【高三数学】一轮复习：大题专练—解三角形1（教师版）

这是一份【高三数学】一轮复习：大题专练—解三角形1（教师版），共26页。试卷主要包含了已知平面四边形内接于圆，，，已知中，等内容，欢迎下载使用。
大题专练18—解三角形（面积问题1）
1．在中，角，，所对的边分别为，，，且．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求面积的最大值．
解：（Ⅰ）由正弦定理得，又，
，又，，，
故在中，；
（Ⅱ）由余弦定理得：，，，
面积．
故面积的最大值为．
2．在中，角，，所对的边分别为，，，．
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值．
解：（1）由正弦定理得，
由于，，
所以，
即，
则，又，所以．
（2）由余弦定理，得（当且仅当时，取“” ，
从而，
所以的面积取得最大值．
3．如图所示，在梯形中，，，点是上的一点，，．
（1）求的大小；
（2）若的面积为，求．
解：（1），
，
所以，即；
（2）设，则，，
因为，
所以，，
的面积，
所以，即，
所以，此时，，
中，由余弦定理得，
．
故．
4．已知平面四边形内接于圆，，．
（1）若，求所对的圆弧的长；
（2）求四边形面积的最大值．
解：（1）连接，
，，
为等边三角形，，
平面四边形内接于圆，
（四点共圆），
，
由余弦定理可得，．，
，
设的外接圆半径为，
，
，
，
为等边三角形，
圆弧所对于应的角，
．
（2）在中，，
，，
，
，
，当且仅当时等式成立，
四边形面积，
四边形面积．
5．在中，，，分别是角，，的对应边，已知．
（1）求；
（2）若，，求的面积．
解：（1），
由正弦定理可得：，
又，
，
，
，
又，
，
．
，
．
（2），即，
，可得，
，
，
又，
在中，由正弦定理可知：，
，（其中为外接圆半径），
．
6．（1）如图，在直径为的轮子上有一长为的弦，是弦的中点，轮子以4弧度秒的速度旋转，求点经过所转过的弧长．
（2）在中，已知，且最长边为1，求的面积．
解：（1）因为是弦的中点，所以，因为，，所以，
因为轮子以4弧度秒的速度旋转，选择，所以所转过的弧长；
（2）因为，，所以，
所以，
所以为最大角，所以，
由，可得，，
由正弦定理可得，所以，，
所以的面积．
7．如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设．
（1）当时，求四边形的周长；
（2）点在什么位置时，四边形的面积最大？最大值为多少？
解：（1）在中，由余弦定理得，
即，
于是四边形的周长为；
（2）在中，由余弦定理得，
所以，，
于是四边形的面积为
，
当，即时，四边形的面积取得最大值．
8．已知中，．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）已知，，若、是边上的点，使，求当面积的最小时，的大小．
解：（Ⅰ），
，
，，得，
又，；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，
为直角三角形，且，
，，设，，，
则，在中，由，
得，
由，，得，
在中，由，得，
由
．
，，，，可得当，即时，取得最小值，
故当面积的最小时，．
大题专练19—解三角形（面积问题2）
1．在中，内角，，所对的边分别为，，，若．
（1）求角的大小；
（2）若，，为边上一点，且，求的面积．
解：（1）由得，
即，
所以，
因为，
化简的，
即，
由为三角形内角得；
（2）中，由正弦定理得，
所以，
故，
所以，
所以的面积．
2．在中，，，分别是角，，的对边，若．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若面积的最大值为，求．
解：（Ⅰ）由正弦定理可得，
即有，即，
又，所以，
因为，所以，
所以，
又，所以；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及余弦定理可知：，
所以，
由基本不等式得，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
又的面积的最大值为，
即，
所以．
3．已知在中，内角，，所对的边分别为，，，，其中．
（Ⅰ）若，，求；
（Ⅱ）若，，求的面积．
解：因为，
所以，
即，
所以或，
因为，
所以或（舍，
所以，
由余弦定理得，
解得；
由得，
因为，所以①，
由正弦定理及，，得，
所以，即②，
①②联立得，
的面积．
4．的内角，，的对边分别为，，．已知．
（1）求；
（2）已知，，且边上有一点满足，求．
解：（1）因为，
由正弦定理得，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，，
所以，
所以．
（2）解法一：设的边上的高为，的边上的高为，
因为，，，
所以，
所以，是角的内角平分线，所以，
因为，可知，
所以，
所以．
解法二：设，
则，
因为，，，
所以，
所以，
所以，
因为，可知，
所以，
所以．
解法三：设，，则，
在中，由，及余弦定理得
因为，可知，
在中，，
即，
在中，，
即，
所以．
5．如图所示，在中，，，的对边分别为，，，已知，，
（1）求和；
（2）如图，设为边上一点，，求的面积．
解：（1）在中，因为，
所以由正弦定理得：，
因为，所以，
所以，
又，所以，
由余弦定理得，
，
所以，
在中，由正弦定理得，，
所以；
（2）在中，由正弦定理得，，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
由，设，，
所以，所以，
所以，
