河北省邯郸市多校2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份河北省邯郸市多校2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知圆C的圆心坐标为，且过坐标原点，则圆C的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意，圆心，半径，
故圆C方程为.
故选：B.
2. 已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】因为，所以，所以，解得．
故选：B.
3. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵直线与直线平行，
∴，解得，
∴直线，
又∵直线可化为，
∴两平行线之间的距离．
故选：C．
4. 如图，在正三棱锥中，点为的重心，点是线段上的一点，且，记，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为为的重心，
所以，
又点是线段上的一点，且，
所以
．
故选：A．
5. 已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】点关于对称的点设为，
则，反射光线经过点，
则反射光线所在的直线方程为，即.
故选：C.
6. 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】取的中点，则，
以所在直线为轴，所在直线为轴，与中点连线所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，所以，
所以在上的投影的长度为，
故点到直线的距离为.
故选：C.
7. 已知实数满足，且，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意知，点满足关系式，且，
可得点在线段上移动，且，，如图所示，
设，则，
因为点在线段上，所以的取值范围是.
故选：D.
8. 在正三棱锥中，，点满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，延长至点，使得，
所以，
又由，所以四点共面，
所以的最小值，即为点到平面的距离，
因为点是的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的一半，
又因为，所以三棱锥为正三棱锥，
取等边的中心为，连接，可得平面，
所以即为点到平面的距离，
在等边，因为，可得，
在直角中，可得，
即点到平面的距离为，所以的最小值为.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知空间向量且，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
，故A正确；
由于，设，则，故B正确；
，故C错误；
，故D正确．
故选：ABD．
10. 直线与曲线恰有两个交点，则实数m的值可能是（ ）
A. B. C. 4D. 5
【答案】BC
【解析】曲线表示圆在轴的上半部分，
当直线与圆相切时，，解得，
当点在直线上时，，
所以由图可知实数m的取值范围为.
故选：BC.
11. 如图，在棱长为2的正方体中，点是底面内的一点（包括边界），且，则下列说法正确的是（ ）
A. 点的轨迹长度为
B. 点到平面的距离是定值
C. 直线与平面所成角的正切值的最大值为
D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】对于A，因为，即，所以，
即点在底面内是以为圆心､半径为1的圆上，
所以点的轨迹长度为，故A错误；
对于B，在正方体中，，
又平面，所以平面，
所以点的轨迹为线段，
又平面，所以点到平面的距离是定值，故B正确；
对于C，因为平面，所以为直线与平面所成角，
因为点到的距离为定值2，记点在平面的投影为，
所以当取得最小值时，直线与平面所成角的正切值最大，
又，
所以直线与平面所成角的正切值的最大值为，故C正确；
对于D，到直线的距离为，
当点落在上时，，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若一条过原点的直线被圆所截得的弦长为2，则该直线的倾斜角为___________.
【答案】60°或120°
【解析】圆的圆心，半径为2，
由题意，直线斜率存在，设直线方程为，
因为直线被圆所截得的弦长为2，
所以圆心到直线的距离为，解得，
所以该直线的倾斜角为60°或120°.
13. 已知向量若共面，则____________.
【答案】
【解析】因共面，所以存在实数，使得，
即，
即，解得．
14. 如图，在正三棱柱中，为棱上的动点（包括端点），为的中点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为__________．
【答案】
【解析】取中点，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，
设，且，
因为为的中点，故，于是，
平面的一个法向量为，
，
设，
则，，
故，
即直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 已知的顶点坐标为.
（1）若点是边上的中点，求直线的方程；
（2）求边上的高所在的直线方程.
解：（1）因为点是边上的中点，则，
所以，
所以直线的方程为，
即.
（2）因为，
所以边上的高所在的直线的斜率为，
所以边上的高所在的直线方程为，即.
16. 如图，在直三棱柱中，，点分别为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与直线的夹角的余弦值.
解：（1）因是直三棱柱，则，
又因点分别为棱的中点，所以，
则四边形是平行四边形，所以，
又因平面平面，故平面.
（2）如图，因直三棱柱中，故可以为原点，
以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
不妨设，则，于是，
设直线与直线的夹角为，则，
故直线与直线的夹角的余弦值为.
17. 如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点是棱上的一点，且.
（1）求证：四边形为正方形；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
解：（1）如图，连接，
在直四棱柱中，平面，平面，
所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，又四边形是矩形，
所以四边形为正方形.
（2）如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为n=x,y,z，所以，
故可取，
设直线与平面所成角的大小为，
所以
即直线与平面所成角的正弦值为.
18. 已知某圆的圆心在直线上，且该圆过点，半径为，直线l的方程为．
（1）求此圆的标准方程；
（2）若直线l过定点A，点B，C在此圆上，且，求的取值范围．
解：（1）由题意可设此圆方程为，
把点坐标代入得，则，
所以圆的标准方程为．
（2）直线l方程为，即，
则有，可得定点，
取线段BC中点为，则，令原点为O，
，
即，化简可得，
即D的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
A到D轨迹圆心距离为，则的取值范围为，
所以的取值范围为．
19. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，平面平面，且，点分别是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成的角的正弦值为.
①求的长；
②求平面与平面的夹角的余弦值.
解：（1）在矩形中，，且是的中点，
，故，
又，则，即，
如图，记，连接，
因是矩形，故是的中点，又，所以，
又平面平面，平面平面平面，
故平面，
又平面，所以，
又平面，所以平面.
（2）①如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，
过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系.
设，所以，
故，
设平面的法向量为n=x,y,z，又，
所以由，故可取，
因为直线与平面所成的角的正弦值为，
所以，
解得，所以；
②如图，因为，
设平面的一个法向量为，
又，
所以，故可取，
设平面的一个法向量为，
又，
所以，故可取，
设平面与平面的夹角为，
所以.
即平面与平面的夹角的余弦值为.