【高三数学】一轮复习：大题专练—数列（教师版）

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大题专练28—数列（分组、并项求和）
1．已知数列的前项和为．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求数列前2021项之和．
解：（Ⅰ），可得时，；
时，，
上式对也成立．
所以，；
（Ⅱ），
则，
，
．
根据正弦函数的周期性可得，
．
2．山西面食历史悠久，源远流长，称为“世界面食之根”．临汾牛肉丸子面、饸饹面是我们临汾人喜爱吃的面食．调查资料表明，某学校在每周一有1000名学生选择面食，餐厅的面食窗口在每周一提供牛肉丸了面和饸饹两种面食．凡是在本周一选择牛肉丸子面的学生，下周一会有改选饸饹面；而选择饸饹面的学生，下周一会有改选牛肉丸子面．用，分别表示在第个周一选择牛肉丸子面和饸饹面的人数，且．
（1）证明：数列是常数列；
（2）若，求数列的前项和．
（1）证明：，
，，
根据题意，可得，
解之可得，，
，
，即得数列是常数列；
（2）由（1）可得，，
，
．
．
3．已知等差数列满足，．
（1）求数列的通项；
（2）若，求数列的前40项和．
解：（1）设等差数列的公差为，
由，
，
得，
．
（2），
①为奇数时，．
②为偶数时，，时，，
当，时，，
4．已知等比数列的公比，，且是，的等差中项，数列满足，数列的前项和为，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．
解：是，的等差中项，
，即，
，
，
，
通项公式：．
令，则数列的前项和为，
当时，，
当时，也满足，
则的通项公式，
，
，
当时，，
，
当时，，也满足，
则的通项公式，
设，其前项和为，
则，
运用数列的错位相加减，
，①
，②
由①②可得，
，
．
5．已知等差数列满足公差，前项的和为，，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前100项的和．
解：（1）等差数列满足公差，前项的和为，，且，，成等比数列．
所以，
整理得：，解得，
故．
（2）由（1）得：，
所以：，，，，
故．
6．已知数列，满足，，．
（Ⅰ）证明为等比数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）求．
证明：（Ⅰ），
，
，
，
，
，
，
是以2为首项，以2为公差的等比数列，
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
，
，
7．已知数列是正项等比数列，满足是，的等差中项，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
解：（1）数列是正项等比数列，满足是，的等差中项，，
设数列的公比为，
则，
由于，
故，解得或．
由于数列为正项数列，
所以．
则．
（2）由（1）知：，
所以，
当为偶数时，则，
当为奇数时，则．
故．
大题专练29—数列（恒成立问题）
1．已知数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）数列满足，设为数列的前项和，求使恒成立的最小的整数．
解：（1）由，可得，
即有，
即数列是首项为，公比为3的等比数列，
则，
则；
（2），
则，
，
两式相减可得
，
所以，
由恒成立，可得，
则最小的整数为4．
2．若数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）因为，所以，
当，时，
所以，
所以数列为等比数列，首项为，公比为2，
所以；
（2）解：因为，所以，
因恒成立，
所以恒成立，
当为偶数时，恒成立，所以，
设，由于，
所以，当时，，
所以，
当为奇数时，，若，则有，
若，则有，
令，由于，
所以，
综上，，即实数的取值范围是，．
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝﹣，且4Sn+1＝3Sn﹣9（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{bn}满足3bn+（n﹣4）an＝0（n∈N*），记{bn}的前n项和为Tn，若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立，
求实数λ的取值范围．
解：（Ⅰ）由4Sn+1＝3Sn−9 可得4Sn＝3Sn−1−9（n≥2），
两式作差，可得：4an+1＝3an，
∴，
很明显，，
所以数列{an} 是以 为首项，为公比的等比数列，
其通项公式为：．
（Ⅱ）由3bn+（n−4）an＝0，得，
，
，
两式作差可得：
＝
＝，
则．
据此可得 恒成立，即λ（n−4）+3n≥0 恒成立．
n＝4时不等式成立；
n＜4时，，由于n＝1时，故λ≤1；
n＞4时，，而，故：λ≥−3；
综上可得，{λ|−3≤λ≤1}．
所以．
