【高三数学】一轮复习：大题专练—导数1（教师版）

这是一份【高三数学】一轮复习：大题专练—导数1（教师版），共64页。试卷主要包含了已知函数，，，已知函数（其中，为的导数，已知函数，已知函数，，已知为自然对数的底数，函数等内容，欢迎下载使用。
大题专练1—导数（恒成立问题1）
1．已知函数，，．
（1）当时，，求的取值范围；
（2）证明：当时，．
解：（1）当时，，即，即，
设，则，
当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，
（1），则．
实数的取值范围为，；
（2）证明：，
，
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，
令，则，
易知在单调递增，在单调递减，
，
又两个等号不同时成立，故当时，．
2．已知函数（其中，为的导数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）若不等式恒成立，求的取值范围．
解：（1），则，
又，
函数在处的切线方程为；
（2）令，则，
，
在，上单增，
①当时，，
为增函数，则恒成立，符合题意；
②当时，由在，上单增，且，，
故存在唯一，使得，则当时，，单减，，此时与矛盾，不合题意．
综上所述，实数的取值范围为，．
3．已知函数．
（Ⅰ）当时，试判断函数的单调性；
（Ⅱ）当时，若对任意的，，恒成立，求的取值范围．
解：（Ⅰ）时，，的定义域是，
，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增；
（Ⅱ）恒成立，即，
，，，
故当时，对任意，，恒成立，
令，则，
令，则，
，，，函数在，上单调递增，
显然（1），故当时，，当时，，
故函数在，递减，在递增，
故（1），故，故的取值范围是．
4．已知函数，，．
（1）若，证明：；
（2）若，求的取值范围．
解：（1）证明：若，则，即证，只需证，
设，则，，
显然在，上恒成立，
在，上单增，
，
在，上单增，
，
，即得证；
（2）令，
依题意，对任意，，恒成立，则，解得，
又在，上恒成立，显然成立，
在上恒成立，即，解得，
故；
下面证明：当时，在，上恒成立，
令，
则，
，（a），
（a）在，上单减，则，
由（1）知，，
故，当且仅当时，取等号，
故在，上恒成立，
综上，实数的取值范围为，．
5．已知函数，．
（Ⅰ）当时，求证：在上单调递增；
（Ⅱ）当时，，求的取值范围．
解：（Ⅰ）证明：当时，，，
则，又在上单调递增，且，且（1），
，，使得，
当时，，当，时，，
在上单调递减，在，上单调递增，
，
，
，，
，
在上单调递增；
（Ⅱ）当时，，问题等价于（记为在，上恒成立，
令，
，
（1），要使式在，上恒成立，则必须（1），，
下面证明当时，在，上恒成立．
，，，
又，
，
当时，在，上单调递增，
（1），即式在，上恒成立，
故的取值范围为，．日期：2021/5/21 12:43:07；用户：尹丽娜；邮箱：3603210371@zz.cm；学号：19839377
6．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求实数的取值范围．
解：（1）的定义域是，
，
当时，在上恒成立，故在上单调递增；分
当时，令，得，在，上有，在，上有，
在，上是减函数，在，上是增函数分
（2）当时，，即
令，则，
若，由（1）知，当时，在上是增函数，
故有，即，得，
故有．（由（1）可判断，此不等式为常见不等式，熟记更利于解题）
（当且仅当，即，且时取等号）．
函数在，单调递增，，式成立．分
②若，令．
则，当且仅当时等号成立．
在区间，上单调递增，
，，
，使得，则当时，，即，
函数在区间上单调递减，
，即，式不恒成立．
综上所述，实数的范围是，分
大题专练2—导数（恒成立问题2）
1．已知函数，．
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）若不等式在，上恒成立，求实数的取值范围．
（Ⅰ）证明：令，，
（1）当时，，
因为，
所以在，上单调递增，且，
当时，，当时，，
所以在，上单调递减，在上单调递增，
所以，所以；
（2）当时，则，所以．
综上所述，当时，．
（Ⅱ）解：令，，
则，
由题意得在，上恒成立，因为，
所以，所以，
下证当时，在，上恒成立，
因为，
令，只需证明在，上恒成立，
（1）当时，，
，因为在，上单调递减，所以，
所以在，上单调递减，所以，
所以在，上单调递减，所以；
（2）当时，．
综上所述，实数的取值范围是，．
2．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：为自然对数的底数）恒成立．
