【高三数学】一轮复习：大题专练—解三角形2（教师版）

这是一份【高三数学】一轮复习：大题专练—解三角形2（教师版），共34页。试卷主要包含了已知函数，锐角内角，，的对边分别为，，等内容，欢迎下载使用。
大题专练22—解三角形（取值范围、最值问题1）
1．已知中，角，，所对的边分别为，，，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的取值范围．
解：因为，
又，
所以，
故，
由为三角形的内角得；
由知，
，
，
，
，
因为，
所以，
所以，
所以，，
故的取值范围，．
2．在中，，，分别为角，，的对边，且．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，，求的取值范围．
解：（1），
，化为：，
可得，
，
．
（2）因为是锐角三角形，，
所以，且，
故，
由正弦定理可得，
因为，
所以，
故，
所以，
故的取值范围为．
3．已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，求的取值范围．
解：（1）由条件与正弦定理，可得，
，
，
，，
，．
（2）
，
，，，
，，
故的取值范围为．
4．在中，内角，，所对的边分别，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，当仅有一解时，写出的范围，并求的取值范围．
解：（1）因为
，
，
，
．
（2）法一：由正弦定理，得，
则，
则，
做正弦曲线如图所示，
则当或，即或时，仅有一解，
故或；
法二：由正弦定理，如图，当或时，仅有一解，
故或；
当时，；
当时，，
可得，
因为，
所以，
所以，．
综上，．
5．已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期及单调减区间；
（Ⅱ）在中，，，所对的边分别为，，，若，边上的中线，求的最大值．
解：（1）函数
，
所以最小正周期为，
令，，，解得，
所以函数的单调减区间为，
（2），，，
，，
，
，
，，当且仅当时，取等号．，
此时的最大值为．
6．锐角内角，，的对边分别为，，．已知．
（1）求角；
（2）若，求边的取值范围．
解：（1）因为，由正弦定理可得，
所以，
即
展开可得：
得到：因为，所以，是锐角，
所以，
（2）由正弦定理，可得，
所以，得
因为锐角，所以，，得到，
因为，所以，，
所以．
大题专练23—解三角形（取值范围、最值问题2）
1．在中，角，，的对边分别为，，，．
（1）求；
（2）若的面积为，求的最小值．
解：（1）因为，
所以，由正弦定理可得，即，
可得，
又，
所以，即，可得，
又，
所以，
可得．
（2）由题意可得，即，
由余弦定理可得，可得，
所以，
解得，，（舍去），当且仅当时等号成立，
所以的最小值为4．
2．已知的三个内角，，对应的边分别为，，，．
（1）求角的大小；
（2）如图，设为内一点，，，且，求的最大值．
解（1）．
．
．
整理得．
易知，，
又为三角形内角，
．
（2）由（1）与，得，
在中，由余弦定理，，
又在中，，
，当且仅当时取等“”所以的最大值为．
3．的三个内角，，的对边分别是，，，已知．
（1）求；
（2）若，求的取值范围．
解：（1）因为，
由正弦定理，
因为，
所以，
所以，
即，
由为三角形内角得，
故，
所以；
（2）由（1），，
由正弦定理得，
所以，
因为，
所以，，
所以的取值范围．
4．在中，已知角，，所对边分别为，，，．
（1）求角；
（2）若，求的取值范围．
解：（1）因为，
所以；
即，
所以，
故或，
解得或（舍
又因为在中，，
所以．
（2）（法一）由余弦定理知，
所以，
所以，当且仅当时等号成立．
又因为，，是的三条边，
所以，
所以．
（2）（法二）因为，，
由正弦定理，，
所以．
所以，，
因为，，是的三个内角，且．
所以，
所以，
所以，
所以．
5．在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，．
（1）求角的大小和边长的值；
（2）求面积的取值范围．
解：（1），
，
，
，，
为锐角，
，
，
由正余弦定理可得，
整理可得，
解得．
（2），
，，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
6．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．
已知锐角中，、、分别为内角、、的对边，，_____．
（1）求角；
（2）求的取值范围．
解：若选①，
