1227 ,求 l 的方程.
16. (15 分)
已知函数 fx=32sinx+cs2x2 ,在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且fB=32.
(1) 求 B ;
(2) 若 2b2=2c2+ac ,求 a+bc 的值. 17. (15 分)
(15 分)
如图,四棱锥 P−ABCD 中, PA⊥PD,△PCD 为等边三角形,四边形 ABCD 为直角梯形,
AB//CD,AB⊥BC,CD=2AB=2 .
(1) 证明: 平面 PAD⊥ 平面 PDC ;
(2) 若 PA 与平面 ABCD 所成的角为 60∘ ,求平面 PBC 与平面 PAD 夹角的余弦值.
18. (17 分)
已知函数 fx=xex−ax .
(1) 若 fx 在点 1,f1 处的切线方程为 x−y+1e=0 ,求 a 的值;
(2) 若 a≤−1e2 ,判断函数 fx 的单调性;
(3) 当 a=0 时,证明: emfx≤1−mx+m2 ,其中 0≤x≤2,019. (17 分)
已知有穷数列 a1,a2,⋯,ann≥4 的各项均为正整数,记集合 M=x∣x=ajai,1≤i(1) 若数列 an 为1,2,4,8,试写出集合 M ,并求 cardM 的值;
(2) 若 an 是递增数列且 cardM=n−1 ,求证: an 是等比数列;
(3) 判断 cardM 是否存在最大值,若存在,试说明理由.