因为，
所以．
6．已知中，角，，所对的边分别为，，，满足．
（1）求的大小；
（2）如图，，在直线的右侧取点，使得，求四边形面积的最大值．
解：（1）由正弦定理知，，
，
，即，
，，
，．
（2）由（1）知，，
，为等边三角形，
在中，由余弦定理知，，
而，
，
四边形的面积，
，，，
当即时，取得最大值，为，
故四边形面积的最大值为．
复习大题专练20—解三角形（周长问题）
1．的内角，，的对边分别为，，．已知．
（1）求；
（2）若，当的周长最大时，求它的面积．
解：（1）因为，
所以，可得，
由余弦定理可得，
因为，
所以．
（2）因为，，
所以由余弦定理知，，当且仅当时，等号成立，
所以，即的周长最大值为，此时，
所以的面积．
2．在中，已知，．
（1）若，求．
（2）若，求．
解：（1）由余弦定理得，
解得，
；
（2），由正弦定理得，又，
，，，，为锐角，
．
由余弦定理得：，又，，
，得：，解得：．
当时，，；
当时，，．
3．已知在中，角，，的对边分别为，，，满足．
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，，求周长的取值范围．
解：（1）因为，
所以，即，
所以，整理可得，
所以可得，
因为，可得，，
所以，可得．
（2）由正弦定理，且，，
所以，；
所以．
因为为锐角三角形，
所以得，
解得．
所以，；
即周长的取值范围是，．
4．在中，角、、的对边分别为、、，为的面积，且．
（1）求的大小；
（2）若、，为直线上一点，且，求的周长．
解：（1），
，
又，，即，
又，；
（2）在中，由余弦定理得：，
又、，，
，又，，
在中，由正弦定理得，
又，为锐角，，
在中，，，
，
的周长为．
5．已知函数，．
（1）求函数的值域；
（2）在中，，，分别为内角，，的对边，若且（A），的面积为，求的周长．
解：（1）
，
当时，取得最小值，
当时，取得最大值1，
即函数的值域是，．
（2）由（A）得，
，，
则，得，
的面积为，，
，则，
又，
即，
得，
即，
则周长．
6．在中，角，，的对边分别为，，，已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题．若，_______，求的周长．
解：（Ⅰ）因为，
可得，即，
因为，，
所以，即，
因为，，
所以，可得．
（Ⅱ）若选择条件①，
因为，
所以，
由余弦定理可得，所以，可得，又，解得，
因此的周长为．
若选择条件②，
在中，由正弦定理可得，
所以，，
所以的周长为．
若选择条件③，由余弦定理可得，
所以，即，解得，，
因此的周长为．
7．如图，在四边形中，，，．
（1）求；
（2）若，求周长的最大值．
解：（1）在中，，
所以，
利用正弦定理得，
所以，
又因为为钝角，所以为锐角，
故；
（2）在中，由余弦定理得，
解得或（舍去），
在中，，设，，
由余弦定理得，即，
整理得，
又，，
利用基本不等式得，即，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为8，
所以的最大值为，
所以周长的最大值为12．
复习大题专练21—解三角形
（中线、角平分线、高线问题）
1．的内角，，的对边分别为，，．已知．
（1）求；
（2）已知，，求边上的中线的长．
解：（1）因为，
由正弦定理得，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，，
所以，
所以．
（2）由余弦定理，．
解法一：，
在中，，
故．
解法二：，
则，
故．
2．已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，且边上的中线长为，求．
解：（1）因为，由正弦定理可得，
因为，
所以，
可得，因为，所以，可得，
又因为，可得．
（2）由余弦定理可得，①
又在中，，设的中点为，
在中，，可得，可得，②
由①②可得，解得．
3．已知在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，为的中点，的面积为，求的长．
解：（1）因为，
所以，
又，
所以，可得：，
因为，
所以，即，
因为，
所以．
（2）因为，，的面积为，
所以，
由余弦定理，可得，
可得，
因为，可得：，解得，
可得的长为．
4．在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若点在上，满足为的平分线，且，求的长．
解：（1）由正弦定理及得，，
由余弦定理可得，
因为，所以．
（2）由（1）得角，
又因为为的平分线，点在上，所以，
又因为，且，所以，
所以，
在中，由正弦定理得，
即，解得．
5．已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角；
（2）若角的角平分线交于点，，，求和的长度．
解：（1）由及正弦定理得，
因为，
所以，
由为三角形内角得；
（2）因为平分，则到，的距离相等，设为，
因为，
所以，
由角平分线性质得，
所以，
因为，，
由余弦定理得，
解得
所以，
因为，，
解得．
6．的内角，，的对边分别为，，，已知函数的一条对称轴为，且（A）．
（1）求的值；
（2）若，求边上的高的最大值．
解：（1）函数一条对称轴为，
，，，，
，，，
（A），，
，．
（2）由余弦定理得：，当且仅当时取等号，
，又，
的面积最大值为．
故对应高的最大值为：．
7．在中，，，，求：
（1）角；
（2）边上的高．
解：（1）在中，，，，所以角为钝角，由，解得．
利用正弦定理的应用，解得，所以．
（2）根据（1）的结论，．
所以，
由于，解得，
故边上的高为．