天津津衡高级中学2025届高三上学期9月质量监测 数学试卷（含解析）

这是一份天津津衡高级中学2025届高三上学期9月质量监测 数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了请将主观题答案写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
检测时间：120分钟 分值：150分
命题人：王麓颖 申核人：王超
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页.其中第I卷共48分，第II卷共102分，满分共150分.
第I卷（客观题共48分）
注意事项：
1.答题前填写好自已的姓名､班级､考号等信息.2.请将客观题答案填涂到答题卡相应位置.
3.请将主观题答案写在答题卡上.
一､单选题（每小题4分，共48分）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．“”是“”成立的（ ）
A．充分条件B．必要条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
3．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江省杭州市举行，本届亚运会会徽“潮涌”的主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，其中扇面造型反映江南人文意蕴．已知扇面呈扇环形，内环半径为1，外环半径为3，扇环所对圆心角为，则该扇面的面积为（ ）

A．B．C．D．
4．已知，则的值是（ ）
A．2B．C．D．
5．函数的大致图像为（ ）
A．B．
C．D．
6．设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知的内角，，的对边分别为，，，，，下面使得有两组解的的值可以为（ ）
A．3B．C．2D．
8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知，，则的值域为（ ）
A．B．
C．D．
10．已知外接圆的半径为，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
11．设函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
12．巳知函数的部分图象如图所示，下列不正确的个数有（ ）
①函数的图象关于点中心对称
②函数的单调增区间为
③函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
④函数在0,π上有2个零点，则实数的取值范围为
A．0个B．1个C．2个D．3个
第Ⅱ卷（主观题共102分）二､填空题（每小题5分，共30分）
13．函数的定义域为 .
14．求值： .
15．已知，，其中，则 .
16．已知幂函数在上单调递增，则实数 ；函数的单调递增区间为 ．
17．设已知函数是奇函数，则 ；若函数是R上的增函数，则的取值范围是 .
18．已知函数，若方程有2个实数根，则的取值范围是 ．
三､解答题（19-22题每题14分，23题16分，共72分）
19．已知二次函数满足，且.
(1)求的解析式；
(2)若函数在区间上不单调，求的取值范围；
(3)若两个不相等的正数满足，求的最小值.
20．在中，角、、的对边分别为、、，且，，．
(1)求的面积；
(2)求边的值和的值；
(3)求的值．
21．已知函数
(1)求的单调递增区间；
(2)求图象的对称中心的坐标；
(3)若求的值．
22．已知函数
(1)求的单调区间和极值；
(2)若在单调递增，求实数的取值范围；
(3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．
23．已知函数，其中且.
(1)，恒成立，求实数的取值范围；
(2)求当时，函数在区间上的最小值；
(3)记函数的图象为曲线，设点、是曲线上两个不同点，如果曲线上存在点，满足：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由.
1．B
【分析】根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求解.
【详解】由，得到，即，
又，所以，
故选：B.
2．B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可判断.
【详解】推不出，例如还可以取，
由可以推出，
所以“”是“”成立的必要条件．
故选：B．
3．B
【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式计算即得.
【详解】依题意，该扇面的面积为.
故选：B
4．D
【分析】首先利用诱导公式求出，再利用二倍角公式和同角三角函数的关系，对齐次化处理，然后分子分母同时除以，即可求解.
【详解】因为，所以，
则．
故选：D．
5．A
【分析】使用排除法，结合函数的奇偶性以及代特殊值，即可得到结果.
【详解】解：由题知，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
又，
为奇函数，图象关于原点对称，排除C、D；
，排除B，
故选: A.
6．A
【分析】利用指数指数函数的性质及特殊角的正弦值计算即可.
【详解】易知，
由于单调递增，所以，
而，所以，
综上.
故选：A
7．B
【分析】由正弦定理可得，由，且，即可得到答案.
【详解】由题意，根据正弦定理有，所以，
要使有两组解，则，且，即，
即，即，
所以选项所给四个数据中只有符合，
故选：B.
8．D
【分析】结合余弦定理及基本不等式，利用三角形面积公式求解即可.
【详解】由余弦定理：，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，故面积.
即面积的最大值为.
故选：D
9．A
【分析】令，利用对数运算的性质与对数函数的单调性确定t的取值范围，再根据条件求新函数的值域.
【详解】令，则，又，
所以原函数可变为，，
所以，，所以的值域为.
故选：A.
10．B
【分析】根据正弦定理对进行边角转换，再利用余弦定理和三角形面积公式进行求解即可.
【详解】因为
由得，
由余弦定理得
所以由得，
因为，所以，因为，
由余弦定理得，解得，
所以.
故选：B
11．B
【分析】先分段作出函数的图象，结合图象得函数为R上的增函数，再判断函数的奇偶性，再利用单调性与奇偶性性质将不等式转化为，化简求解可得.
【详解】，x∈R，则，
作出函数的图象，可知是R上的增函数.
又，是奇函数.
不等式可化为，
所以，则，即，解得，
不等式的解集是.
故选：B.
12．B
【分析】根据图象求出，然后结合正弦函数性质判断各命题．
【详解】，
由图象知函数的最小正周期为，因此，即，
，因此函数的图象关于点中心对称，①正确；
由得，，②正确；
，因此把的图象向左平移个单位长度得的图象，③正确；
由题意，时，
当时，，在上有2个零点，则，解得，
当时，，在上有2个零点，则，解得，
因此的范围是或，④错．
故选：B．
13．,
【解析】解不等式即可得定义域.
【详解】要使函数有意义,需,即.
结合正弦曲线可知,.
故定义域为,.
故答案为：,.
【点睛】本题考查含的函数定义域，是基础题.
14．
【分析】利用对数的运算性质及指数幂的运算性质即可求解.
【详解】解：原式
，
故答案为：.
15．
【分析】利用两角差的余弦可求的值，故可求的值.
【详解】因为，故，而，故，
而，故，而，
故，故，
故，
而，故，
故答案为：
16． 2 （或）
【分析】先利用幂函数的定义与单调性求得的值，再利用对数函数与复合函数的单调性即可求得的单调递增区间.
【详解】因为是幂函数，
所以，解得，
又在上单调递增，
所以，则；
于是，
由，解得，则的定义域为，
又，其开口向下，对称轴为，
所以在（或）上单调递增，在（或）上单调递减，
又在其定义域内单调递减，
所以的单调递增区间为（或）．
故答案为：；（或）．
17．
【分析】因为是奇函数，定义域为，所以，由此即可求出结果；又因为函数是R上的增函数，所以在上单调递增，且在处的函数值要小于或者等于在处的函数值，由此即可求出结果.
【详解】因为是奇函数，定义域为；
所以，解得；
因为函数是R上的增函数；
所以在上单调递增，所以；
且 在处的函数值要小于或者等于在处的函数值，
即，解得；
综上：的取值范围是.
故答案为：；.
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数单调性，本题属于基础题.
18．
【分析】由题意对分类讨论，并通过数形结合即可得解.
【详解】题分析：令，已知函数，
依题意与图象有2个不同的交点．
当时，与图象有1个交点，不符合题意．
当时，函数与的图象如图所示，
两个函数图象始终有2个交点，所以，符合题意．
当时，函数与的图象如图所示，
因为，，
所以，，解得，
所以，．
综上所述，的取值范围为．
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：在讨论当时，通过画图得出，由此即可顺利得解.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据待定系数法即可将条件代入求解；
（2）要使得函数在区间上不单调，由题意得，解之即可得解；
（3）由题意可得的对称轴为，若，，且有，则，结合基本不等式求解最值即可．
【详解】（1）设，
由，得，
又，
则，解得，
所以；
（2），
若函数在区间上不单调，
由函数，其对称轴为，
要使得函数在区间上不单调，
则满足，解得，
故实数的取值范围为；
（3）因为，则的对称轴为，
函数在单调递增，则函数在单调递减，
若，，且有，
则，
∴
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为．
20．(1)；
(2)，；
(3).
【分析】（1）由同角公式求出，再利用三角形面积公式求解即得.
（2）利用余弦定理、正弦定理直接求解.
（3）由（2）的结论并求出，再利用二倍角公式、差角的余弦公式计算得解.
【详解】（1）在中，，，则，
所以的面积.
（2）由余弦定理有，，则，
由（1）知，，由正弦定理，得.
（3）由（2）知，，而，则是锐角，，
又，，
所以．
21．(1)
(2)
(3)．
【分析】（1）利用三角恒等变换公式将函数化简，再由正弦函数的性质计算可得；
（2）由正弦函数的性质计算可得；
（3）依题意可得，即可求出，再由利用两角差的余弦公式计算可得.
【详解】（1）因为