解：（1）的定义域为，，分
当时，恒成立，所以在上单调递增；分
当时，令，得到．
所以，当时，，则在上单调递增；
当，时，，则在，上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在，上单调递减分
（2）证明：记函数，则，分
易知在上单调递增，
又由（1），（2）知，在上有唯一的实数根，分
且，则，
即，分
当时，，则在上单调递减，
当，时，，则在，上单调递增，
所以，
结合，知，分
所以，分
则，即，所以为自然对数的底数）恒成立分
3．已知函数，，其中为自然对数的底数，．
（1）若对任意的，，总存在，，使得，求的取值范围；
（2）若函数的图象始终在函数的图象上方，求的取值范围．
解：（1）对任意的，，总存在，，使得，，．
，，．
，在，上单调递增，
（1）．
，，．
，
①时，，函数在，上单调递增，（1），解得．
②时，，不成立，舍去．
③时，，函数在，上单调递减，，而，舍去．
综上可得：的取值范围是，．
（2）函数的图象始终在函数的图象上方，即，，也即，．
令，．
，
时，，函数在上单调递减，（1），不满足题意，舍去．
时，函数在上单调递增，存在唯一使得，即，．
，解得．
的取值范围是，．
4．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）因为函数，，
所以，
当时，，在，上单调递减，
当时，，在，上单调递增，
当时，令，解得，
当时，，故单调递增，当时，，故单调递减．
综上所述，当时，在，上单调递减；当时，在，上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）不等式对任意恒成立，即对任意恒成立，
令，又，
故不等式等价于对任意恒成立，
，所以，即，解得，
当时，，
恒成立，
故，
故当时，对任意恒成立，
所以的取值范围为，．
5．已知函数．
（1）若直线是曲线的切线，求实数的值；
（2）若对任意，不等式成立，求实数的取值集合．
解：（1），
，
设切点为，，则，
代入直线得：，
即，，
令，有（1），
，在单调递增，
方程有唯一解，
；
（2），，
恒成立，
设，则，
令，，△，
有2个不相等实根，，
则，不妨设，
当，，当，，，
在单调递减，在，单调递增，
，
由得到，
，
令，
则，
当时，，当时，，
则在单调递增，在单调递减，
（1），
，，则，故，
实数的取值集合是．
6．设函数．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若为的导函数）在上恒成立，求实数的取值范围．
解：（Ⅰ）当时，，，
所以，
令，所以，
当时，，故为增函数；
当时，，故为减函数，
所以（1），即，
所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间．
（Ⅱ）因为，所以且，
所以在上恒成立在上恒成立在上恒成立，
令，，则且（1），
当时，恒成立，故在上为增函数，所以（1），即时不满足题意；
当时，由，得，
若，则，故在，上为减函数，在上为增函数，
所以存在，使得（1），即时不满足题意；
若，，则，故在上为减函数，
所以（1），所以恒成立，故符合题意．
综上所述，实数的取值范围是，．
7．已知为自然对数的底数，函数．
（1）设是的极值点，求的值和函数的单调区间；
（2）当，时，恒成立，求的取值范围．
解：（1）因为，
由（1），得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）令，，，
当，时，恒成立等价于恒成立，
由于，，，
所以当时，，
函数在，上单调递增，
所以，在区间，上恒成立，符合题意，
当时，在，单调递增，
，
①当时，即时，，
函数在，单调递增，
所以在，恒成立，符合题意，
②当即时，，，
若，即时，在恒小于0，
则在单调递减，，不符合题意，
若，即时，
存在使得，
所以当时，，
则在上单调递减，
所以，不符合题意，
综上所述，的取值范围是，．
8．已知函数．
（1）若曲线在点处的切线为，求，；
（2）当时，若关于的不等式在，上恒成立，试求实数的取值范围．
解：（1）函数的导数，
根据函数导数的几何意义，可得（1），即．
则，点坐标为
点在直线上
故，．
（2）当时，
关于的不等式在，上恒成立，
，
设，则，
由的导数为，可得时，，函数递增，时，函数递减，则，即，
当时，，
则在，递增，可得，
则．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
大题专练3—导数（极值、极值点问题1）
1．已知函数．
（1）若，求曲线在点，（1）处的切线方程．
（2）若，证明：存在极小值．
