上海市松江区2023届高考数学一模试题

这是一份上海市松江区2023届高考数学一模试题，共9页。试卷主要包含了记为等差数列的前项和，已知函数为奇函数，则实数　▲　，已知、是双曲线等内容，欢迎下载使用。
（满分150分，完卷时间120分钟）
考生注意：
1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分．
2．答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号．
3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位．
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，第12题第一个空格2分，第二个空格3分．
1．已知集合，则= ▲ ．
2．函数的最小正周期为 ▲ ．
3．已知是虚数单位，若与互为共轭复数，则 ▲ ．
4．记为等差数列的前项和．若，则公差 ▲ ．
5．已知函数为奇函数，则实数 ▲ ．
6． 已知圆锥的母线长为,侧面积为,则此圆锥的体积为 ▲ （结果中保留）．
7．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为 ▲ ．
8．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ▲ ．
9．已知集合，设函数的值域为，若，则实数的取值范围为 ▲ ．
10．已知、是双曲线：的左、右焦点，点是双曲线上的任意一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足为，线段的延长线交于点，是坐标原点．若，则双曲线的渐近线方程为 ▲ ．
11．动点在棱长为1的正方体表面上运动，且与点的距离是，点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为 ▲ ．
12．已知数列的各项都是正数，.若数列为严格增数列，则首项的取值范围是______；当时，记，若，则整数 ▲ ．
二、选择题(本大题满分18分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，第13、14题选对得4分，第15、16题选对得5分，否则一律得零分．
13．下面四个条件中，使成立的充要条件为（ ）
(A) (B) (C)(D)
14．函数图像可能为（ ）
(A)(B) (C)(D)
15．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为．已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）
(A)(B)(C)(D)
16．已知函数．若函数的图像经过四个象限，则实数的取值范围为（）
(A)(B)(C)(D)
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，已知平面，．
(1)求证：平面平面；
(2)若，求直线与平面所成的角的大小．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
在三角形中，内角、、所对边分别为、、，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，三角形的面积为，求三角形的周长．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上、桥与平行，为铅垂线(在上) ．经测量，山谷左侧的轮廓曲线上任一点到的距离(米)与到的距离(米)之间满足关系式；山谷右侧的轮廓曲线上任一点到的距离(米)与到的距离(米)之间满足关系式．已知点到的距离为40米．
（1）求谷底到桥面的距离和桥的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为80米，其中在上(不包括端点) ．桥墩每米造价为(万元)、桥墩每米造价为(万元)() ．问为多少米时，桥墩与的总造价最低?
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知椭圆（）的长轴长为，离心率为．直线与椭圆有两个不同的交点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值；
（3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为．若点、和点三点共线，求直线的斜率值．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知定义在上的函数(是自然对数的底数)，记的导函数为，满足，且．删除无穷数列，，，，，中的第项，第项，，第项，（），余下的项按原来顺序组成一个新数列．记数列前项和为.
（1）求函数的解析式；
（2）已知数列的通项公式是，求函数的解析式；
（3）设集合是实数集的非空子集，如果正实数满足：对任意，都有，则称为集合的一个“阈度”．
记集合，试问集合存在“阈度”吗？若存在，求出集合 “阈度”的取值范围；若不存在，试说明理由．
2022.12松江区高三数学一模试卷参考答案
一、填空题
1．； 2．；3．；4．；5．；6．；7．8．；9． ；10．；11．；12．①.（0，2）②.
二、选择题
13．B 14．C 15．A 16．A
三.解答题
17．解：（1）∵AB⊥面BCD，
由三垂线定理得： ，…………………2分
又∵BC⊥CD且AB∩BC＝B，平面，
∴CD⊥面ABC，…………………2分
∵平面ACD,∴平面ACD⊥平面ABC．……………2分
（2）∵DC⊥面ABC，∴∠CAD即为直线AD与平面ABC所成的角，………2分
∵BC＝CD＝，∠BCD＝90°，∴BD＝，
又AB＝1，∴AD＝3，
∴在中，.…………………3分
即直线AD与平面ABC所成角的大小为．…2分
注：用空间向量求解，请相应给分.
18．解：（1）在中，由正弦定理，可得，
又由，得，即，……2分
可得．……2分
又因为，可得．……2分
（2）因为 QUOTE 的面积为，
所以 QUOTE ，解得，……2分
所以．
由余弦定理，可得，解得．……4分
所以 QUOTE 的周长为……2分
19．解：（1）由题意得：……2分
……2分
米……2分
所以，谷底到桥面的距离为160米，桥的长度为120米。
（2）设总造价为万元，，设，
……4分
(0舍去)
当时，；当时，，
因此当时，取最小值.……4分
答：当米时，桥墩CD与EF的总造价最低.
20.解：（1）由题意得，所以……1分
又因为，所以，所以，……2分
所以椭圆的标准方程为．……1分
（2）由题意得关于直线：的对称点，……2分
代入椭圆方程，得：，
化简得：，所以或……2分
当时，与点M重合，舍。
所以。 ……2分
（3）设，，，，
则①，②，
又，所以可设，直线的方程为，
由消去可得，……2分
则，即，
又，代入①式可得，所以，
所以，同理可得．……4分
故，，
因为，，三点共线，所以，
将点，的坐标代入化简可得，即直线的斜率值为2．……2分
21.解：（1）由得=恒成立，所以．…………………2分
又由得b=1，所以． …………………………………………2分
（2）数列的奇数项依次够成以为首项，以为公比的等比数列，
偶数项依次够成以为首项，以为公比的等比数列．…………………………2分
所以. ……………………………………………………2分
所以.
所以.…………………………………2分
（3）令．
当n为偶数时，,………1分
所以，
此时关于n是递增的，其取值在区间内，即在区间内；……………………………………2分
当n为奇数时，，……………………1分
，此时关于n也是递增的，其取值在区间内，即在区间内；
所以，时的取值在区间内．
…………………………………………3分
所以，集合H“阈度”的取值范围为．……………………1分