（1）由及正弦定理得，
，即，
，
又为锐角，；
（2）为锐角三角形，，解得，
由正弦定理得：，
．
，，则．
，；
若选②，
（1）由及正弦定理得，
，
即，
，
，，可得，
又，；
（2）为锐角三角形，，解得，
由正弦定理得：，
．
，，则．
，；
若选③，
（1）由及正弦定理得，
即，
由余弦定理得：，
，；
（2）为锐角三角形，，解得，
由正弦定理得：，
．
，，则．
，．
大题专练24—解三角形（求值问题1）
1．已知四边形中，，，，．
（1）若，求，；
（2）若，求．
解：（1）在中，由于，
所以，
故，
在中，利用余弦定理：，
故．
（2）设，由于，由，
所以，
，
在中，由于，
所以，
在中，由正弦定理：，整理得，
所以，
所以，
由于，
得：．即．
2．记的内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，．
（1）证明：；
（2）若，求．
解：（1）证明：由正弦定理知，，
，，
，
，
即，
．
；
（2）由（1）知，
，
，，
在中，由余弦定理知，，
在中，由余弦定理知，，
，
，
即，
得，
，
，
或，
在中，由余弦定理知，，
当时，（舍；
当时，；
综上所述，．
3．如图，在中，，，点在边上，，为锐角．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求的值及的长．
解：（1）中，由余弦定理得，
所以，
解得或，
当时，，此时，不符合题意，舍去，
当时，，此时，符合题意，
（2）中，，
所以，
又，
所以，
中，由正弦定理得，
所以．
4．已知函数．
（1）若，，求函数的值域；
（2）在中，，，分别是角，，所对的边，若，，且，求边的值．
解：（1），
若，，则，
所以，，
所以函数的值域，；
（2）因为，
所以，
由为三角形内角得或，
所以或，
当时，，，
由余弦定理得，
解得，
当时，，，
由勾股定理得，即，
综上或．
5．的内角，，的对边分别为，，，已知．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若的面积，，求．
解：因为．
所以，
整理得，
所以，
所以，
因为，
所以；
因为，
所以，
整理得，
当时，，，，此时，且，
解得；
当时，，由正弦定理得，
此时，
所以，，
所以，
所以．
6．中，内角、、所对的边分别为、、．若，，且点满足．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）求的长．
解：（Ⅰ），可得，
，
又，
，
，
．
（Ⅱ），，可得，
由正弦定理得，，
，
，
，由，可得，
在中，由余弦定理得，，即，
解得．
大题专练25—解三角形（求值问题2）
1．如图，（1）在圆的内接四边形中，，，，求的值；
（2）在圆的内接四边形中，，，的面积为，求的值．
解：连接，
则中，由余弦定理得，
中，由余弦定理得，
由圆内接四边形性质可知，，
所以，
解得；
（2）因为，，
所以，，
由题意，，
由余弦定理得，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以．
2．在四边形中，，，，，．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）求的长．
解：中，由余弦定理得，
由为三角形内角得，；
因为，
所以，
中，由正弦定理得，，即，
所以，
因为，所以，
中，由正弦定理得，即，
所以．
3．如图，在四边形中，，，，，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求．
解：，，，，，
由正弦定理得，
即，
所以；
由题意得为锐角，结合得，
因为，
所以，
，
由余弦定理得，，
解得，
由余弦定理得，
所以．
4．在中，内角，，的对边分别为，，，且，．
（1）求；
（2）如图，圆是的外接圆，延长交于点，过圆心作交于点，且，求的长．
解：（1）由余弦定理知，，
，
，化简得，
由余弦定理知，，
，
．
（2）由正弦定理知，，
，
延长，交圆于点，作于点，则，
，
为等边三角形，，
，，
，，，
，
，即点为的中点，
．
5．△ABC中，AB＝2AC，点D在BC边上，AD平分∠BAC．
（1）若sin∠ABC＝，求cs∠BAC；
（2）若AD＝AC，且△ABC的面积为，求BC．
解：（1）由正弦定理得，AB＝2AC，C＞A，
又∵sin∠ABC＝，
∴sin∠ACB＝，
∵sin2∠ABC+cs2∠ABC＝1，
∵AB＝2AC，
∴C＞B，即大边对大角，，
又∵sin2∠ACB+cs2∠ACB＝1，