（1）解：当时，，
所以．
所以（1），（1）．
所以曲线在点，（1）处的切线方程为，
即．
（2）证明：由，得．
令，则．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为（1）．
因为，所以（1），．
因为在上单调递增，
所以存在，使得，
在上，，在，上，，
即在上，，在，上，，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
所以存在极小值．
2．已知函数，．
（1）若，函数图象上所有点处的切线中，切线斜率的最小值为2，求切线斜率取到最小值时的切线方程；
（2）若有两个极值点，且所有极值的和不小于，求的取值范围．
解：（1），，
当时，，当且仅当，即时取等号，取得最小值，
所以，又（1），
所以，此时切线方程，即；
（2），，
则，
因为有两个极值点，所以在时有两不等根，设为，，
所以，
解得，且，，
，
令，则，，
所以单调递减且，
由，
所以．
3．已知函数的最小值为0．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设函数，证明：有两个极值点，，且．
解：（Ⅰ），定义域是，
，
时，，在递增，无最小值，不合题意，
时，令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
故（a），解得：，
综上：；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ），
则，
，令，解得：，令，解得：，
故在递减，在，递增，
故，而，（1），
故有2个零点，，其中，，
由，得：，
故，当且仅当时“”成立，
显然“”不成立，
故．
4．已知函数，．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在，上有两个极值点，求实数的取值范围．
解：（Ⅰ）当时，，
则，
因为，
所以当时，，即在此区间上单调递减，
当时，，即在此区间上单调递增，
所以的单调增区间为，单调减区间为；
（Ⅱ）设函数，
令，
则在，上有两个不同的零点，
，
故当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
又在，上有两个不同的零点，
所以，即，解得，
故实数的取值范围为．
5．已知，．
（1）当时，求证：对任意，；
（2）若是函数的极大值点，求的取值范围．
解：（1）证明：当时，，
则，
当时，，
令，
则，
所以在上单调递增，
又，
所以当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
所以，
所以对任意，，
（2）
，
令，
的正负与的单调性有关，且，
所以，
令，
所以，
所以当，时，，
当，时，，
，
所以，时，，
所以在，上单调递增，，
当，即时，时，，，
所以在上单调递增，
又因为，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，不合题意，
所以舍去，
当时，即，，使得在，恒为负，
所以在，上成立，
所以在，上单调递减，且，
所以，时，，，单调递增，
时，，，单调递减，
所以在处取得极大值，
所以，
综上所述，的取值范围为．
6．已知函数，．
（1）若在，（1）处的切线斜率为，求函数的单调区间；
（2），若是的极大值点，求的取值范围．
解：（1）的定义域是，，
（1），，
，
令，解得：，，
令，解得：或，
令，解得：，
故在递增，在，递减，在，递增，
即的递增区间是和，，递减区间是，．
（2）由题意得，，
，，
令，则，，
若，当时，单调递增，
故在上单调递增，
又，，
故存在，使得，
故当时，，
在上单调递减，又，
故当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，符合题意，
若，当时，，
故在递增，，在上递增，
故不可能是的极大值点，
综上，当是的极大值点时，的取值范围是．
大题专练4—导数（极值、极值点问题2）
1．已知函数．
（1）若，讨论的单调性；
（2）当时，讨论函数的极值点个数．
解：（1）的定义域为，，
令，，
因为，所以，所以在上单调递增，
又（1），所以当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）①当时，由（1）可知在上有唯一极小值（1），
所以极值点个数为1个．
②当时，令，得，
当时，，单调递减，当，时，，单调递增，
所以，
令（a），（a），
因为，所以（a），即（a）在，上单调递减，所以（a），
（ⅰ）当时，，在上，恒成立，
即在上恒成立，所以无极值点；
（ⅱ）当时，，（a），即，