，
由，
得，
所以的单调递增区间为．
（2）令， 得，
所以图象的对称中心的坐标为．
（3）由，得，则．
因为，所以，所以．
所以
．
22．(1)答案见解析
(2)
(3)
【分析】（1）求导分析单调性，极值，即可求解.
（2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，即可求解.
（3）若对任意的，总存在，使得，则当时，，即可求解.
【详解】（1），，
令，解得，
当时，，当时，，
所以单调递减区间为，单调递增区间为，
所以在处取得极小值，且极小值为，无极大值.
（2），，
则，
因为在1,2单调递增，
所以在1,2上恒成立，
所以在1,2上恒成立，即，
设，，
所以在1,2上单调递增，
所以，
所以，故的取值范围为.
（3）若对任意的，总存在，使得，
则当时，，
由（1）知在上单调递增，
所以当时，，
，，
，
当时，，单调递减，
，
，
，
的取值范围为.
【点睛】方法点睛：不等式的恒成立、存在性问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，
（1）若，有成立，则；
（2）若，有成立，则；
（3）若，有成立，则.
23．(1)；
(2)；
(3)不存在，理由见解析.
【分析】（1）等价变形不等式，再利用单调性探讨最值情况即可得解.
（2）利用导数探讨函数有的单调性，进而求出最小值即得.
（3）假设函数存在“中值相依切线”，利用导数的几何意义，结合已知可得，令，构造函数并利用导数探讨零点即可得解.
【详解】（1），，
而函数在上单调递增，恒成立，则，
所以实数的取值范围是.
（2）当时，函数，
求导得，
当，即时，，函数在上单调递减，；
当，即时，由，得，由，得，
即函数在上单调递减，在上单调递增，；
当，即时，函数在上单调递增，，
所以.
（3）假设函数存在“中值相依切线”，设是曲线上不同两点，，
则，
直线的斜率，
由（2）知，，由，
得，
于是，即，
令，令，求导得，
因此函数在上单调递增，则，
从而方程在上无解，即不成立，则假设不成立，
所以函数不存在“中值相依切线”.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数中的新定义“中值相依切线”，解题时要紧扣题中定义，结合题意变形得出，通过换元法结合函数方程思想转化为在1,+∞上的零点问题为解本题的关键.