【浙江卷】浙江省2024学年第一学期2025届浙南名校联盟（原温州九校联盟）高三上学期第一次联考暨10月联考 数学试卷

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高三数学试题
审 题 温 州 二 高 潘 晓 雷 温州中学林庆望
考生须知：
1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题卷.
选择题部分
密 封 线 要 答 题
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题 目要求.)
1.已知复数z₁=1-i,z₂=2-i, 则复数在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限
iK
2.已知集合A={(x,y)|y=x|}, , 则A∩B=
;
A.{-1,1} B.{(-1,1),(1,1)} C.(0,+0) D.(0,1)
3. “其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语 ·子路》.意思是：当政者本身言行端 正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命
令，大家也不会服从遵守.根据上述材料，“身正”是“令行”的
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
时，.若f(x) 在(-00,+0)上单调
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 4.已知 f(x)为定义在R 上的奇函数，当x>0
递减，则实数a 的取值范围为
A.(1,+0) B.(1,+0) C(-,1) D.[-,1]
5.将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植3棵，且每一侧中间的景观树都要比 两边的高，则不同的种植方法共有
A.20 种 B.40 种 C.80 种 D.160 种
6.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标变为原来的 2倍，得到函数f(x)的图象，若f(x)在上只有一个极大值点，则w 的最大值为
A.2 B.3 C.4 D.5
高三数学试题第1页共4页
7.已知双曲线( 的左焦点为F,0为坐标原点，若在C的右支上存在
关于x 轴对称的两点P,Q, 使得△PFQ 为正三角形，且0Q⊥FP, 则 C的离心率为
A.√2 B.1+√2 c.√3 D.1+√3
8.已知x 为函数f(x)=x²e*+e²Inx-2e² 的零点，则x₀+Inx₀=
A.1 B.2 C.3 D.4
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目 要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.)
9.已知非零向量a,b,c, 则下列结论正确的是
A.若a(b·c)=0, 则 b⊥c B.若(a+b)⊥(a-b), 则 |a|=b|
C. 若a·c=b·c, 则a=c D.向量(a·b)c-(a·c)b与向量a垂直
10.如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中 ，AB=4,M,N,D,Q 分别为棱AB,AC,B₁C₁,AA
的中点，DQ⊥QM, 则以下结论正确的是
A.B₁C₁//平面QMN
B.AA₁=√6
C.点 Q 到平面DMN的距离为√6
D.三棱锥D-QMN 的外接球表面积为
第10题图
11.已知抛物线C:x²=4y 的焦点为F,A,B,P 为抛物线C 上的点，cs=-1, 若
抛物线C 在点A,B 处的切线的斜率分别为k,k₂, 且两切线交于点M.N 为抛物线C 的准
线与y 轴的交点.则以下结论正确的是
A.若|AF|+|BF|=2, 则AF·BF=-1
B.直线PN 的倾斜角
C.若k₁+k₂=2, 则直线AB 的方程为x-y +1=0
D. |MF| 的最小值为2
高三数学试题第2页共4页
非选择题部分
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.)
13.已知某中学的3个年级各有学生300,300,400人，现采用分层抽样的方法从3个年级的学生中 抽取10人，对他们的体重进行了统计.若3个年级被抽到的学生体重的平均值分别为 48,52,55 kg,方差分别为4,10,1.将这10名学生体重W(kg) 作为样本，则样本的方差 为
14.“四进制”是一种以4为基数的计数系统，使用数字0,1,2,3来表示数值.四进制在数学和 计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响.四进制 数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以4的相应次方(从0开始),然后将所
有乘积相加.例如：四进制数013转换为十进制数为0×4²+1×4'+3×4⁰=7;四进制数0033 转换为十进制数为0×4³+0×4²+3×4'+3×4⁰=15;四进制数1230转换为十进制数为
1×4³+2×4²+3×4'+0×4⁰=108.现将所有由1,2,3组成的4位(如：1231,3211)四进
制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被3整除的概率为
四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(13分)如图，三棱台ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是正三角形，A₁A⊥平面ABC, AB=2A₁A=2A₁C₁=4,M,N 分别为棱AB,B₁B 的中点.
(1)证明：B₁B⊥平面MCN;
(2)求直线C₁C与平面MCN所成的角的正弦值.
第15题图
16. (15分)已知b>0, 函数f(x)=x²-x-(x-1)In(bx)在点(1,f(1)处的切线过点(0,-1)。
(1)求实数b 的值；
(2)证明：f(x) 在(0,+0)上单调递增；
(3)若对Vx≥1,f(x)≥a(x-1) 恒成立，求实数a 的取值范围.
高三数学试题第3页共4页
17.(15分)如图，四边形ABCD中 ，AB=1,CD=AD=2,BC=3,∠BAD+∠BCD=π
(1)求∠BAD:
(2)P 为边BC上一点，且△PCD的面积为√3,求△ABP的外接圆 半径.
第17题图
I8.(17 分)己知椭圆(C 的左、右焦点分别为F,F, 点 在椭图
。
上.且直线PF₁ 与PF₂ 的斜率之积
(1)求C 的方程：
(2)直线l:y=kx+m(k>0,m>0) 与C 交于M.N 两点，与y 轴交于点A, 与x 轴交于点B.
(i) 若A.B 恰为弦MN 的两个三等分点，求直线1的方程：
(ii) 若点B 与点F 重合，线段MN的垂直平分线与x 轴交于点Q, 求的值.
19:17分)密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学.研究密码变化的客观规律，应用于编 树密码以保守通信秘密的，称为编码学；应用于破译密码以获取通信情报的，称为破译学，总称 密码学.20世纪70年代，一些学者提出了公开密钥体制，即运用单向函数的数学原理，以实现 加、脱密密钥的分离.加密密钥是公开的，脱密密钥是保密的.这种新的密码体制，引起了密码
学界的广泛注意和探讨.某数学课外小组研究了一种编制密码的方法：取任意的正整数n. 将 小 于等于n 且与n 互质的正整数从小到大排列，即为密码.记符合上述条件的正整数的个数为a。
(1)求数列{a,}的前5项和：
(2)求a₂ 。(n∈N) 的表达式和a₃i₇ 的值：
.数列{b.}的前n 项和S, 证明S₀