易知，，
所以存在唯一，使得，
且当时，，当时，，则在处取得极大值；
又（1），所以当时，，当时，，即在处取得极小值，
故此时极值点个数为2．
综上所述，当时，的极值点个数为0；当时，的极值点个数为2；当时，的极值点个数为1．
2．已知函数（其中常数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若有两个极值点、，且，求证：．
解：，则，，
令，，△，
①当△，即时，，故，所以在上单调递增；
②当△，即当时，有两个实数根，，
又，（1），且对称轴为．，故，，
所以当或时，，则，故单调递增；
当时，，则，故单调递减；
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在，单调递减；
（Ⅱ）证明：因为有两个极值点、，且，
所以为的极大值点，
由可知，，，所以，
，
令，
则对于恒成立，
故在上单调递增，
所以，
故．
3．已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当，时，求证：总存在唯一的极小值点，且．
（1）解：函数的定义域为．
当时，，所以，
易知在上单调递增，且．
则在上，在上，
从而在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：，所以，且．
设，则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
由，得，
设，则在，上单调递增且．
则当，时，都恰有一个，使得，
且当时，当，时，
因此总有唯一的极小值点．
所以，从而，
极小值
由，可得当，时，，
即，随增大而增大，易得，．
令，则，，设，（1），
所以在，上单调递减，且（1），从而．
即．
4．已知函数．
（1）若在处有极大值，求的取值范围；
（2）若的极大值为，的极小值为，当时，求的取值范围．
解：（1），（1分）
①当时，，故有：当时，，单调递增，
当时，，单调递减，此时在处有极大值；（2分）
②当时，即．令，解得：．故有：
当时．，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
此时在处有极大值：（3分）
③当时，，在定义域内单调递增，无极大值：（4分）
④当时，即，令，解得：．故有：
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，此时在处有极小值：（5分）
综上所述，当时，在处有极大值，
即的取值范围是．（6分）
（2）由（1）可知，当时，，当时，，
所以且，（7分）
令，
则，
所以在上单调递增，（8分）
又（1），所以在单调递减，在单调递增，（9分）
于是（a），
所以（a）在或处取得最大值，，（10分）
由于且，（a）（1），（11分）
所以，
即的取值范围是，．（12分）
5．已知函数．
（1）若，求的极值；
（2）讨论函数的单调区间；
（3）若有两个极值点，，且不等式恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）时，，定义域是，
，
当时，，递减，
时，，递增，
故当时函数有极小值（1），无极大值；
（2）的定义域是，
，
①时，，则，在递增，
②时，令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增；
综上：时，在递增，
时，在递减，在递增；
（3）
，定义域是，
有2个极值点，，
即，
则有2个不相等实根，，
△，，解得：，且，
从而，
由不等式恒成立，
得恒成立，
令，
当时，恒成立，
故函数在上单调递减，
，
故实数的取值范围是，．
6．已知函数．
（1）当时，求函数在，（2）处的切线方程；
（2）当，证明：函数存在唯一极值点，且．
解：（1）当时，．，
（2），（2），
函数在，（2）处的切线方程为：，整理为：．
（2）证明：函数，．
，
设，
，，因此与的符号相同．
，
显然，当时，，函数单调递增．
又（1），．，
存在唯一，，使得．
对于，则有时，；，时，．
函数存在唯一极值点，，．
由，可得：，解得，
，
，，．
大题专练5—导数（零点个数问题1）
1．设函数，．
（1）证明：当，时，；
（2）判断函数在上的零点个数．
解：（1）证明：
令，，
在，上单调递增
注意到，
存在唯一的使
且当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增；
注意到，，
，．
（2），，
当时，，单调递减．
，
在上有一个零点
当时，由（1）知，，无零点
当时，
令，
且当时，，单调递增；当时，，单调递减．
，当时，也无零点
