上海市七宝中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

这是一份上海市七宝中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题，共12页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1．函数的定义域为______．
2．计算______．
3．已知是1与9的等比中项，则正实数______．
4．在的展开式中，的系数为______（用数字作答）．
5．在复平面内，复数对应的点位于第______象限。
6．已知，则______．
7．已知集合，其中可以相同，用列举法表示集合中最小的4个元素所构成的集合为______．
8．已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则的极大值点为______（从中选择作答）．
9．已知函数．在中，，且，则______．
10．如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为______．
11．抛物线的焦点为，准线为是拋物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是______．
12．平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知满足，则的取值范围为______．
二、选择题（本大题共4题，满分20分）
13．已知是非零实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
14．已知直线，动直线，则下列结论正确的为（ ）
A．不存在，使得的倾斜角为B．对任意的与都不垂直
C．存在，使得与重合D．对任意的与都有公共点
15．一组学生站成一排．若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
16．若，有限数列的前项和为，且对一切都成立．给出下列两个命题：①存在，使得是等差数列；②对于任意的，都不是等比数列．则（ ）
A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题D．①②都是假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．如图，为正方体，动点在对角线上（不包含端点），记．
（1）求证：；
（2）若异面直线与所成角为，求的值．
18．已知点是坐标原点．
（1）若，求的值：
（2）若实数满足，求的最大值．
19．英语学习中学生喜爱用背单词"神器"提升自己的英文水平，为了解上海中学生和大学生对背单词“神器”的使用情况，随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款背单词“神器”，结果如下：
假设大学生和中学生对背单词“神器”的喜爱互不影响．
（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用“百词斩”的概率；
（2）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人．记X为这3人中最喜爱使用“扇贝单词”的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）记样本中的中学生最喜爱使用这四款背单词“神器”的频率依次为，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款背单词“神器”的频率依次为，其方差为的方差为．写出的大小关系．（结论不要求证明）
20．在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左右焦点，设不经过的直线与椭圆交于两个不同的点，焦点到直线的距离为．
（1）求该粗圆的离心率；
（2）若直线经过坐标原点，求面积的最大值；
（3）如果直线的斜率依次成等差数列，求的取值范围．
21．若斜率为的两条平行直线，曲线满足以下两条性质：（Ⅰ）分别与曲线至少有两个切点；（Ⅱ）曲线上的所有点都在之间或两条直线上．则称直线为曲线的一对“双夹线”，把“双夹线”之间的距离称为曲线在“方向上的宽度”，记为．已知曲线．
（1）判断时，曲线是否存在“双夹线”，并说明理由；
（2）若，试问：和是否是函数的一对“双夹线”？若是，求此时的值；若不是，请说明理由．
（3）对于任意的正实数，函数是否都存在"双夹线"？若是，求的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由．
2025届七宝中学高三（上）期中考试参考答案
一、填空题
1、； 2、； 3、3； 4．18； 5、四； 6．； 7、； 8、a； 9、；
10、4； 11、1； 12、
10、【答案】4
【解析】如图，因为，且长度构成集合，
因为直角三角形中，斜边一定大于直角边和，
所以或，
当时，可分为
，此时由勾股定理可得，解得；
，此时由勾股定理可得，解得；
，此时由勾股定理可得，解得；
由集合的互异性，可知3需舍去；
当，可分为：
，解得；
，解得；
，解得；
11、【答案】1
【解析】设，如图所示，根据抛物线的定义，
可知，
在梯形中，有，
在中，，
又，
，故的最大值是1．
12、【答案】
【解析】如图所示建立坐标系，则在单位圆上．
则，
设满足，
故，
整理得到，
故．
当三点共线时，即在时，有最小值为；
当在时，有最大值为，
因为，即,
，当时等号成立．
综上所述：取值范围为．
二、选择题
13～16、BDBC
15、【答察】B
【解析】如果人数大于6，考虑前7个人：，
每相邻的3人取成一组，则有组，
因为任意相邻的3人中都至少有2名男生，所以这5个组里至少有10名男生，
即这15人中至少有10名男生；
每相邻的5人取成一组，则有3组，
因为任意相邻的5人中都至多有3名男生，所以这3个组里至多有9名男生，
即这15人中至多有9名男生；
显然矛盾，故人数不可能大于6，
当人数为6时，用1表示男生，0表示女生，则可以101101．
故选：B．
16、【答案】D
【解析】对于①：例如，则，
满足是等差数列，且对一切都成立，故①正确；
对于②：若是等比数列，设公比为，显然
1．当时，，不合题意；
2．当时，，不合题意；
3．当时，因为，则，即，
（1）当时，则，即，解得，不合题意；
（2）当时，若为偶数，则，即，解得，不合题意；
（3）当时，若为偶数，则，即，
整理得，无解，不合题意，
综上所述：不存在满足题意，即不可能是等比数列，故②正确；
故选：C．
三、解答题
17、【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）证明：如图，连接．
由已知可得，平面平面，所以，
又是正方形，所以，
又平面平面，
所以平面，
又动点在对角线上，所以平面，所以平面，
所以．
（2）以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系，
设，则，
则．
由已知，可得，设点，则，
所以，所以，
即，所以，
．
又异面直线与所成角为，所以，
即，
解得或0，因为，所以满足条件．
18、【答案】（1）； （2）16．
【解析】（1）
两边平方后可得，
；
（2），
，
，
，
，
时，取得最大值16，
此时的最大值16．
19、【答案】（1）； （2）； （3）
【解析】（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，
这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率为．
（2）因为抽取的8人中最喜爱跑步软件二的人数为，
所以的所有可能取值为0，1，2，
，
所以的分布列为：
所以．
（3），
证明如下（这部分可省略）：
，
，
所以．
，
，
所以．
数据：，
对应的平均数为
所以：
所以．
20．【答案】（1）； （2）； （3）．
【解析】（1）由椭圆的方程，知，故，
所以椭圆的离心率
（2）若直线经过坐标原点，则关于原点对称，
，
点是椭圆上一点，为椭圆上（下）顶点时，取得最大值，
此时面积取得最大值为．
（3）设直线的方程为，代入椭圆方程，
整理得．
由，得．①
设，则．
因为，所以．
因为，且，
所以．
因为直线不过焦点，所以，
所以，从而，即．②
由①②得，化简得．③
焦点到直线的距离．
令，由知．
于是．
考虑到函数在上严格减，在严格增
所以，
综上可知，的取值范围为．
21、【答案】（1）存在；（2）是，；（3）是，百词斩
扇贝单词
秒词邦
沪江开心词场
中学生
80
60
40
20
大学生
30
20
20
10