四川省江油市第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考 数学试题（含解析）

这是一份四川省江油市第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学
考试时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．命题“，”的否定是（ ）
A． ，B． ，
C． ，D．，
2．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
4．下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
5．函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数的定义域是，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数，若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．1B．3C．6D．9
8．已知定义在上的函数满足，均有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是（ ）
A．回归分析中，线性相关系数的取值范围为
B．回归分析中，残差图中残差比较均匀分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好
C．回归分析中，决定系数越大，说明残差平方和越小，拟合效果越好
D．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0
10．已知正数a，b满足，则（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为
11．若函数的定义域为，且偶函数，关于点成中心对称.则下列说法正确的是（ ）
A．的一个周期为2B．
C．的一条对称轴为D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知是奇函数，则 .
13．已知函数满足对任意的，都有成立，则的取值范围是 ．
14．已知函数，，
①是奇函数；
②的图象关于点对称；
③若函数在上的最大值、最小值分别为、，则；
④令，若，则实数的取值范围是；
则上述说法正确的选项有 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
参考公式：，.
附：
16．某科技公司研发了一项新产品，经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销售单价进行统计，销售单价（千元）和销售量（千件）之间的一组数据如下表所示：
（1）试根据1至5月份的数据，建立关于的回归直线方程；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过千件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？
参考公式：回归直线方程，其中.
参考数据：，.
17．已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断并证明在上的单调性；
(3)解不等式.
18．已知函数，．
(1)若不等式的解集为[1，2]，求不等式的解集；
(2)若对于任意的，，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(3)已知，若方程在有解，求实数a的取值范围．
19．定义：给定函数，若存在实数、，当、、有意义时，总成立，则称函数具有“性质”.
(1)判别函数是否具有“性质”，若是，写出、的值，若不是，说明理由；
(2)求证：函数（且）不具有“性质”；
(3)设定义域为的奇函数具有“性质”，且当时，，若对，函数有5个零点，求实数的取值范围.
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
月份
1
2
3
4
5
6
销售单价
销售量
1．D
【分析】根据特称命题的否定直接得出答案.
【详解】因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题“，”的否定是为：，，
故选：D.
2．D
【分析】由不等式的性质判断ACD；取特殊值判断B.
【详解】解：对于A，因为，所以，即，故错误；
对于B，取，则，故错误；
对于C，由，得，所以，故错误；
对于D，由，得，所以，故正确.
故选：D.
3．B
【分析】方法一：求出集合后可求.
【详解】[方法一]：直接法
因为，故，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合，可得，不满足，排除A、D；
代入集合，可得，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．
4．C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
5．A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.
6．A
【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可.
【详解】因为函数的定义域是，所以，
所以，所以函数的定义域为，
所以要使函数有意义，则有，解得，
所以函数的定义域为.
故选：A.
7．A
【分析】先判断的奇偶性和单调性，从而可得，利用基本不等式可求的最小值.
【详解】当时，，因，故在上为增函数，
而，故为上的奇函数，
故为上增函数.
因为，所以，故，
故，，
当且仅当，所以的最小值为1，
故选：A.
8．B
【分析】设，由题设可得该函数为上的增函数且为奇函数，而原不等式可化为，故可求不等式的解.
【详解】设，则，
其定义域为，定义域关于原点对称，故为上的奇函数，
不妨设，故，即，
故为上的增函数，故为上的增函数.
又
，
故即，所以，
故，故原不等式的解集为.
故选：B.
9．BC
【分析】利用回归分析的相关定义和性质对各个选项逐一分析判断即可得到结果.
【详解】选项A，回归分析中，线性相关系数的取值范围为，故选项A错误；
选项B，因为在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，
表明数据越集中，模型的拟合效果越好，故选项B正确；
选项C，因为决定系数越大，表示残差平方和越小，数据就越集中，
即模型的拟合效果越好，故选项C正确；
选项D， 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故D错误.
故选：BC.
10．AC
【分析】利用基本不等式结合条件逐项分析即得.
【详解】对于A，，
当且仅当时成立，A正确；
对于B，，即，可得，
所以，当且仅当时成立，B错误；
对于C，，当且仅当时成立，C正确；
对于D，由，
当且仅当，即，等号成立，
所以，此时，不能同时取等号，所以D错误.
故选：AC.
11．BCD
【分析】根据题设条件可得为周期函数且周期为，再结合对称性逐项判断后可得正确的选项.
【详解】因为f2x+1偶函数，故，故，
所以的图像有一条对称轴为直线，且，
又fx−1关于点成中心对称，故，
故，故且，
所以，所以，
所以，故为周期函数且周期为，
故有对称轴为，故C正确.
而，故B正确.
由可得，
故，由可得，
故，故，故D成立，
取， 则，
，
故f2x+1为偶函数，fx−1关于点成中心对称，满足题设要求，
但的周期为4，故A错误.