综上：在上有唯一的零点．
2．已知函数在区间，上的最小值为，最大值为1．
（1）求实数，的值；
（2）若函数有且仅有三个零点，求实数的取值范围．
解：（1）函数，则，
①当时，令，可得或，
此时函数的增区间为，，的减区间为，
由，，
，（2），
因为函数在区间，上的最小值为，最大值为1，
则有，解得，；
②当时，令，可得，
此时函数的减区间为，，的增区间为，
由，，
，（2），
因为函数在区间，上的最小值为，最大值为1，
则有，解得，．
综上所述，，或，；
（2）①当时，，，
若函数有且仅有三个零点，实数的取值范围为；
当，时，，，
若函数有且仅有三个零点，实数的取值范围为．
3．已知函数．
（1）若函数在上单调递减，求的取值范围；
（2）若函数在定义域内没有零点，求的取值范围．
解：（1）因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，
由，，
可得，
由于，则在上恒成立，
令，，
故在上单调递增，
所以只需即可，，
所以，
所以的取值范围是，．
（2）的定义域为，
，令，，
当时，单调递增，，，，，
故存在，使得，即，
即①，两边取对数得②，
而在上单调递减，在，上单调递增，
故，故，
将①②代入上式得，化简得，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以，
故，
即的取值范围是．
4．设，为实数，且，函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若对任意，函数有两个不同的零点，求的取值范围；
（Ⅲ）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，，满足．
（注是自然对数的底数）
解：（Ⅰ），
①当时，由于，则，故，此时在上单调递增；
②当时，令，解得，令，解得，
此时在单调递减，在单调递增；
综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，要使函数有两个不同的零点，只需即可，
对任意均成立，
令，则，即，即，即，
对任意均成立，
记，则，
令（b），得，
①当，即时，易知（b）在，单调递增，在单调递减，
此时（b），不合题意；
②当，即时，易知（b）在，单调递减，
此时，
故只需，即，则，即；
综上，实数的取值范围为，；
（Ⅲ）证明：当时，，，令，解得，
易知，
有两个零点，不妨设为，，且，
由，可得，
要证，即证，即证，
而，则，
要证，即证，即证，
而，
，即得证．
5．已知函数．
（Ⅰ）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的零点个数，并说明理由．
解：（Ⅰ）当时，，
，则切线的斜率（1），
所以切线方程为，即，
所以曲线在点，（1）处的切线方程为．
（Ⅱ）的定义域为，，
令，解得，，
①当时，与在区间上的情况如下：
在上递增，在上递减，在上递增．
此时，，
所以在上只有一个零点，
②当时，，由，得，（舍，
所以在上有一个零点；
③当时，与在区间上的情况如下：
此时，
若时，，所以在上无零点，
若时，，所以在上有一个零点，
若时，，
，
，
所以有两个零点．
综上所述，当或时，在上有一个零点；
当时，在上有两个零点；，
当时，在上无零点．
6．已知函数．
（1）若，求函数的极值；
（2）若函数无零点，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，
所以，令，得，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以为函数的极小值点，极小值为；无极大值．
（2）由，得．
①当时，，此时函数没有零点，符合题意；
②当时，，所以函数单调递减．
又，且，
所以函数有零点，不符合题意；
③当时，令，则．
当，时，，所以函数单调递减；
当，时，，所以函数单调递增．
所以，
若函数没有零点，则需，即，得．
综上所述，若函数无零点，则实数的取值范围为，．
大题专练6—导数（零点个数问题2）
1．已知函数．
（1）证明：有唯一极值点；
（2）讨论的零点个数．
解：（1）．
设，则，故单调递增．
又，．
故存在唯一，使得．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
故是的唯一极值点；
（2）由（1）是的极小值点，且满足．
又；
同理．
故时，有两个零点；时，有一个零点；时，无零点．
又
令，解得，即．
令，
此时关于单调递增，故．
令，解得，即．
此时，故
令，解得，即．
此时关于单调递增，故．
综上所述：当时，有两个零点；
当时，有一个零点；
当时，无零点．
