安徽县中联盟2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题（解析版）

这是一份安徽县中联盟2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题（解析版），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于A，因为是任何集合的子集，N是自然数集，则A正确；
对于B，因为含有元素，不是空集，故B错误；
对于C，因为R是实数集，则，故C正确；
对于D，因为Q是有理数集，则，故D正确.
故选：B.
2. 已知命题，，则命题p否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】，，则命题p的否定为，.
故选：D.
3. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，又，
.
故选：D.
4. 已知，，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，得，集合是的真子集，
所以p是q的充分不必要条件.
故选：A.
5. 满足的集合M的个数是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 15
【答案】B
【解析】因为集合，则集合M可以为，，，，，，，共7个.
故选：B.
6. 设，，且，则xy的最大值是（ ）
A. B. C. D. 100
【答案】A
【解析】因为x，，所以，即，所以，
当且仅当且，即，时等号成立.
故选：A.
7. 已知集合，若，则，则称为集合的“亮点”，若，则集合的所有“亮点”之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】不等式，即，解得，所以，
若，则；若，不存在；若，；
若，，若，；若，.
由定义可知都是集合的“亮点”，所以集合的所有“亮点”之和为.
故选：C.
8. 关于x的不等式恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】由恰有3个整数解，
即恰有3个整数解，
所以，解得或.
当时，不等式解集为，
因为，故3个整数解为1，2和3.
则，即，解得是；
当时，不等式解集为，
因为，故3个整数解为，，，
则，即，解得.
综上所述，实数a的取值范围为或.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】由图可知阴影部分所表示的集合为，B，C正确，D错误，
因}，，所以，故A正确.
故选：ABC.
10. 已知二次函数的图象开口向上且零点为和，则（ ）
A. 且
B.
C. 不等式的解集为
D. 不等式的解集为
【答案】BC
【解析】对于A，由题意得且为一元二次方程的两个根，
故，，即，，故A错误；
对于B，为一元二次方程的根，故，即，
故B正确；
对于C，由A选项可知，即，解得，故C正确；
对于D，即，又，
故，解得，故D错误.
故选：BC.
11. 若a，b均为正实数，且满足，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为4
C. 的最小值为4D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A，由，得，
当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A正确；
对于B，，，则，
当且仅当，时取等号，又当，时，，
故等号能取到，则的最小值是2，故B错误；
对于C，，b均为正数，且满足，
，
当且仅当，即时取等号，则的最小值是4，故C正确；
对于D，观察知.
故，
当且仅当，即时取等号，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，“”是“为锐角三角形”的______条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
【答案】必要不充分
【解析】若，则，可能有一个大于90°，故充分性不成立；
若为锐角三角形，则任意两内角和必大于90°，故必要性成立.
13. 已知，，设，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】设，所以，
解得，，所以.
又，所以①.
又，所以②，
①+②可得，故.
14. 二次函数的最大值记为，最小值记为，其中常数.若实数满足，则______，的最小值为__________
【答案】
【解析】因为函数的图象开口向上，
所以当时取最小值，即，
当时取最大值，即，所以.
不等式，即，或，
又，所以，所以，由，
即，即对恒成立，
所以，即，所以的最小值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 设集合，.
（1）若，命题：，命题，若命题都为真命题，求实数的取值范围；
（2）若，求的取值范围.
解：（1）若时，，又，
若为真，则，若为真，则，
因为都为真命题，所以的取值范围为.
（2）因为，所以.
当时，有，即，满足题意；
当时，有，解得.
综上可知，m的取值范围为或.
16. （1）若关于x的方程的两个根为，，且，求实数m的取值范围；
（2）若关于x的不等式在R上恒成立，求实数b的取值范围.
解：（1）由方程两个根为，，且，结合二次函数的图象开口向上，
可知当时函数值大于0，时函数值小于0，时函数值大于0，
即，解得.
（2）若，即.
当时，原不等式等价为，显然成立，符合题意；
当，原不等式等价为，显然不恒成立，舍去；
若时，要使恒成立，
需要，解得，即.
综上，b的取值范围为.
17. （1）设，，比较与的大小；
（2）求关于的不等式的解集.
解：（1）因为，，
则，
故，当且仅当时取等号.
（2）当时，不等式可化为一次不等式：，则有；
当时，不等式可化为二次不等式.
①当时，，可得或.
②当时，.
时，则；时，解集为；时，则.
综上所述：当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集；
当时，解集为.
18. 2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》.根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件.已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产百件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为5万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
（1）分别写出与时，年利润y（万元）与年产量x（百件）的关系式（利润=销售收入-成本）；
（2）当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
解：（1）由题意可得当时，，
当时，.
（2）由（1）得时，，
此时（百件）时，（万元），
当时，
，
当且仅当，即时等号成立，（万元），
而，故（百件）时，利润最大，
综上所述，年产量为50百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是2830万元.
19. 对于正整数集合，如果对于M中的任意两个元素x，y，都有，则称M为“好集合”.
（1）试判断集合和是否为“好集合”？并说明理由；
（2）若集合，证明：C不可能是“好集合”；
（3）若，D是S的子集，且D是“好集合”，求D所含元素个数的最大值.
解：（1）因为，因为，所以集合A不“好集合”，
因为，，，，，，，
所以集合B是“好集合”.
（2）证明：将集合中的元素分为如下10个集合，
，，，，，，，，，，
所以从集合中取12个元素，则前8个集合至少要选10个元素，
所以必有2个元素取自前8个集合中的同一集合，
即存在两个元素的差的绝对值不大于2，
所以C不可能是“好集合”.
（3）因为D是“好集合”，所以对于D中的任意两个不同的元素x，y，
不妨设，都有.
要想D所含元素个数最大，则要尽可能小，
故需使得的最小值为3.
将1~2026这2026个元素按如下分组：
，，……，，，
故应取，其中任意两元素差值都大于2，故其是“好集合”，
故“好集合”D所含元素个数的最大值为.