故选：BCD.
【点睛】思路点睛：抽象函数的性质讨论，注意根据变换的思想探究抽象函数的周期性等，注意否定函数的周期性应该结合三角函数给出反例.
12．0
【分析】由解得，再验证是奇函数即可.
【详解】因为的定义域为，且是奇函数，
所以，
当时，，
满足，则是奇函数.
故答案为：.
13．
【详解】试题分析：因为对任意的，都有成立，所以函数为减函数，需满足，所以的取值范围是
14．②③④
【分析】利用函数的奇偶性的定义，可判定①错误；利用函数的对称性可判定②正确；利用函数的图象平移和奇偶性，可得判定③正确；利用函数的单调性，可判定④正确.
【详解】对于①，由题意函数，
因为恒成立，
故恒成立，即函数的定义域为，
又因为，所以不是奇函数，所以①错误；
对于②，，
所以的图象关于对称且在R上为减函数，所以②正确；
对于③，将函数的图象向左平移一个单位得，
因为，
即，所以函数为奇函数，所以关于点对称，且根据解析式易单调递减，
设，由②分析有hx关于点对称，且根据解析式易得单调递减，
设，综上有图象关于点对称，且单调递减，
若在处 取得最小值，则在处取得最大值，
故，即，故，所以③正确；
对于④，由，即为，
故，而为上的减函数，
故，即，所以④正确.
故答案为：②③④.
【点睛】方法点睛：求解函数有关的不等式的方法及策略：
1.解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，具体步骤：
①将函数不等式转化为的形式；
②根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解.
2.利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
15．(1)甲机床生产的产品中一级品的频率为；
乙机床生产的产品中一级品的频率为
(2)能认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.
【分析】（1）直接代入频率公式计算即可；
（2）先计算，然后根据数据比较，得出答案即可.
【详解】（1）甲机床生产的产品中一级品的频率为；
乙机床生产的产品中一级品的频率为.
（2）由题可知，
所以，
根据参考值可知，
所以能认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.
16．（1）；（2）是.
【分析】（1）先由表中的数据求出，再利用已知的数据和公式求出，从而可求出关于的回归直线方程；
（2）当时，求出的值，再与15比较即可得结论
【详解】（1）因为，，
所以，
得，
于是关于的回归直线方程为；
（2）当时，，
则，
故可以认为所得到的回归直线方程是理想的.
17．(1)，．
(2)在上为减函数,证明见解析.
(3)
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义可得，结合可得，故可求函数的解析式.
（2）根据单调性的定义可得在上为增函数；
（3）根据（2）中的单调性可求不等式的解.
【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，，解得：，
∴，而，解得，
∴，．
（2）函数在上为减函数；证明如下：
任意，且，
则，
因为，所以，，
所以，即，所以函数在上为减函数．
（3）由题意，不等式可化为，
所以，解得,所以该不等式的解集为．
18．(1)，，
(2)
(3)[0，1）．
【分析】（1）根据不等式的解集转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系求出，然后解一元二次不等式即可；
（2）问题转化为在，恒成立，令，，，根据函数的单调性求出的范围即可；
（3）利用参数分离法进行转化求解即可．
【详解】（1）解：若不等式的解集为，，
即1，2是方程的两个根，
则，即，
则，由得，
即得，得或，
即不等式的解集为，，．
（2）解:不等式恒成立，
即在，恒成立，
令，，，
则，
令，解得：，
故在，递增，在，递减，
故（1）或，
而（1），，
故．
（3）解：由得，
，即，
若方程在，有解，等价为有解，
设，
，，，，
即，即，则，
即实数的取值范围是，．
19．(1)是，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意代入fx=2x−3整理得，取系数为0 即可得解；
（2）根据题意代入整理得，取值解即可判断；
（3）根据题意分析函数的对称性和周期性，根据题意结合奇偶性可知与在内有2个不同的交点，数形结合处理问题.
【详解】（1）函数具有“性质”，
因为，且fx=2x−3，
则，整理得，
可得，解得，
所以函数是否具有“性质”，此时.
（2）假设函数（且）具有“性质”，
则，则，解得，
整理得，则，
取，可得，解得；
取，可得，解得；
显然，即对任意x∈0,1，不存在实数、使得恒成立，
假设不成立，所以函数（且）不具有“性质”.
（3）具有“性质”，则，可知关于点1,0对称，
可得，即
又因为为定义域为R的奇函数，则，
可得，即函数的周期为2，
令，则，
由题意可得：与在内有5个不同的交点，
注意到为奇函数，可知为与的一个交点，
由对称性可知：与在内有2个不同的交点，
作出在内的图象，
当过时，可得；
当过时，可得；
当过时，可得；
结合图象可知：实数的取值范围为.
【点睛】易错点睛：利用数形结合求方程解应注意两点
1.讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解；
2.正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．