2．已知函数．
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）画出函数的大致图象，并说明理由；
（3）求函数的零点的个数．
解：（1）函数，定义域为，则，
令，解得，
当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，
故当时，函数有极小值，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，有极小值，，无极大值；
（2）令，解得，当时，，当时，，
所以的图象经过特殊点，，，
当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸式增长，增长速度更快，
结合（1）中的单调性与极值情况，作出函数的图象如图所示：
（3）函数的零点的个数为函数的图象与直线的交点个数，
由（1）以及（2）的图象可知，当时，有极小值，
结合函数的图象，所以关于函数的零点的个数如下：
当时，零点的个数为0个；
当或时，零点的个数为1个；
当时，零点的个数为2个．
3．已知函数．
（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）当时，讨论函数的零点个数，并给予证明．
解：（1），
由题意得，即在区间上恒成立，
当时，，所以，
故实数的取值范围是，．
（2）由已知得，则，
当时，，函数单调递减，
又，（1），故函数有且只有一个零点．
当时，令，得，函数单调递减；
令，得，函数单调递增，
而，在上恒成立），
由于，所以，
所以在，上存在一个零点，
又，且，
设（a），（a）在恒成立，
故（a）在上单调递增，
而，所以（a）在上恒成立，所以，
所以在，上存在一个零点．
综上所述，当时，函数有且只有一个零点；
当时，有两个零点．
4．已知函数，其中，．
（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；
（2）判断函数是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；
（3）讨论函数在，上零点的个数．
解：（1）时，，，，
，，，
故切线方程是：；
（2），
设，，
故递减，，
又时，，
①若，即时，使，
当时，，递增，
当，时，，递减，
在处取极大值，不存在极小值，
②若，即，，
在，递增，此时无极值，
（3）由（2）可知：
若时，由上问可知：
，
即时函数没有零点，
若时，，时，递增，
，时，递减，
由得，从而，
再设，则从而关于递增，
①若，，此时，，
若得或，
时无零点，
得，
时有1个零点，
当时，，，有1个零点，
因此时无零点，时有1个零点；
②，，此时，，
，，
，
设，则，
故，
若即，即时无零点，
若即，即时有1个零点，
综上，，，时无零点，
，时有1个零点．
5．设，．
（1）讨论在，上的单调性；
（2）令，试判断在上的零点个数，并加以证明．
解：（1），
令，则，或，
时，，单调递增，
，时，，单调递减，
时，，单调递增，
，时，，单调递减，
综上，的单调递增区间为和，
单调递减区间为，和，．
（2）在上有3个零点，证明如下：
，则，
故是的一个零点，
，
是偶函数，
要确定在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可，
①当时，，
令，即，，
时，，单调递减，，
，时，，单调递增，，
在有唯一零点．
②当时，由于，，，
而在，单调递增，，故，
故在，无零点，
在有一个零点，
由于是偶函数，在有一个零点，而，
故在上有且仅有3个零点．
6．已知函数的图象在点处的切线方程为．
（1）若对任意有恒成立，求实数的取值范围；
（2）若函数在区间内有3个零点，求实数的范围．
解：（1），．
函数的图象在点处的切线的方程为．
（1），（1），
，解得，．
．
，
，．
当时，函数取得最大值，．
对任意有恒成立，．
．
实数的取值范围是，．
（2）由（1）可得：
，
，
令，解得，1．
列表如下：
由表格可知：当时，函数取得极小值（1）；当时，函数取得极大值
．
要满足函数在区间内有3个零点，
，
解得，
则实数的取值范围．
大题专练7—导数（构造函数证明不等式1）
1．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：．
解：（1），．
，
时，，函数在上单调递增．
时，令，解得，函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：当时，要证明：，即证明，
令，，
令，解得；令，解得．
函数在上单调递增，在上单调递减．
时，函数取得极大值即最大值，（e）．