4．已知等差数列满足，，其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列．
（1）求数列、的通项公式；
（2）设的前项和为，求；
（3）设，的前项和为，求证：恒成立，求实数的最大值．
解：（1）数列的首项为，公差为的等差数列，数列满足，，
整理得：，解得，
所以．
递增的等比数列满足：，且，，成等差数列．
所以，解得或舍去），
故，
（2）由（1）得：令，
所以①，
②，
①②得：，
故．
（3）由于，
所以，
由于恒成立，
即恒成立，
故，
由于函数为增函数，故，
所以．
5．已知数列满足，且，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求使不等式对一切且均成立的最大整数．
解：（1）数列满足，且，，
整理得：，，
故猜想，
证明如下：
（1）当时，显然成立；
（2）当时，，
当时，，
即当时，猜想成立，
所以．
（2）由题意得对，恒成立，
记，
则．
，
，即是随的增大而增大，
的最小值为，，
所以．
6．已知数列的前项和满足且．数列满足．
（1）当时，求数列的前项和；
（2）若对一切都有，求的取值范围．
解：（1）数列的前项和满足①，
当时，解得．
当时，②，
①②得：，整理得（常数），
故数列是以为首项，为公比的等比数列．
所以，
数列满足，
当时，，
所以①，
②，
①②，整理得，
解得．
（2）由，可得，
①当时，由，可得，，所以，
所以对一切的都成立，此时的解为；
②当时，由可得，
所以，
，，所以对一切都成立，
所以．
由①，②可知，对一切，都有的的取值范围是，，．
大题专练30—数列（结构不良型问题）
1．在①；②；③．
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
已知数列的前项和为，若，且满足____，设数列的前项和为，求，并证明．
解：选①；
当时，，又，
两式相减可得，
即，
又，满足上式，
可得，；
，
，
证明：，，所以．
选②；
当时，，
两式相除可得，
当时，满足上式，
所以，；
，
，
证明：，，所以．
选③．
当时，，又，
两式相减可得，
化为，
又，所以，所以，
即是以1为首项，3为公比的等比数列，
故，
，
，
证明：，，所以．
2．在①，②，，成等比数列，③这三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答本题．
问题：已知等差数列的公差为，前项和为，且满足 _____．
（1）求；
（2）若，且，求数列的前项和．
解：（1）①，
②，，成等比数列，
③，
选①②，解得，，；
选①③，解得，，；
选②③，解得，，；
（2）由，，可得，
由，，
可得，
上式对也成立，所以，
则．
3．在数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）在下列两个问题中任选一个作答，如果两个都作答，则按第一个解答计分．
①设，数列的前项和为，证明：．
②设，求数列的前项和．
解：（1）由，
设，
则，
可得是首项为2，公比为2的等比数列，可得，
则，
所以；
（2）选①设，数列的前项和为．
证明：，
所以．
选②设，求数列的前项和．
解：，
则，
，
上面两式相减可得，
，
化简可得．
4．在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答下列题目．
设首项为2的数列的前项和为，前项积为，且_______．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
解：（1）选①，（1）可得，
则数列是首项为2，公差为1的等差数列，则，
可得；
选②，可得时，，成立；
当时，，又，
两式相减可得，
化为，则；
选③，可得，
即有，
即，
则；
（2），
当为偶数时，数列的前项和为
；
当为奇数时，数列的前项和为．
所以．
5．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求的所有取值组成的集合；若不存在，说明理由．
问题：已知数列的前项和为，，且对任意正整数，都有，数列满足，，成等差数列．
若数列满足____，且的前项和为，是否存在正整数，使得？
解：由，且对任意正整数，都有，
可令，则，
则，所以，
数列满足，，成等差数列，
可得，
选①，，
则，
由，即，解得；
选②，，
则，由，可得，解得，且；
选③，，
则，
由，即，解得．
所以选①，；选②，，且；选③，．
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问题：设等差数列的前项和为，若 _____，判断是否存在最大值，若存在，求出取最大值时的值；若不存在，说明理由．
解：若选①，，；
设等差数列的公差为，
则，解得，；
所以前项和为，
所以，即或8时，取得最大值．
若选②，，
由，解得；
由，所以，
所以等差数列的公差，
所以时，，时，，
所以时，取得最大值．
若选③，，
由，得；
由，
得，所以；
所以等差数列的公差，
所以当时，，时，，
所以时，取得最大值．