∴，
∵cs∠CAB＝cs（π﹣∠ABC﹣∠ACB）＝﹣cs（∠ABC+∠ACB），
∴cs∠CAB＝sin∠ABCsin∠ACB﹣cs∠ABCcs∠ACB＝ 或，
（2）设AB＝2AC＝2t，∠CAD＝θ，
∴AD＝AC＝t，
∵S△ABC＝S△ACD+S△ABD，
∴，
∴2sinθ•csθ＝sinθ+sinθ，
∵θ为三角形的内角，sinθ≠0，
∴csθ＝，
∴cs2θ＝2cs2θ﹣1＝，
∵sin22θ+cs22θ＝1，
∴，
又∵＝，
∴，
在△ABC中，运用余弦定理可得，
BC2＝t2+4t2﹣2•2t•t•cs2θ＝，
∴．
6．已知的最大值为2，其中，
（Ⅰ）求的单调增区间；
（Ⅱ）在中，内角，，的对边分别为，，，且，求（A）的值．
解：
，其中，
，
，，
，
令，，
解得，，
的单调增区间为，．
已知，由正弦定理可得，
即，
即，
即，
即，又，
，，
．
大题专练26—解三角形（结构不良型问题）
1．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．
问题：如图，直角中，，，且____，点在的延长线上，，求长．
解：选①直角中，，
即，得，
，
，
，
且，
，
．
选②直角中，，
，得，
，
，且，
，．
选③直角中，，
，
，
，
，
，
，
，
且，
，
．
2．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题．在中，内角，，的对边长分别为，，，且____．
（1）求角的大小；
（2）若是锐角三角形，且，求边长的取值范围．
解：（1）选条件①．
因为，
所以，
根据正弦定理得，，
由余弦定理得，，
因为是的内角，
所以
选条件②，
因为，由余弦定理，
整理得，
由余弦定理得，，
因为是的内角，
所以．
选条件③，
因为，
．
，即
因为，．
，
；
（2）因为，为锐角三角形，
所以，解得
在中，，
所以，
即．
由可得，，
所以，所以．
3．在条件①，②，③中，任选一个补充在下面问题中并求解．
问题：在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，____．
（1）求；
（2）求面积的取值范围．
解：（1）若选①，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
由为三角形内角得；
（2），
由正弦定理得，
由题意得，
解得，
所以，
故，
从而，
故面积的取值范围，；
（1）若选②，
由正弦定理得，
所以，
所以，
化简得，
因为，
所以，
由为三角形内角得；
（2），，
由正弦定理得，
由题意得，
解得，
所以，
故，
从而，
故面积的取值范围，；
（1）若选③，
所以，
化简得，
因为，
所以，
由为三角形内角得；
（2），
由正弦定理得，
由题意得，
解得，
所以，
故，
从而，
故面积的取值范围，．
4．在①，②，③锐角满足，这三个条件中任一个，补充在下面问题中，并完成解答．
问题：的三个角，，对边分别为，，，，面积为，且____．
（1）求角；
（2）求的周长．
解：选①时，由于，
利用正弦定理：，
整理得，
由于，
所，解得；
选②时，，
利用正弦定理：，
故，
由于，
所，解得；
选③时，
锐角满足，
整理得：，
由于为锐角，
所以；
（2）由于，面积为，
故，解得．
由于，由于，
所以，解得，
故．
5．在中，，若同时满足下列四个条件中的三个：
①；②；③；④．
（Ⅰ）选出使有唯一解的所有序号组合，并说明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）所有组合中任选一组，求的值．
解：（Ⅰ）选择①②③或②③④，理由如下：
因为，，，且，，且，，
又，，，，
，，，
，，
由④得，，，，
故①④矛盾，②③同时成立，
所以选①②③或②③④．
（Ⅱ）若选①②③，，，
，，，，
，．
若选择②③④，，即，，
，，，，．
6．已知中，三个内角，，所对的边分别是，，．
（1）证明：；
（2）若，，______，求的周长．
（在①这三个条件中任选一个补充在问题中，并解答）
解：（1）证明：由题意得，
所以，得证．
（2）方案一：若选①．因为，
所以，
由（1）可知，，即，
因为，
所以．
在中，由余弦定理，得：，即，
解得，或（舍，
所以，即的周长为20．
方案二：若选②．因为，
所以，
由（1）中的证明过程同理可得，，
所以，即，
因为，
所以．
余下解法同方案一．
方案三：若选③．因为，
所以，
由（1）中的证明过程同理可得，，
所以，即，
因为，所以．
余下解法同方案一．