令，
，
令，解得；令，解得．
函数在上单调递减，在上单调递增．
时，函数取得极小值即最小值，（2）．
．
，
即，也即．
2．已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：．
（Ⅰ）解：由，可得，
则（1），又（1），
所以曲线在点，（1）处的切线方程为，
即．
（Ⅱ）解：的定义域为，，
当时，，在上单调递增；
当时，令，可得，令，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当时，才有两个不相等的实根，且，
则要证，即证，即证，
而，则，否则方程不成立），
所以即证，化简得，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以（1），而，
所以，
所以，得证．
3．已知函数，函数，
（1）记，试讨论函数的单调性，并求出函数的极值点；
（2）若已知曲线和曲线在处的切线都过点．求证：当时，．
解：（1），，
记，
当时，，在单调递增，无极值点，
当时，△，有异号的两根，，
，，，在单调递减，
，，，，在，单调递减，
有极小值点；
（2）证明：，，
（1），在处的切线方程为，过点得：，
（1），在处的切线方程为，过点得：，
，，
要证：，即证：，
即证：，
构造函数，则，
时，，
时，，在单调递减，
时，，在单调递增，
（1），故原不等式成立．
4．已知函数在处取得极值．
（Ⅰ）若对，恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）设，记函数在，上的最大值为，证明：．
（Ⅰ）解：，则，
又在处取得极值，则有（1），解得，
此时，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以确实在处取得极值，
故，
设，
则在上恒成立，即在上恒成立，
因为，
当，即时，在上恒成立，不符合题意；
当时，令，解得，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，取得最大值，
要使得在上恒成立，
则有，解得，
综上所述，实数的取值范围为，；
（Ⅱ）证明：要证，即证明即可，
因为，
则，
因为，时，恒成立，
设，，，则为单调递增函数，
又，
则存在，使得，即，
则当时，，，则，故单调递增，
当，时，，且不同时为0，则，故单调递减，
所以在，上的最大值为，
又，则，，
设，，
则对于恒成立，
故在上单调递增
故，
，
于是，
故．
5．已知函数，对于，恒成立．
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：当时，．
解：（1）由恒成立，得对恒成立，
令，，
当，，单调递增，
当，，单调减，，
故所求实数的取值范围为，；
（2）证明：由（1）得．
欲证，只需证即可，
令，
，
令，则易知在单调递增，且，，
故存在，使得；
当，时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
又，，，
故当时，．
6．已知函数，．
（Ⅰ）已知恒成立，求的值；
（Ⅱ）若，求证：．
解：（1）已知恒成立，即恒成立，
令，则有，
当时，则恒有，此时函数单调递增，并且当时，，不满足题意；
，此时令；
；，即函数在上单调递减，在上单调递增，
，
若要满足题意，则需使，恒成立，
令（a），则有（a），
由此可得，当时，（a）；当时，（a）．
（a）（1），即得（a），
．
（2）令，则有恒成立，故可得在上单调递增，
即有恒成立，故有在上恒成立；
根据题意，要证，即证明，
即证，
即证，
令，则有，
，
，，
在上恒成立，即得函数在上单调递减，
（1），由此得证当时，原不等式成立．
7．已知函数，的反函数为（其中为的导函数，．
（1）判断函数在上零点的个数；
（2）当，求证：．
解：（1）由题意得，
则，
由得或，
由，得或，
由，得，
当在上变化时，，变化情况如下表：
根据上表知，（1），
，
根据零点的存在性定理，函数在上存在唯一零点，又因为（1），
所以根据的单调性可知，函数在上零点的个数为2．
（2）证明：因为，其反函数为，
所以不等式为，
当时，，
所以在上单调递减，
所以（1），
设函数，
则，
设函数，则，
所以在上单调递增，
因为（1），
所以存在，使得，
所以函数在上单调递减，在，上单调递增，
当时，，
当，时，，（1），
所以存在，使得，
所以当时，，
当，时，，
所以函数在上单调递减，在，上单调递增，
因为，（1），
所以当时，，
所以，
所以．
大题专练8—导数（构造函数证明不等式2）
1．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：当时，．
解：（1）函数的定义域为，，
令，
当时，，此时在上单调递减；
当时，为二次函数，△，
①若△，即时，的图象为开口向下的抛物线且，则，此时在上5单调递减；
②当△，即或时，令，解得，
当时，的图象为开口向下的抛物线，，
当，，时，，则，单调递减，当，时，，则，单调递增；
当时，的图象为开口向上的抛物线，，
当，，则，单调递减，当，，，则，单调递增；
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减．
（2）证明：由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增，
因此对任意恒有（1），即，
又，要证，只需证，
令，则，，
，
，则在，上单调递增，又（1），
当时，恒成立，则在，上单调递增，又（1），
对任意恒有（1），即，即得证．
2．已知函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）已知关于的方程有两个实根，，当时，求证：．
解：（1），
，，
故时的切线方程是，
即；
（2）证明：由（1）知：在递减，在递增，
，，
当时，方程有2个实根，，则，，
令，
则，
令，则，
故在递增，故，
故在递增，故，故，
故，
故，
故时，，故，
故．
3．已知函数与．是自然对数的底数，
（1）讨论关于的方程根的个数；
（2）当，时，证明：．
解：（1）令，，，
当时，不满足
当时，，
，，，
因此在区间上单调递增，
（1），在区间上单调递减，
，，根据零点定理，在上存在唯一零点．
当，，，
，，，，在上单调递增，
（1），（e），
根据零点定理，在上存在唯一零点，
因此，根的个数为2个．
（2）
设，，，
在，上单调递减，在，上单调递减，，
所以，，
要证明，仅需要证明，
设，
，
当，，
在该区间上单调递增，
所以，，
所以，，
综上所述，当，时，．
4．已知．
（1）求的单调区间；
（2），若有两个零点，，且．求证：．（左边和右边两个不等式可只选一个证即可）
解：（1），
当时，，在单调递增；
当时，令，解得，令，解得，
在单调递增，在单调递减；
综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）证明：，令，则，
设，则，
易知函数在单调递减，在单调递增，且时，，当时，，（1），
，
又，则，
①若证所证不等式的左边，即，即证，
又（b），则，故即证，即证，
设（b），，则，
（b）在上单调递减，
（b）（1），即得证；
②若证所证不等式的右边，即，即证，即证，
又（a），即，故即证，即证，
设（a），，则，
（a）在单调递减，故（a）（1），即得证．
5．已知函数，且函数与有相同的极值点．
（1）求实数的值；
（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：．
解：（1）令，解得，
易知函数在单调递增，在单调递减，故函数的极大值点为，
令，则由题意有，（1），解得，经验证符合题意，
故实数的值为1；
（2）由（1）知，函数在单调递增，在单调递减，
又，且，
当时，（1），（3），
①当，即时，对，不等式恒成立，即为恒成立，
则，
，
又，
此时的取值范围为；
②当，即时，对，不等式恒成立，即为恒成立，
则，
，
又，
此时的取值范围为，
综上，实数的取值范围为，，；
（3）证明：所证不等式即为，
下证：，即证，
设，则，，
易知函数在上单调递减，且，
故存在唯一的，使得，即，，
且当时，，单调递增，当，时，，单调递减，
，
在单调递减，
又时，，故，即；
再证：，即证在上恒成立，
设，，
在单调递增，则，故，
综上，，即得证．
6．已知函数．
（1）讨论的极值情况；
（2）若时，，求证：．
解：（1）的定义域是，，
①时，，在上单调递增，无极值，
②时，令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
故，无极大值；
综上：时，在上单调递增，无极值，
时，，无极大值；
（2）证明：①时，，使，
则，，此时成立，
②时，由（1）得时，，
，则，解得：，
故，
设，则，
为上的减函数，且，，
则存在唯一实数，，使得，，
当时，，递增，
当，时，，递减，
故当时，的最大值是，
为，上的增函数，
时，，则，
故（a），原结论成立．
1
0
0
极大值
极小值
1
0
极小值
1
0
0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
，
1
0
0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增